2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第3章+第23讲+直接证明与间接证明_图文

1.比较大小:3 ?  7 <  2 ? 6. 
? ? 2.设a,b ? R,给出下列不等式:①lg 1 ? a2 ? 0;
②a2 ? b2 ? 2?a ? b ? 1?;③a2 ? 3ab ? 2b2;④ a ?
b a ? 1,其中恒成立的不等式序号是  ②  . b ?1

解析:①a=0时不成立; ②因为a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以成立; ③a=0=b时不成立; ④a=2,b=1时不成立,所以恒成立的只有②.

3.已知a ? 0,b ? 0且a ? b ? 2,求证:1 ? b,1 ? a ab
中至少有一个小于2.用反证法证明该命题时,
应假设 1? b,1? a 都不小于2 ab

4.下列表述:①综合法是执因导果法;②综 合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分 析法是间接证明;⑤反证法是逆推法,其中正 确的语句有_____3___个.
解析:①②③正确,分析法是逆推法,反证 法是间接证明方法,故④⑤错误.

5.若P ? a ? a ? 7,Q ? a ? 3 ? a ? 4 (a ? 0),则P、Q的大小关系是 P<Q
解析:(分析法)因为要证P<Q,只要证P2<Q2, 只要证:
2a ? 7 ? 2 a?a ? 7?<2a ? 7 ? 2 ?a ? 3??a ? 4?, 只要证:a2 ? 7a<a2 ? 7a ? 12, 只要证:0<12, 因为0<12成立,所以P<Q成立.

综合法的应用
【例1】 已知a,b,c都是正数,求证: a2 ? b2 ? c2 ? a+b+c. bca

【证明】因为a,b,c都是正数,

所以

b+ a2 ? 2a,c+b2 ? 2b,a+c2 ? 2c,

b

c

a

三式相加得

a+b+c+ a2 ? b2 ? c2 ? 2a+2b+2c, bca
即 a2 ? b2 ? c2 ? a+b+c. bca

综合法证题,是从已知的条件出发, 把每一步的结果作为条件,直到获得问
题的最终结果.本题证明从条件" a2 "中, b
想到只要填项"b",就可由"b+ a2 "用到 b
基本不等式,这样便与结论有关,这是 突破本题的关键.

【变式练习1】

已知a,b,c ? R+,且a+b+c=1,

求证:( 1-1) ? (1-1) ? ( 1-1) ? 8.

a

b

c

【证明】( 1 -1) ? (1-1) ? ( 1-1)

a

b

c

=?b ? c??a ? c??a ? b? abc

? 2 bc ? 2 ac ? 2 ab =8abc=8,

abc

abc

当且仅当a=b=c时等号成立.

所以不等式成立.

分析法的应用
【例2】 是否存在常数c,使得不等式 x + y
2x ? y 2y ? x ? c ? x + y 对任意的正整数x、y恒
x ? 2y y ? 2x 成立?证明你的结论.

【解析】当x=y=1时,有 2 ? c ? 2,则c=2 .

3

3

3

先证 x + y ? 2 . 2x ? y 2y ? x 3

因为x,y ? N*,故要证 x + y ? 2, 2x ? y 2y ? x 3

只需证3x(x+2y)+3y( y+2x) ? 2(x+2y)( y+2x),

即x2+y2 ? 2xy,显然成立,

所以 x + y ? 2; 2x ? y 2y ? x 3

再证 x + y ? 2, x ? 2y y ? 2x 3

只需证3x(2x+y)+3y(x+2y) ? 2(x+2y)( y+2x),

即2xy ? x2+y2,显然成立,

所以 x + y ? 2 . x ? 2y y ? 2x 3

综上所述,存在常数c= 2 ,使对任意的正整数x、 3

y,不等式 x + y ? c ? x + y

2x ? y 2y ? x

x ? 2y y ? 2x

恒成立.

本题主要考查用分析法证明不等式及分 析问题、解决问题的能力.此题是一个开放 性问题,寻找常数c需要根据题目条件,观察 问题的特点,确定c的值,这是解决此类问题 的关键;其次由于不等式的结构复杂,从已 知入手,非常困难,采用分析法,化繁为简, 顺利找到不等式成立的必要条件.当要证的 不等式较为复杂,已知与待证间的联系不明 显时,一般采用分析法.

【变式练习2】

已知a ? 0,证明:a2 ? 1 - 2 ? a+1 -2.

a2

a

【证明】要证 a2 ? 1 - 2 ? a+ 1 -2,

a2

a

只要证 a2 ? 1 +2 ? a+ 1 ? 2.

a2

a

因为a ? 0,

所以只要证( a2 ? 1 +2)2 ? (a+ 1 ? 2)2,

a2

a

即证

a

2+

1 a2

+4+4

a

2+

1 a2

?

a

2+

1 a2

+4+2

2(a+ 1 ), a

只需证

2

a

2+

1 a2

? a+ 1 , a

即证a2+ 1 ? 2. a2

而a2+ 1 ? 2,由基本不等式可知成立. a2

所以

a2

?

1- a2

2 ? a+ 1 -2得证. a

反证法的应用

【例3】

若a、b、c都是实数,且a=x2-2y+? ,
2

b=y2-2z+? ,c=z2-2x+? ,求证:

3

6

a、b、c中至少有一个大于0.  

【证明】使用反证法:

若a、b、c都不大于0,即a ? 0,b ? 0,c ? 0,

则a+b+c

=(x2-2y+? )+( y2-2z+? )+(z2-2x+? )

2

3

6

=(x-1)2+( y-1)2+(z-1)2+?-3.

因为?-3 ? 0,(x-1)2+( y-1)2+(z-1)2 ? 0,

所以a+b+c ? 0,与a+b+c ? 0矛盾.

因此,假设不成立.

故a、b、c中至少有一个大于0.

反证法是间接证法中的一种重要 方法,体现了同一问题的另一种研究 方法.当问题处于“否定性”“唯一 性”或“无限性”背景时,往往会出 现“至多”“至少”或“全都”等词, 这类命题一般都采用反证法.

【变式练习3】 求证:三条抛物线y=cx2+2ax+b, y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a(a、 b、c为非零实数)中至少有一条与x轴 有交点.

【证明】假设三条抛物线都与x轴均无交点, 则方程 cx2+2ax+b=0的判别式 Δ1=4a2-4bc<0. 同理,Δ2=4b2-4ac<0,Δ3=4c2-4ab<0, 则Δ1+Δ2+Δ3 =4a2+4b2+4c2-4ab-4bc-4ac<0, 所以2(a-b)2+2(b-c)2+2(c-a)2<0, 这与2(a-b)2+2(b-c)2+2(c-a)2≥0相矛盾, 故假设不成立.
所以三条抛物线中至少有一条与x轴有交点.

1.已 知 p :关 于 x 的不 等 式 x2 + 2ax- a>0的解集是R,q:-1<a<0,则p是q 的___充__要__条__件________
【 解 析 】 由 Δ = 4a2 + 4a<0 , 可 得 - 1<a<0.

2.用反证法证明命题“a·b(a,b∈Z+)是偶数, 那么a,b中至少有一个是偶数.”那么反设的内 容 假设a,b都是奇数(a,b都不是偶数) 是
____________________________________ .

3.将a千克白糖加水配制成b千克糖
a
水 (b>a>0) , 其 浓 度 为 ___b______ ; 若再加入m(m>0)千克糖,糖水更甜 了,根据这一生活常识,提炼出一 个常见的不等式为_____a_?__a_?_m___
b b?m

4.证明:a2+ab与b2+ab(其中a,b∈R) 中至少有一个是非负数.

【证明】假设a2+ab与b2+ab(其中a,b ? R) 都是负数,

即???ba22

? ?

ab ab

? ?

0,两式相加得a2+2ab+b2 0

?

0,

即(a+b)2 ? 0,显然不成立,所以假设不成

立,原命题成立.

 5.若 a + b =1(a、b、x、y ? 0,a ? b), xy
求证:x+y ? ( a+ b)2. 【证明】因为 a + b =1,a、b、x、y ? 0,a ? b,
xy 所以x+y=(x+y)( a ? b )
xy =a+b+( ay ? bx )
xy ? a+2 ab+b=( a+ b)2. 即原不等式成立.

1.在数学问题解决过程中,不可能 离开数学的证明.求解数学题,每个步 骤的实施,都离不开证明的因素,所以 证明是包含在推理过程之中的.证明一 般分直接证明与间接证明两种.

直接证明是从已知或事实出发,遵照一定的 逻辑程序推出问题的结论的一种证明方法,它主 要有综合法和分析法两种.综合法是由已知到未 知,从题设到结论的逻辑推理方法,它的一般步 骤是(已知)p0 p1 p2 … pn(结论).分析法正 好与综合法的思维顺序相反,即先假设结论是正 确的,由此逐步推出保证结论成立的必要判断, 当这些判断恰好都是已知命题(正确的命题或关系) 时,所要研究的问题就得到证明,它的一般步骤 是(结论)pn … p2 p1(已知).

2.间接证明方法是直接证明方法的一个补充, 当直接证明有困难或过程太过于复杂时,常采用间 接证明方法完成.常见的间接证明方法是反证法, 它的思维过程是假设结论为假,遵照逻辑规则,推 出一个为假的事实(或与已知矛盾,或与数学事实矛 盾),来说明假设结论为假是错误的,从而所要证明 的结论是正确的.一般步骤是,要证明“ p ? q”,(否 定结论)?q ? p1 ? p2 ? ? ? pn ? ?p(与已知矛盾). 反证法的推理基础是四种命题间的逻辑关系,即原 命题与其逆否命题的真假性相同.其思想是,由证 明p ? q,转向证明它的逆否命题?q ? ?p.

3.反证法的证明步骤: (1)反设:假设命题的结论不成立,即假 定原命题的反面为真; (2)归谬:从反设和已知条件出发,经过 一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果; (3)存真:由矛盾结果,断定反设不真, 从而肯定原结论成立. 其中归谬是反证法的关键也是难点,导出矛 盾的过程没有固定模式,但必须从反设出发, 否则推导将成为无源之水、无本之木,同时 注意推理必须严谨.

4.常用反证法的题型: (1)用直接证法证明比较困难的一些 几何问题,尤其是证两条直线是异面直线 与唯一性问题,常采用反证法; (2)关于否定性问题的证明一般都使 用反证法加以证明; (3) 命 题 中 含 有 “ 至 多 ” “ 至 少”“不多于”或“最多”等词语的命题 的证明,一般用反证法.


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