18学年高中数学基本初等函数Ⅰ3.2.2第1课时对数函数的图象及性质学案新人教B版11802262107

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3.2.2 第 1 课时 对数函数的图象及性质
[学习目标] 1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函 数,研究对数函数的性质.

[知识链接]

1.作函数图象的步骤为列表、描点、连线.另外也可以采取图象变换法.

2.指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质.

底数

a>1

0<a<1

图象

定义域

R

值域

(0,+∞)

过定点

过点(0,1),即 x=0 时,y=1

性质

函数值的变化

当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1

当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1

单调性

是 R 上的增函数

是 R 上的减函数

[预习导引]

1.对数函数的概念

把函数 y=logax(a>0,且 a≠1,x>0)叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 (0,+∞).

2.对数函数的图象与性质

底数

a>1

0<a<1

图象

1

定义域

(0,+∞)

值域

R

性质

过定点 函数值的变化

过定点(1,0),即 x=1 时,y=0

当 0<x<1 时,y<0; 当 0<x<1 时,y>0;

当 x>1 时,y>0

当 x>1 时,y<0

单调性

是(0,+∞)上的增函数 是(0,+∞)上的减函数

3.反函数

对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)与指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)互为反函数.

要点一 对数函数的概念

例 1 指出下列函数哪些是对数函数?

(1)y=3log2x;(2)y=log6x;

(3)y=logx3;(4)y=log2x+1

解 (1)log2x 的系数是 3,不是 1,不是对数函数.

(2)符合对数函数的结构形式,是对数函数.

(3)自变量在底数位置上,不是对数函数.

(4)对数式 log2x 后又加 1,不是对数函数.

规律方法 判断一个函数是对数函数必须是形如 y=logax(a>0 且 a≠1)的形式,即必须满

足以下条件

(1)系数为 1.

(2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数.

(3)对数的真数仅有自变量 x.

跟踪演练 1 若某对数函数的图象过点(4,2),则该对数函数的解析式为( )

A.y=log2x

B.y=2log4x

C.y=log2x 或 y=2log4x

D.不确定

答案 A

解析 设对数函数的解析式为 y=logax(a>0 且 a≠1),由题意可知 loga4=2, ∴a2=4,∴a=2,

∴该对数函数的解析式为 y=log2x.

要点二 对数函数的图象

例 2 如图所示,曲线是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 取 3,43,35,

2

110,则相应于 c1、c2、c3、c4 的 a 值依次为(

)

A. 3、43、35、110

413 B. 3、3、10、5

C.43、 3、35、110

D.43、 3、110、35

答案 A

解析 方法一 观察在(1,+∞)上的图象,先排 c1、c2 底的顺序,底都大于 1,当 x>1 时 图象靠近 x 轴的底大,c1、c2 对应的 a 分别为 3、43.然后考虑 c3、c4 底的顺序,底都小于 1,



x<1

时图象靠近

x

轴的底小,c3、c4

对应的

a

31 分别为5、10.综合以上分析,可得

c1、c2、

c3、c4 的 a 值依次为 3、43、35、110.故选 A.

方法二 作直线 y=1 与四条曲线交于四点,由 y=logax=1,得 x=a(即

交点的横坐标等于底数),所以横坐标小的底数小,所以 c1、c2、c3、c4 对

应的 a 值分别为

43 1 3、3、5、10,故选 A.

规律方法 函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的底数变化对图象位置的影响.

观察图象,注意变化规律: (1)上下比较:在直线 x=1 的右侧,a>1 时,a 越大,图象越靠近 x 轴,0<a<1 时 a 越小, 图象越靠近 x 轴. (2)左右比较:比较图象与 y=1 的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 跟踪演练 2 (1)函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(-1,1) (2)如图,若 C1,C2 分别为函数 y=logax 和 y=logbx 的图象,则( ) A.0<a<b<1
3

B.0<b<a<1 C.a>b>1 D.b>a>1

答案 (1)D (2)B 解析 (1)令 x+2=1,即 x=-1, 得 y=loga1+1=1, 故函数 y=loga(x+2)+1 的图象过定点(-1,1). (2)作直线 y=1,则直线与 C1,C2 的交点的横坐标分别为 a,b,易知 0<b<a<1. 要点三 对数函数的定义域

例 3 (1)函数 f(x)=1-1 x+lg(1+x)的定义域是(

)

A.(-∞,-1)

B.(1,+∞)

C.(-1,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,+∞)

(2)若 f(x)=

1

,则 f(x)的定义域为( )

log x+

1

2

A.???-12,0???

B.???-12,+∞???

C.???-12,0???∪(0,+∞)

D.???-12,2???

答案 (1)C (2)C

解析 (1)由题意知?????11+ -xx> ≠00, ,

解得 x>-1 且 x≠1.

(2)由题意知?????22xx+ +11>≠10, ,

解得 x>-12且 x≠0.

规律方法 求与对数函数有关的函数定义域时,除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法

外,还要对这种函数自身有如下要求:一是要特别注意真数大于零;二是要注意对数的底数

大于零且不等于 1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.

跟踪演练 3 (1)函数 y= xln(1-x)的定义域为( )

A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

(2)函数 y=

x+ x-1

的定义域是(

)

A.(-1,+∞)

B.[-1,+∞)

4

C.(-1,1)∪(1,+∞)

D.[-1,1)∪(1,+∞)

答案 (1)B (2)C

解析 (1)因为 y= xln(1-x),

所以?????x1≥ -0x, >0, 解得 0≤x<1.

(2)要使函数有意义,需?????xx+ -11≠>00, , 解得 x>-1 且 x≠1,

故函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞),故选 C.

1.下列函数是对数函数的是( )

A.y=loga(2x)

B.y=log22x

C.y=log2x+1

D.y=lg x

答案 D

解析 选项 A、B、C 中的函数都不具有“y=logax(a>0 且 a≠1)”的形式,只有 D 选项符

合.

2.函数 f(x)= 1 +lg(3x+1)的定义域是( ) 1-x

A.(-13,+∞)

B.(-∞,-13)

11 C.(-3,3)

1 D.(-3,1)

答案 D

解析 由?????13- x+x> 1>0, 0, 可得-13<x<1. 3.函数 y=ax 与 y=-logax(a>0,且 a≠1)在同一坐标系中的图象形状可能是( )

5

答案 A 解析 函数 y=-logax 恒过定点(1,0),排除 B 项;当 a>1 时,y=ax 是增函数,y=-logax 是减函数,排除 C 项,当 0<a<1 时,y=ax 为减函数,y=-logax 为增函数,排除 D 项,故 A 项正确. 4.若 a>0 且 a≠1,则函数 y=loga(x-1)+1 的图象恒过定点________. 答案 (2,1) 解析 函数图象过定点,则与 a 无关,故 loga(x-1)=0, ∴x-1=1,x=2,y=1,所以 y=loga(x-1)+1 过定点(2,1). 5.比较下列各组数的大小:

(1)log2 2________log2 3; (2)log32________1;

(3)log 1 4________0.
3
答案 (1)< (2)< (3)<
解析 (1)底数相同,y=log2x 是增函数,

所以 log2 2<log2 3. (2)log32<log33=1.

(3)log 1 4<log 1 1=0.

3

3

1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有 y=logax(a>0 且 a≠1)这种 形式. 2.在对数函数 y=logax 中,底数 a 对其图象直接产生影响,学会以分类的观点认识和掌握 对数函数的图象和性质. 3.涉及对数函数定义域的问题,常从真数和底数两个角度分析.

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