四川省成都外国语学校2017届高三下学期3月月考数学试卷理科 含解析 精品

2016-2017 学年四川省成都外国语学校高三(下)3 月月考数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卷上) 1. 2, 4, 6}, B={n∈N|2n<8}, 已知集合 A={0, 则集合 A∩B 的子集个数为 ( A.8 B.7 C.6 D.4 ) )

2.已知复数

,则(

A.z 的实部为 1B.z 的虚部为﹣i C.z 的虚部为﹣1 D.z 的共轭复数为 1+i )

3.下列关于命题的说法错误的是(

A.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” B.“a=2”是“函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 P:? n∈N,2n>1000,则¬P:? n∈N,2n≤1000 D.命题“? x∈(﹣∞,0) ,2x<3x”是真命题 4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹 长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序 框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输出的 n 等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5 )

5.函数 f(x)= +ln|x|的图象大致为(

A.

B.

C.

D.

6.设{an}是公差不为零的等差数列,满足 和等于( A.﹣10 ) B.﹣5 C.0 D.5

,则该数列的前 10 项

7.如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 6,∠C1BC 的正切值为 ,当 AB+AD+AA1 的值最小时,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的表面积( )

A.10π B.12π C.14π D.16π 8.已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: 距离为 =1(a>0,b>0)渐近线的

,点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c) )

的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( A. B. C. D.

9.已知 x,y 满足 数项为( )

,若目标函数 z=x+2y 的最大值为 n,则

的常

A.240 B.﹣240

C.60 D.16 ,0) 、 , )

10.已知函数 y=2sin(ωx+φ) (ω>0)的部分图象如图所示,点 A(﹣

B、C 是该图象与 x 轴的交点,过点 B 作直线交该图象于 D、E 两点,点 F( 0) f x) 是( 的图象的最高点在 x 轴上的射影, 则 ( ﹣ ? ) (ω ) 的值是 (

A.2π2 B.π2 C.2 D.以上答案均不正确

11.已知定义在 R 内的函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈[﹣1,3]时,f ( x) = 的不等实数根的个数是( A.3 B.4 C.5 D.6 ) ,则当 t∈( ,2]时,方程 7f(x)﹣2x=0

12.已知 f′(x)是定义在(0,+∞)上的函数 f(x)的导函数,若方程 f′(x) =0 无解, f[f(x)﹣log2016x]=2017,设 a=f(20.5) 且? x∈ (0, +∞) , ,b=f(logπ3) , c=f(log43) ,则 a,b,c 的大小关系是( )

A.b>c>a B.a>c>b C.c>b>a D.a>b>c

二.填空题(本大题 4 个小题,每题 5 分,共 20 分) 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .

14.已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的可导函数,并满足以下条件: ①g(x)≠0 ②f(x)=2axg(x) (a>0,a≠1) ③f(x)g′(x)<f′(x)g(x) 若 + =5,则 a= . .

15. 在△ABC 中, 已知 c=2, 若 sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C, 则 a+b 的取值范围

16.艾萨克?牛顿英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许 多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数 f(x)零点时给出一个数列{xn}:满 足 ,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 f(x)=ax2+bx+c

(a>0)有两个零点 1,2,数列{xn}为牛顿数列,设 xn>2,则{an}的通项公式 an= .

,已知 a1=2,

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.设 Sn 是数列的前 n 项和,已知 a1=3an+1=2Sn+3(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(2n﹣1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18.空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指 数,空气质量按照 AQI 大小分为六级,0~50 为优;51~100 为良;101~150 为 轻度污染;151~200 为中度污染;201~250 为重度污染;>300 为严重污染.一

环保人士记录 2017 年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如图. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数; (按这个月总共 30 天计算) (2)将频率视为概率,从本月中随机抽取 3 天,记空气质量优良的天数为 ξ, 求 ξ 的概率分布列和数学期望.

19.等腰三角形 ABC,E 为底边 BC 的中点,沿 AE 折叠,如图,将 C 折到点 P 的 位置,使 P﹣AE﹣C 为 120°,设点 P 在面 ABE 上的射影为 H. (1)证明:点 H 为 EB 的中点; (2) ) 若 ,求直线 BE 与平面 ABP 所成角的正弦值.

20. 设椭圆

+

=1 (a>

) 的右焦点为 F, 右顶点为 A. 已知

+

=



其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交 于点 M,与 y 轴于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线 l 的斜率的取 值范围. 21.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1,其中 a 为实数. (1)若 a=1,求函数 f(x)的最小值; (2)若方程 f(x)=0 在(0,2]上有实数解,求 a 的取值范围; (3)设 ak,bk(k=1,2…,n)均为正数,且 a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,求

证:a1

a2

…an

≤1.

选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.已知直线 l 的参数方程是 (t 是参数) ,以坐标原点为极点,x 轴

的正半轴为极轴,且取相同的长度单位建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 cos(θ+ ) .

(1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程; B 两点, 0) (2) 设圆 C 与直线 l 交于 A、 若 P 点的直角坐标为 (1 , , 求|PA|+|PB| 的值.

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|,且 f(x)的最大值记为 k. (Ⅰ)求不等式 f(x)≥x 的解集; (Ⅱ)是否存在正数 a、b,同时满足 a+2b=k, + =4﹣ ?请说明理由.

2016-2017 学年四川省成都外国语学校高三(下)3 月月 考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题 12 个小题,每题 5 分,共 60 分,请将答案涂在答题卷上) 1. 2, 4, 6}, B={n∈N|2n<8}, 已知集合 A={0, 则集合 A∩B 的子集个数为 ( A.8 B.7 C.6 D.4 )

【考点】交集及其运算. 【分析】先分别求出集合 A,B,从而求出集合 A∩B,由此能求出集合 A∩B 的 子集个数. 【解答】解:∵集合 A={0,2,4,6}, B={n∈N|2n<8}={0,1,2}, ∴集合 A∩B={0,2}, ∴集合 A∩B 的子集个数为 n=22=4. 故选:D.

2.已知复数

,则(



A.z 的实部为 1B.z 的虚部为﹣i C.z 的虚部为﹣1 D.z 的共轭复数为 1+i

【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出. 【解答】解:复数 ∴z 的虚部为﹣1. 故选:C. = =﹣1﹣i,

3.下列关于命题的说法错误的是(



A.命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”

B.“a=2”是“函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件 C.若命题 P:? n∈N,2n>1000,则¬P:? n∈N,2n≤1000 D.命题“? x∈(﹣∞,0) ,2x<3x”是真命题 【考点】特称命题;全称命题. 【分析】选项 A 是写一个命题的逆否命题,只要把原命题的结论否定当条件,条 件否定当结论即可; 选项 B 看由 a=2 能否得到函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上为增函数,反之 又是否成立; 选项 C、D 是写出特称命题的否定,注意其否定全称命题的格式. 【解答】解:因为命题“若 x2﹣3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x2﹣ 3x+2≠0”,所以 A 正确; 由 a=2 能得到函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上为增函数,反之,函数 f(x) =logax 在区间(0,+∞)上为增函数,a 不一定大于 2,所以“a=2”是“函数 f(x) =logax 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件,所以选项 B 正确; 命题 P:? n∈N,2n>1000,的否定为¬P:? n∈N,2n≤1000,所以选项 C 正 确; 因为当 x<0 时恒有 2x>3x,所以命题“? x∈(﹣∞,0) ,2x<3x”为假命题,所 以 D 不正确. 故选 D.

4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹 长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序 框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输出的 n 等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:当 n=1 时,a= 当 n=2 时,a= 当 n=3 时,a= 当 n=4 时,a= ,b=4,满足进行循环的条件,

,b=8 满足进行循环的条件, ,b=16 满足进行循环的条件, ,b=32 不满足进行循环的条件,

故输出的 n 值为 4, 故选 C.

5.函数 f(x)= +ln|x|的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】当 x<0 时,函数 f(x)= 当 x>0 时,函数 f(x)= 确, 【解答】解:当 x<0 时,函数 f(x)= 减知函数 f(x)= 当 x>0 时,函数 f(x)= 递减,排除 CD; ,此时,f(1)= =1,而选项 A 的最小 ,由函数 y= 、y=ln(﹣x)递 ,由函数的单调性,排除 CD;

,此时,代入特殊值验证,排除 A,只有 B 正

值为 2,故可排除 A,只有 B 正确, 故选:B.

6.设{an}是公差不为零的等差数列,满足 和等于( A.﹣10 ) B.﹣5 C.0 D.5

,则该数列的前 10 项

【考点】等差数列的前 n 项和. 【分析】设出等差数列的首项和公差,把已知等式用首项和公差表示,得到 a1+a10=0,则可求得数列的前 10 项和等于 0. 【解答】解:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d(d≠0) , 由 ,得 ,

整理得:2a1+9d=0,即 a1+a10=0, ∴ 故选:C. .

7.如图,已知长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 6,∠C1BC 的正切值为 ,当 AB+AD+AA1 的值最小时,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的表面积( )

A.10π B.12π C.14π D.16π 【考点】球的体积和表面积. 【分析】先根据条件求出长方体的三条棱长,再求出长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外 接球的直径,即可得出结论. 【解答】解:由题意设 AA1=x,AD=y,则 AB=3x, ∵长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 6, ∴xy?3x=6, ∴y= , ≥3 =6,

∴AB+AD+AA1=4x+ 当且仅当 2x=

,即 x=1 时,取得最小值, = ,

∴长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的直径为 ∴长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 外接球的表面积=14π, 故选 C.

8.已知抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: 距离为

=1(a>0,b>0)渐近线的

,点 P 是抛物线 y2=8x 上的一动点,P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c) )

的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3,则该双曲线的方程为( A. B. C. D.

【考点】双曲线的标准方程. 【分析】确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得 b=2a,再利 用抛物线的定义,结合 P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值为 3,可得 FF1=3,从而可求双曲线的几何量,从而可得结 论. 【解答】解:抛物线 y2=8x 的焦点 F(2,0) ,双曲线 C: >0)的一条渐近线的方程为 ax﹣by=0, ∵抛物线 y2=8x 的焦点 F 到双曲线 C: 为 ∴ ∴a=2b, ∵P 到双曲线 C 的上焦点 F1(0,c)的距离与到直线 x=﹣2 的距离之和的最小值 为 3, ∴FF1=3 ∴c2+4=9 ∴ ∵c2=a2+b2,a=2b, ∴a=2,b=1 ∴双曲线的方程为 故选 C. ﹣x2=1. , =1(a>0,b>0)渐近线的距离 =1(a>0,b

9.已知 x,y 满足 数项为( )

,若目标函数 z=x+2y 的最大值为 n,则

的常

A.240 B.﹣240

C.60 D.16

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得 到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得 n,再由二项式的通 项求解. 【解答】解:由约束条件 作出可行域如图,

联立

,解得 A(2,2) , ,由图可知,当直线 y= 过 A 时,直线在 y

化目标函数 z=x+2y 为 y=

轴上的截距最大,z 有最大值为 6. ∴ 由 令 6﹣ ∴ 故选:A. ,解得 r=4. 的常数项为 . = . = .

10.已知函数 y=2sin(ωx+φ) (ω>0)的部分图象如图所示,点 A(﹣

,0) 、 , )

B、C 是该图象与 x 轴的交点,过点 B 作直线交该图象于 D、E 两点,点 F( 0) f x) 是( 的图象的最高点在 x 轴上的射影, 则 ( ﹣ ? ) (ω ) 的值是 (

A.2π2 B.π2 C.2 D.以上答案均不正确

【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据函数 y=2sin(ωx+φ) (ω>0)的部分图象,利用周期性求得 ω,可 得 C、B 的坐标,再根据线段 EF 关于点 B 对称,利用两个向量的加减法及其几何 意义求得要求式子的值. 【解答】解:根据函数 y=2sin(ωx+φ) (ω>0)的部分图象可得 ? (﹣ ) ,∴ω=2. )+φ=π,∴φ= ,0) . ﹣ )?(ω =2π2, )=( + )?(ω ) ,函数 y=2sin(2x+ ) ,可得 C( ,0) , = ﹣

∵2?(﹣

故 AC 的中点 B(

由题意可得线段 EF 关于点 B 对称,则( =2 ?2 =4|AB|?|AC|=4? ?T=2T2=2?

故选:A.

11.已知定义在 R 内的函数 f(x)满足 f(x+4)=f(x) ,当 x∈[﹣1,3]时,f ( x) = 的不等实数根的个数是( A.3 B.4 C.5 D.6 ) ,则当 t∈( ,2]时,方程 7f(x)﹣2x=0

【考点】根的存在性及根的个数判断. 【分析】题意可转化为函数 y=f(x)与直线 y= x 的图象的交点的个数,从而解 得. 【解答】解:∵7f(x)﹣2x=0,∴f(x)= x,

作函数 y=f(x)与直线 y= x 的图象如下,



结合图象可知, 函数 y=f(x)与直线 y= x 的图象有 5 个交点, 故方程 7f(x)﹣2x=0 的不等实数根的个数是 5, 故选 C.

12.已知 f′(x)是定义在(0,+∞)上的函数 f(x)的导函数,若方程 f′(x) =0 无解, f[f(x)﹣log2016x]=2017,设 a=f(20.5) 且? x∈ (0, +∞) , ,b=f(logπ3) , c=f(log43) ,则 a,b,c 的大小关系是( )

A.b>c>a B.a>c>b C.c>b>a D.a>b>c 【考点】函数的单调性与导数的关系. =t+log2016x, 【分析】 根据 f (x) ﹣log2016x 是定值, 设 t=f (x) ﹣log2016x, 得到 f (x) 结合 f(x)是增函数判断 a,b,c 的大小即可. 【解答】解:∵方程 f′(x)=0 无解, ∴f′(x)>0 或 f′(x)<0 恒成立, ∴f(x)是单调函数, 由题意得? x∈(0,+∞) ,f[f(x)﹣log2016x]=2017, 又 f(x)是定义在(0,+∞)的单调函数, 则 f(x)﹣log2016x 是定值, 设 t=f(x)﹣log2016x, 则 f(x)=t+log2016x, ∴f(x)是增函数, 又 0<log43<logπ3<1<20.5 ∴a>b>c, 故选:D.

二.填空题(本大题 4 个小题,每题 5 分,共 20 分) 13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 由已知中的三视图, 可知该几何体是一个 圆柱和一个三棱锥组合而成, 求出圆柱体积加三棱锥体积,可得该几何体的体积. 【解答】解:已知中的三视图,可知该几何体是一个 圆柱和一个三棱锥组合而 成, 圆柱的半径 r=2,高为 2,其体积为: 三棱锥底面 S= ×2×2=2,高为 2,其体积为: ∴该几何体的体积 V= 故答案为 . . .

14.已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的可导函数,并满足以下条件: ①g(x)≠0 ②f(x)=2axg(x) (a>0,a≠1) ③f(x)g′(x)<f′(x)g(x) 若 + =5,则 a= 2 .

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据题意,设 h(x)= ,分析可得 h(x)= =2ax,对其求导分

析可得 h′(x)= +

>0,可得 h(x)=2ax 为增函数,由

=5 可得 2a+ =5,计算可得 a 的值,结合 a 的范围取舍即可得答案. , =2ax, ,

【解答】解:根据题意,设 h(x)= 由 f(x)=2axg(x)可得 h(x)= 则其导数 h′(x)= 又由 f(x)g′(x)<f′(x)g(x) , 则 h′(x)= 若 + =5,即 2a+ =5,

>0,即 h(x)=2ax 为增函数,故 a>1,

解可得 a=2 或 , 又由 a>1,则 a=2; 故答案为:2.

15.在△ABC 中,已知 c=2,若 sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C,则 a+b 的取值范围 (2,4] .

【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C,由余弦定理可得:a2+b2﹣ab=c2,再利用余 弦定理可得 C.由正弦定理可得: = = ,解出 a,b 代入

a+b,利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出. 【解答】解:∵sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C,由余弦定理可得:a2+b2﹣ab=c2, 可得 cosC= 由正弦定理可得: ∴a= sinA,b= sinB,B= = ,C∈(0,π) ,∴C= = = ﹣A. , .

则 a+b= =4sin A∈

sinA+ , ,∴

sinB=

sinA+

sin(

﹣A)



,∴sin





∴a+b∈(2,4]. 故答案为: (2,4].

16.艾萨克?牛顿英国皇家学会会长,英国著名物理学家,同时在数学上也有许 多杰出贡献,牛顿用“作切线”的方法求函数 f(x)零点时给出一个数列{xn}:满 足 ,我们把该数列称为牛顿数列.如果函数 f(x)=ax2+bx+c

(a>0)有两个零点 1,2,数列{xn}为牛顿数列,设 xn>2,则{an}的通项公式 an= 【考点】数列递推式. 2n .

,已知 a1=2,

【分析】由已知得到 a,b,c 的关系,可得 f(x)=ax2﹣3ax+2a,求导后代入 ,整理可得 ,两边取对数,可得 是

以 2 为公比的等比数列,再由等比数列的通项公式求导答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0)有两个零点 1,2, ∴ ,解得: .

∴f(x)=ax2﹣3ax+2a. 则 f′(x)=2ax﹣3a. 则 = = ,







是以 2 为公比的等比数列,



,且 a1=2,

∴数列{an}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列, 则 故答案为:2n. ,

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.设 Sn 是数列的前 n 项和,已知 a1=3an+1=2Sn+3(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=(2n﹣1)an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 【考点】数列递推式;数列的求和. 【分析】 (1)利用数列的递推关系式推出数列是等比数列,然后求解通项公式. (2)化简数列的通项公式,利用错位相减法求和,求解即可. 【解答】解: (1)当 n≥2 时,由 an+1=2Sn+3,得 an=2Sn﹣1+3, 两式相减,得 an+1﹣an=2sn﹣2sn﹣1=2an,∴an+1=3an, ,

当 n=1 时,a1=3,a2=2S1+3=9,则



∴数列{an}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列, ∴an=3n. (2)由(1)得 bn=(2n﹣1)an=(2n﹣1)3n. ∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+(2n﹣1)3n, 3Tn=1×32+3×33+5×34+…+(2n﹣1)3n+1, 错位相减得:﹣2Tn=1×3+2×32+2×33+…+2×3n﹣(2n﹣1)3n+1, =﹣6﹣(2n﹣2)3n+1 ∴ .

18.空气质量指数(Air Quality Index,简称 AQI)是定量描述空气质量状况的指

数,空气质量按照 AQI 大小分为六级,0~50 为优;51~100 为良;101~150 为 轻度污染;151~200 为中度污染;201~250 为重度污染;>300 为严重污染.一 环保人士记录 2017 年某地某月 10 天的 AQI 的茎叶图如图. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数; (按这个月总共 30 天计算) (2)将频率视为概率,从本月中随机抽取 3 天,记空气质量优良的天数为 ξ, 求 ξ 的概率分布列和数学期望.

【考点】离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2,空气质量良的 天数为 4,从而求出该样本中空气质量优良的频率,由此能估计该月空气质量优 良的天数. ξ 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3.且 ξ~ (2) 估计某天空气质量优良的概率为 , B(3, ) ,由此能求出结果. 【解答】解: (1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为 2, 空气质量良的天数为 4, 故该样本中空气质量优良的频率为 从而估计该月空气质量优良的天数为 , 天.

(2)由(1)估计某天空气质量优良的概率为 , ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3.且 ξ~B(3, ) , , , ∴ξ 的分布列为:

ξ P

0

1

2

3

E(ξ)=

=1.8.

19.等腰三角形 ABC,E 为底边 BC 的中点,沿 AE 折叠,如图,将 C 折到点 P 的 位置,使 P﹣AE﹣C 为 120°,设点 P 在面 ABE 上的射影为 H. (1)证明:点 H 为 EB 的中点; (2) ) 若 ,求直线 BE 与平面 ABP 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角. 【分析】 (1)证明:∠CEP 为二面角 C﹣AE﹣P 的平面角,则点 P 在面 ABE 上的 射影 H 在 EB 上,即可证明点 H 为 EB 的中点; (2)过 H 作 HM⊥AB 于 M,连 PM,过 H 作 HN⊥PM 于 N,连 BN,则有三垂线 定理得 AB⊥面 PHM.即面 PHM⊥面 PAB,HN⊥面 PAB.故 HB 在面 PAB 上的射 影为 NB,∠HBN 为直线 BE 与面 ABP 所成的角,即可求直线 BE 与平面 ABP 所成 角的正弦值. 【解答】 (1)证明:依题意,AE⊥BC,则 AE⊥EB,AE⊥EP,EB∩EP=E. ∴AE⊥面 EPB. 故∠CEP 为二面角 C﹣AE﹣P 的平面角,则点 P 在面 ABE 上的射影 H 在 EB 上. 由∠CEP=120°得∠PEB=60°.… ∴EH= EP= .

∴H 为 EB 的中点.… (2)解:过 H 作 HM⊥AB 于 M,连 PM,过 H 作 HN⊥PM 于 N,连 BN, 则有三垂线定理得 AB⊥面 PHM.即面 PHM⊥面 PAB, ∴HN⊥面 PAB.故 HB 在面 PAB 上的射影为 NB.

∴∠HBN 为直线 BE 与面 ABP 所成的角.… 依题意,BE= BC=2,BH= BE=1. 在△HMB 中,HM= 在△EPB 中,PH= , . ,

∴在 Rt△PHM 中,HN= ∴sin∠HBN= .…

20. 设椭圆

+

=1 (a>

) 的右焦点为 F, 右顶点为 A. 已知

+

=



其中 O 为原点,e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程; (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上) ,垂直于 l 的直线与 l 交 于点 M,与 y 轴于点 H,若 BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线 l 的斜率的取 值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由题意画出图形,把|OF|、|OA|、|FA|代入 转化为关于 a 的方程,解方程求得 a 值,则椭圆方程可求; (2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) ,联立直线方程和椭圆方程, 化为关于 x 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 B 的坐标,再写出 MH 所 在直线方程, 求出 H 的坐标, 由 BF⊥HF, 得 , + = ,

整理得到 M 的坐标与 k 的关系,由∠MOA≤∠MAO,得到 x0≥1,转化为关于 k 的不等式求得 k 的范围.

【解答】解: (1)由

+

=

,得







∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3) ,解得 a=2. ∴椭圆方程为 ;

(2)由已知设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) , (k≠0) , 设 B(x1,y1) ,M(x0,k(x0﹣2) ) , ∵∠MOA≤∠MAO, ∴x0≥1, 再设 H(0,yH) , 联立 ,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.

△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2) (16k2﹣12)=144>0. 由根与系数的关系得 ,





, , ,

MH 所在直线方程为 令 x=0,得 ∵BF⊥HF, ∴ 即 1﹣x1+y1yH= ,



整理得:

,即 8k2≥3.≤







21.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1,其中 a 为实数. (1)若 a=1,求函数 f(x)的最小值; (2)若方程 f(x)=0 在(0,2]上有实数解,求 a 的取值范围; (3)设 ak,bk(k=1,2…,n)均为正数,且 a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn,求 证:a1 a2 …an ≤1.

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求出 f'(x)=ex﹣1,由 f'(x)=0 得 x=0,从而求出函数的单调区 间,进而求出函数的最值; (2)先求出 f'(x)=ex﹣a(0<x≤2) ,再讨论①当 a≤1 时,②当 a≥e2 时,③ 当 1<a<e2 时的情况,从而求出 a 的范围; (3)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时,ex>x+1,得 bklnak<akbk﹣bk(k=1,2,…, n) ,求和得 ln < akbk﹣ bk≤0.从而问题得证.

【解答】解: (1)f'(x)=ex﹣1,由 f'(x)=0 得 x=0 当 x>0 时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内递增; 当 x<0 时,f'(x)<0,f(x)在(﹣∞,0)内递减; 故函数 f(x)在 x=0 处取得最小值 f(1)=0. (2)f'(x)=ex﹣a(0<x≤2) ①当 a≤1 时,f'(x)>0,f(x)在(0,2]内递增; f(x)>f(0)=0,方程 f(x)=0 在(0,2]上无实数解; ②当 a≥e2 时,f'(x)≤0,f(x)在(0,2]内递减;

f(x)<f(0)=0,方程 f(x)=0 在(0,2]上无实数解; ③当 1<a<e2 时,由 f'(x)=0,得 x=lna, 当 0<x<lna 时,f'(x)<0,f(x)递减; 当 lna<x<2 时,f'(x)>0,f(x)递增; 又 f(0)=0,f(2)=e2﹣2a﹣1 由 f(2)=e2﹣2a﹣1≥0 得 1<a≤ 故 a 的取值范围为(1, ] ,

(3)由(1)知,当 x∈(0,+∞)时,ex>x+1,即 ln(x+1)<x. ∵ak,bk>0,从而有 lnak<ak﹣1, 得 bklnak<akbk﹣bk(k=1,2,…,n) , 求和得 ln( 故 a1 a2 ln … …an < akbk﹣ )<0, ≤1. bk≤0,

选修 4-4:坐标系与参数方程] 22.已知直线 l 的参数方程是 (t 是参数) ,以坐标原点为极点,x 轴

的正半轴为极轴,且取相同的长度单位建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 cos(θ+ ) .

(1)求直线 l 的普通方程与圆 C 的直角坐标方程; B 两点, 0) (2) 设圆 C 与直线 l 交于 A、 若 P 点的直角坐标为 (1 , , 求|PA|+|PB| 的值. 【考点】直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)将参数方程两式相加消去参数 t 得到直线 l 的普通方程,将极坐标 方程展开两边同乘 ρ,根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程; (2)将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,利用根与系数的关系和

参数的几何意义求出距离.

【解答】解: (1)∵直线 l 的参数方程是 即直线 l 的普通方程为 x+y﹣1=0. ∵ρ=2 cos(θ+ )=2cosθ﹣2sinθ,

(t 是参数) ,∴x+y=1.

∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ, ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x﹣2y,即 x2+y2﹣2x+2y=0. (2)将 ∴t1+t2= 代入 x2+y2﹣2x+2y=0 得 t2﹣ ,t1t2=﹣1. = . t﹣1=0,

∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|=

[选修 4-5:不等式选讲] 23.已知函数 f(x)=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|,且 f(x)的最大值记为 k. (Ⅰ)求不等式 f(x)≥x 的解集; (Ⅱ)是否存在正数 a、b,同时满足 a+2b=k, 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)通过讨论 x 的范围,求出不等式组的解集取并集即可; (Ⅱ)求出 k=1,得到 a+2b=1,结合基本不等式的性质判断即可. 【解答】解: (Ⅰ)不等式 f(x)≥x, 即为|2x﹣1|﹣|2x﹣2|﹣x≥0, ∴ 或 或 , + =4﹣ ?请说明理由.

解得:x≤﹣1 或 x∈?或 x=1, 综上,不等式的解集是{x|x≤﹣1 或 x=1}; (Ⅱ)f(x)=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣1﹣2x+2|=1, 当且仅当 x≥1 时取“=”,

故 k=1, 假设存在符合条件的正数 a,b,则 a+2b=1, + + = + + =2( + )=8+ + ≥8+2 =16,

当且仅当 a= ,b= 时取“=”号, ∴ + + 的最小值是 16, >4﹣ , + =4﹣ 同时成立.

即 + ≥16﹣

∴不存在正数 a、b,同时满足 a+2b=k,

2017 年 4 月 27 日
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