苏教版高中数学必修1课时训练:1.1 集合的含义及其表示


第 1 章 集合

数学· 必修 1(苏教版)

集 1. 1



集合的含义及其表示

一位渔民非常喜欢数学, 但他怎么也不明白集合的意义, 于是他 请教数学家:“尊敬的先生,请您告诉我,集合是什么?”集合是不 定义的原始概念,数学家很难回答那位渔民,有一天,他来到渔民的 船上,看到渔民撒下鱼网,轻轻一拉,许多鱼虾在网上跳动,数学家 非常激动,高兴地告诉渔民:“这就是集合!”你能理解数学家的话 吗?

基 础 巩 固

第 1 章 集合 1.下列说法正确的是( )

A.我校爱好足球的同学组成一个集合

B.{1,2,3}是不大于 3 的自然数组成的集合

C.集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同一集合

1 3 6 D.数 1,0,5, , , , 2 2 4

1 组成的集合有 7 个元素 4

答案:C

2. 若集合 A={-1,1}, B={0,2}, 则集合{z|z=x+y, x∈A, y∈B} 中的元素个数为( )

A.5 个

B.4 个

C.3 个

D.2 个

答案:C

3.下列四个关系中,正确的是( A.a∈{a,b} B.{a}∈{a,b}

)

第 1 章 集合

C.a?{a}

D.a?{a,b}

答案:A

4.集合 M={(x,y)|xy<0,x∈R,y∈R}是( A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C.第四象限内的点集 D.第二、四象限内的点集

)

解析:集合 M 为点集且横、纵坐标异号,故是第二、四象限内 的点集. 答案:D

5.若 A={(2,-2),(2,2)},则集合 A 中元素的个数是(

)

A.1 个

B.2 个

C.3 个 D.4 个

第 1 章 集合

答案:B

6.集合 M 中的元素都是正整数,且若 a∈M,则 6-a∈M,则 所有满足条件的集合 M 共有( )

A.6 个

B.7 个

C.8 个 D.9 个

解析:由题意可知,集合 M 中包含的元素可以是 3,1 和 5,2 和 4 中的一组,两组,三组,即 M 可为{3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4}, {1,5,2,4},{3,1,5,2,4},共 7 个. 答案:B

7.下列集合中为空集的是( A.{x∈N|x2≤0} C.{x∈R|x2+x+1=0}

) B.{x∈R|x2-1=0}

D.{0}

答案:C

第 1 章 集合

8.设集合 A={2,1-a,a2-a+2},若 4∈A,则 a=( A.-3 或-1 或 2 B-3 或-1

)

C.-3 或 2

D.-1 或 2

解析:当 1-a=4 时,a=-3,A={2,4,14};当 a2-a+2=4 时, 得 a=-1 或 2,当 a=-1 时,A={2,2,4},不满足互异性,当 a= 2 时,A={2,4,-1}.∴a=-3 或 2. 答案:C

9.集合 P={x|x=2k,k∈Z},Q={x|x=2k+1,k∈Z},M={x|x =4k+1,k∈Z},若 a∈P,b∈Q,则有( A.a+b∈P B.a+b∈Q C.a+b∈M D.a+b 不属于 P、Q、M 中任意一个 )

解析:∵a∈P,b∈Q,∴a=2k1,k1∈Z,b=2k2+1,k2∈Z, ∴a+b=2(k1+k2)+1,k1,k2∈Z,∴a+b∈Q. 答案:B

第 1 章 集合

10. 由下列对象组成的集体, 其中为集合的是________(填序号). ①不超过 2π 的正整数; ②高一数学课本中的所有难题; ③中国的高山; ④平方后等于自身的实数; ⑤高一(2)班中考 500 分以上的学生.

答案:①④⑤

11.若 a=n2+1,n∈N,A={x|x=k2-4k+5,k∈N},则 a 与 A 的关系是________.

解析:∵a=n2+1=(n+2)2-4(n+2)+5,且当 n∈N 时,n+ 2∈N. 答案:a∈A

12.集合 A={x|x∈R 且|x-2|≤5}中最小整数为_______.

第 1 章 集合

解析:由|x-2|≤5?-5≤x-2≤5?-3≤x≤7,∴最小整数为 -3. 答案:-3

13.一个集合 M 中元素 m 满足 m∈N+,且 8-m∈N+,则集合 M 的元素个数最多为________.

答案:7 个

14.下列各组中的 M、P 表示同一集合的是________(填序号). ①M={3,-1},P={(3,-1)}; ②M={(3,1)},P={(1,3)}; ③M={y|y=x2-1,x∈R},P={a|a=x2-1,x∈R}; ④M={y|y=x2-1,x∈R},P={(x,y)|y=x2-1,x∈R}.

答案:③

能 力 提 升

第 1 章 集合 15. 已知集合 A={x|x∈R|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0}中有且仅有 一个元素,求 a 的值.

1 解析:(1)若 a2-1=0,则 a=± 1.当 a=1 时,x=- ,此时 A= 2
? 1? ?- ?,符合题意;当 a=-1 时,A=?,不符合题意. ? 2?

5 (2)若 a2-1≠0,则 Δ=0,即(a+1)2-4(a2-1)=0?a= ,此时 3
? 3? 5 A=?-4?,符合题意.综上所述,a=1 或 . 3 ? ?

? ? b 16.若集合 A=?a,a,1?又可表示为{a2,a+b,0},求 a2014+ ? ?

b2013 的值.

b 解析:由题知 a≠0,故a=0,∴b=0,∴a2=1, ∴a=± 1, 又 a≠1,故 a=-1. ∴a2014+b2013=(-1)2014+02013=1.

第 1 章 集合 17.设正整数的集合 A 满足:“若 x∈A,则 10-x∈A”. (1)试写出只有一个元素的集合 A;

(2)试写出只有两个元素的集合 A;

(3)这样的集合 A 至多有多少个元素?

解析:(1)令 x=10-x?x=5.故 A={5}. (2)若 1∈A, 则 10-1=9∈A; 反过来, 若 9∈A, 则 10-9=1∈A. 因此 1 和 9 要么都在 A 中,要么都不在 A 中,它们总是成对地出现 在 A 中. 同理, 2 和 8,3 和 7,4 和 6 成对地出现在 A 中, 故{1,9}或{2,8} 或{3,7}或{4,6}为所求集合. (3)A 中至多有 9 个元素,A={1,9,2,8,3,7,4,6,5}.

1+a 18.若数集 M 满足条件:若 a∈M,则 ∈M(a≠0,a≠± 1), 1-a 则集合 M 中至少有几个元素?

第 1 章 集合 1+a 1-a 1+a 1 解析:∵a∈M, ∈M,∴ =-a∈M, 1-a 1+a 1- 1-a 1+ a-1 1 1+ 1-a a-1 a+1 ∴ = ∈M,∴ =a∈M. 1 a+1 a-1 1+a 1- a+1 ∵a≠0 且 a≠± 1,∴a, 有 4 个元素. 1+a 1 a-1 ,-a, 互不相等∴集合 M 中至少 1-a a+1


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