2015-2016学年高中数学 1.4.3正切函数的性质与图象课件 新人教A版必修_图文

第一章
1.4
1.4.3

三角函数

三角函数的图象与性质
正切函数的性质与图象

题型1 正切函数的图象
例1
?x π ? 函数 y=tan? - ?在一个周期内的图象是( ?2 3 ?

)

分析:本题主要考查函数 y=Atan(ωx+φ)的图象. 解析:方法一 采用三点两线法作出函数 y=tan
?x π? ? - ?在一个周期内的简图. ?2 3 ?

π x π 即令 - =0,± ,求得三点坐标分别为 2 3 4
?2π ? ?7π ? ?π ? ? ,0?,? ,1?和? ,-1?, 3 6 ? ? ? ? ?6 ?

π x π 又令 - ≠± ,求得二渐近线方程为 x≠ 2 3 2 π 5π - 且 x≠ ,故选 A. 3 3

方法二

?x π? π ? ? y=tan - 的周期 T= =2π, 1 ?2 3 ?

2 而由图象 B、D 可知周期为π,故可排除 B、D.
?π π? π π ? ? 当 x= 时,y=tan - =-tan ≠0, 3 6 3? ?6

故可排除 C,因此应选 A. 方法三
?x π? 1? 2π? ?, ∵y=tan? - ?=tan ?x- 2 3 ? ?2 3 ? ?

2π x ∴此函数图象可由 y=tan 的图象向右平移 2 3 x 个单位得到,而 y=tan 的图象过原点, 2
?2π ? π ? ? 故原函数的图象过点 ,0 .又 T= 1 =2π ? 3 ?

2 的只有 A,故选 A. 答案:A 点评:三点两线法是作正切函数图象的常用方法.

?跟踪训练
? π? 1.与函数 y=tan?2x+ ?的图象不相交的一条直线是(D) 4? ?

π A.x= 2 π C.x=- 4 π D.x= 8

π B.x=- 2

? π π π π? 解析:当 x= 时,2x+ = ,y=tan?2x+ ?无意义, 8 4 2 4? ?

π 故 x= 与函数的图象不相交.故选 D. 8

题型2 正切函数的周期性
例 2 求下列函数的最小正周期:
?π 3? (1)y=-tan? x+ ?; 5? ?3

(2)y=|tan x|. 分析:本题主要考查正切函数的周期,(1)式利用 π T= 求解;(2)式应画出函数 y=|tan x|的图象, |ω| 利用图象法求解.

π π π 解析:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= = =3. 3 |ω| π 3 (2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 的图象 在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去,其余不变,因 此函数 y=|tan x|的最小正周期为π. π 点评:函数 y=|tan(ωx+φ)|的最小正周期为 T= . |ω|

?跟踪训练 2.求下列函数的最小正周期: 7x (1)y=tan ; 3
? π? (2)y=-tan?2x+ ?. 3? ?

分析:本题主要考查正切函数的周期,利用 π T= 求解即可. |ω| 7 解析:(1)∵ω= , 3

π π 3π ∴最小正周期 T= = = . 7 |ω| 7 3 π π (2)∵ω=2,∴最小正周期 T= = . |ω| 2

题型3 正切函数的单调性
例3
? 1 π? 求函数 y=tan?- x+ ?的单调减区间. 4? ? 2

分析:求 y=Atan(ωx+φ)的单调区间,首先把 x 的 系数化为正的,再利用整体代换,将 ωx+φ 代入相 应不等式中,求解相应变量 x 的取值范围.
? 1 ?1 π? π? 解析:∵y=tan?- x+ ?=-tan? x- ?, 4? 4? ? 2 ?2

π x π π 令 kπ- < - <kπ+ ,k∈Z, 2 2 4 2

π 3π 解得 2kπ- <x<2kπ+ ,k∈Z. 2 2
? 1 π? ∵y=tan?- x+ ?的单调减区间就是 u= 4? ? 2 ?1 π? tan? x- ?的单调增区间, 4? ?2 ?1 π π? 而 u=tan? x- ?的单调增区间为(2kπ- , 2 4? ?2

3π 2kπ+ ),k∈Z, 2
? 1 π? ∴函数 y=tan?- x+ ?的单调减区间是(2kπ 4? ? 2

π 3π - ,2kπ+ ),k∈Z . 2 2 点评:正切函数的单调区间关键点,一是不含 边界,二是因正切函数的周期是π的函数,书 写单调区间时要注意.

?跟踪训练 3.比较tan 1,tan 2,tan 3的大小. 分析 :比较正切函数值的大小,应首先把相关角化为 同一单调区间的角,再利用单调性比较大小.如不是

一个单调区间的角,则可用介值法进行比较.

解析: ∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π), π 0<π-3<π-2< , 2 π π ∴- <2-π<3-π<0<1< . 2 2

? π π? 而函数 y=tan x 在区间?- , ?上单调递增, 2? ? 2

则 tan(2-π)<tan(3-π)<tan 1, 即 tan 2<tan 3<tan 1.

题型4 正切函数的综合问题
例 4 画出函数 y=|tan x|+tan x 的图象,并指出其定义 域、值域、最小正周期和单调增区间. 分析:本题主要考查正切函数的图象和性质,应先对 tan x 值的符号分类讨论,作出函数 y=|tan x|+tan x 的图象后,再进行研究.
? ?2tan x,tan x≥0, 解析:y=|tan x|+tan x=? ?0,tan x<0. ?

作函数 y=|tan x|+tan x 的图象如下:

? ? ? π 观察图象知,其定义域为?x?x≠kπ+ ,k∈Z?, 2 ? ? ?

值域为[0,+∞),最小正周期为π,单调增区间为
? π? ?kπ,kπ+ ?(k∈Z). 2? ?

点评:含绝对值问题的处理办法,就是讨论去绝对值, 再借助图象解决问题.

?跟踪训练 x? ? ?,k∈N*,当 x 在 4.设函数 y=10tan?(2k-1)· 5? ? 任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时函数至 少有两次失去意义,求 k 的最小正整数值. 解析:由题设,对两个周期有 2T<1, 2k-1 即 >2π?2k-1>10π?2k>10π+1, 5 10π+1 32.4 ∴k> ≈ =16.2. 2 2 ∵∈N*,∴kmin=17.


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