2019年人教A版选修4-5高中数学拔高练习 十二 4.1


拔高习题 十二 数归纳法 一、选择题(每小题 6 分,共 18 分) 1.设 f(n)= 需添的项为( A. C. + + + ) B. D. +…+ + . . + +…+ (n∈N+),在利用数归纳法证明时,从 n=k 到 n=k+1 【解析】选 D.因为 f(k)= 所以 f(k+1)= 故需添的项为 + + +…+ + = 【误区警示】本题易错选 C.忽略了 n=k+1 时少了一项 【拓展延伸】数归纳法解决项数问题 数归纳法证明中的项数问题,重点看从 n=k 到 n=k+1 时项数的变化规律,多了哪 些项,少了哪些项,把握好项的规律,利用数列知识解决. 2.用数归纳法证明“当 n 为正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,第二步归纳假设应 写成 ( ) A.假设 n=2k+1(k∈N+)正确,再推 n=2k+3 正确 B.假设 n=2k-1(k∈N+)正确,再推 n=2k+1 正确 C.假设 n=k(k∈N+)正确,再推 n=k+1 正确 D.假设 n=k(k≥1)正确,再推 n=k+2 正确 【解析】选 B.首先要注意 n 为奇数,其次还要使 n=2k-1 能取到 1. 3.设平面内有 k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条直线的交 点个数为 f(k),则 f(k+1)与 f(k)的关系是 A.f(k+1)=f(k)+k+1 C.f(k+1)=f(k)+k ( ) B.f(k+1)=f(k)+k-1 D.f(k+1)=f(k)+k+2 【解析】选 C.当 n=k+1 时,任取其中 1 条直线,记为 l,则除 l 外的其他 k 条直线 的交点的个数为 f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线 l 必与平面内其 他 k 条直线都相交(有 k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上 面的 k 个交点两两不相同,且与平面内其他的 f(k)个交点也两两不相同,从而平 面内交点的个数是 f(k)+k=f(k+1). 二、填空题(每小题 6 分,共 12 分) 4.(2016·佛山高二检测)已知 a1= , 【解析】由 a1= , 答案: 5.(2016·杭州高二检测)用数归纳法证明:“当 n 为正偶数时,xn-yn 能被 x+y 整 除”时 , 第一步应验证 n=______ 时 , 命题成立 ; 第二步归纳假设成立应写成 __________. 【解析】因为 n 为正偶数,第一步应验证 n=2 时,命题成立;第二步归纳假设成立 应写成“假设当 n=k(k 为偶数且 k≥2)时 xk-yk 能被 x+y 整除”. 答案:2 假设当 n=k(k 为偶数且 k≥2)时 xk-yk 能被 x+y 整除 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) = = ,猜想 an=__________. . ,得 a2= ,a3= ,a4= ,猜想得 an= 6.用数归纳法证明: 1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)= 【证明】(1)当 n=1 时,左边=1×2×3=6,右边= (2)假设当 n=k 时成立.即 1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2) = , (n∈N+). =6,等式成立. 那么当 n=k+1 时,1×2×3+2×3×4+…+k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3) = 式成立. 综合上述(1)(2)得,对一切正整数 n,等式都成立. 7.(2016· 福州高二检测)证明:凸 n 边形的对角线的条数为 f(n)= n(n-3)(n≥4,n

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