第五届全国高中数学青教师观摩与评比活动:《矩阵与变换》教案与说课稿_图文

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人教 A 版理科选修 4-2《矩阵与变换》
一、教材分析 选修 4-2 是一本非常新的教材,内容为《矩阵与变换》 ,是新课标新提出来的一个模块,旧教 材是没有的。 新课改将矩阵这一高等代数中占据着重要地位的概念在高中阶段提出来, 无疑将高中 的代数知识学习又上升到一个新的高度。对于这一模块的处理,各个版本教材有不少差异。福建省 选用的是人教 A 版教材,对于代数中占据重要地位的矩阵,人教 A 版教材选择从变换的角度去切 入,降低了高中生学习矩阵的门槛,同时又增强了矩阵的“直观性”和“趣味性” 。本节课在本教 材中的地位和作用分析如下: 从内容角度分析:自从矩阵与向量的乘法让我们实现了矩阵对点即向量的变换,从点到线, 从线再到平面,从平面几何的概念来讲,乃一脉相承,几种线性变换与矩阵的联系得到了更 形象的增强,平面图形的丰富性必然会让矩阵的“直观性”更具冲击力。该节课看似不是重 点,却是一个知识的交汇点,起着承上启下的重要作用。 从思想角度分析:数形结合思想是高中阶段非常重要的思想,在新课改之前,这种思想可能 更多地体现在诸如解析几何等内容。而利用矩阵这个代数工具来实现线性变换对平面区域的 作用, 可以说是将数形结合的思想推向了一个新的高度, 让孩子们可以发自内心地去感叹 “数 学真的是有用的” 。 从成长角度分析:该节课中所举的例子,有着浓厚的应用味道,充分符合课改中数学是“好 玩”的精神,贴近生活的应用,可以让孩子们可以充分感受数学的无处不在,也可以让孩子 们对接下去乃至大学高等代数的学习兴趣倍增,让他们的高数学习更加如鱼得水。 二、教学目标: 知识目标: 让学生探究出平行四边形区域的向量形式, 了解如何利用矩阵对单位正方形区域进 行常见线性变换, 并通过平面图形帮学生更直观地巩固几种常见线性变换及其对应 矩阵。 能力目标:能够运用所学的方法,利用矩阵对单位正方形区域进行常见的线性变换,更直观地 体会矩阵与变换之间的对应关系,提高运用数形结合思想解决问题的能力。 情感目标: 用最贴近生活的例子切入课题并逐步深入解决问题, 充分激发学生学习数学的热情, 让学生近距离地体验数学的“神奇”与“有用” 。 三、重难点分析 重点:让学生了解如何利用矩阵对单位正方形区域进行常见线性变换 难点:经历探究平行四边形区域向量形式的过程
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四、教法学法分析 教法:问题驱动式教学,寻找学生思维的“最近发展区”通过联系旧知识,层层递进探寻新 知,帮助学生找到解决新问题的方法。 学法: 探究式学习方法, 学生通过思考, 归纳, 合作探究进行学习, 并鼓励学生课后进行 Excel 实践操作加深对矩阵与变换的对应关系的理解。 五、教学问题诊断 第一, 本节课设计知识点非常多, 甚至有些知识点是 2 年前学习的, 比如 基本定理,因此有必要让学生提前对这些知识点进行复习。 第二, 本节课只有一课时,却长达十页之多,全部纳入课堂是不可能的,为了不让学生感 觉整块内容被拆得七零八落,必然要精挑细选。其中,几种常见的线性变换,旋转变换是比 较形象的一种,我选择用它做例题,而切变变换是比较难理解的一种,我选择它来供学生进 行探究。 第三, 我班学生思维不错,但学习主动性较差,结合上述第一二点,我打算设计一个学案 (附后),包含了需要用到的知识点、课堂练习及课后作业。 学案课前热身是要课前布置给学生去完成的,包含了: 1)平面向量基本定理、五种常见线性变换对应矩阵、线性变换的基本性质 平面向量

?2 1 ? 2)点 A(1,0)在矩阵 P= ? ? 的作用下变成了什么? ?1 ? 1? ?1 1? 3)过点 M(1,0),N(0,2)的直线的向量形式可写成_________;在矩阵 A ? ? ? 的作用下变 ?0 1?
成了什么图形? 六、预期效果分析 本节课的整体思路是, 课上通过精心设计的问题引导学生思考, 通过师生的互动调动学生 的积极性并观察学生的反馈, 之后再利用合作探究以及改编题目进行变式训练来及时反馈学生 的掌握情况。 本节课的引入是比较容易吸引学生眼球的一个生活例子, 但是紧接着有一段推理会显得比 较枯燥,需要的思维活动量较大,学生很容易在这里就昏昏欲睡了。这时采用精心设计的问题 串来推波助澜,问题串的难度层次性较强,我们可以根据不同问题的难易程度,提问不同程度 的学生, 一方面调动整个班学生思考的积极性, 一方面可以观察学生的反应来调整速度和难度。 其中, 课件的辅助作用是推理过程中的一个小亮点, 希望通过动态的演示更直观地来帮助学生
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更快地找到答案。进入例题之后,记得跟引入呼应,学生会觉得本节课的可操作性还是比较强 的,特别是进入合作探究,学生终于尝到了解决问题的甜头,而我们的目标也算比较好地得到 了实现。

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引入环 节

探究思路

展示 PPT,给出一个背景问题,这是同学在生活中经常 第 1 个问题学生会很容易从前面题目中得到提示, 都用到矩阵与向量的乘法, 这是本 会做的事情, 由于某些原因, 经常需要在电脑上对图片 节课一个重要的计算工具。 进行一些处理,比如放大,缩小,翻转,这些其实都是 第 2 个问题学生可能一下子回答不上来, 这时候我们希望能引导部分程度好一些的学 一些简单的线性变换, 那我们能像对点和直线那样通过 生将矩阵如何实现对点、 直线的线性变换来进行总结并以流程图的形式给出,这样一 矩阵来对平面图形实行线性变换吗?从这样一个贴近 来不仅解决了第 2 个问题, 第 3 个问题也将迎刃而解, 学生很容易通过归纳推理找到 生活的例子,自然引入今天要研究的数学问题。 下面第三行的思路,这思路将成为一条重要线索贯穿本节课,并且接下来学生自然会 去关心要解决这个问题就必须先找到平面区域对应的向量形式! 而本节课的难点也就 出现了。 矩阵 为了帮学生寻找解决这个问题的思路,我们提出 3 个思 考题,这 3 个问题的提出,是为了引导学生去进行归纳 矩阵 点 ———— >向量坐标———— >向量坐标————>点 推理,寻找利用矩阵对“面”的变换所需要的办法。 反“向量 向量化 矩阵 直线 ———— >向量形式————>直线与点 思考>向量形式———— 化” 1 、在利用矩阵实现对点、直线的线性变换过程中,我 平面图形————>向量形式————>向量形式————>平面图形 们都用到了矩阵的哪种运算? 备注:这里为了方便,我们把平面区域转化为向量形式的过程简称为向量化,而把向 2、你能归纳一下矩阵是如何实现对点、直线的线性变 量形式转化为平面区域的过程简称为反“向量化” 。 换的吗? 3、你能试着归纳出矩阵实现对平面图片的线性变换的 思路吗,要解决这个问题需要先解决什么问题?

这是本节的一个难点,却是本节重要的理论依据之一,拟通过类比、多媒体等手段 探究出平行四边形向量形式;结合本节课的特点,我们选择比单位正方形区域更一 般的平行四边形区域来进行探究。 1、 类比直线的向量形式结合平面向量基本定理找到平 1、 通过学案回顾直线的向量形式,结合平面向量的基本定理,引导学生先找到平 行 四 边 形 区 域 内 任? 一点对应的向量形式 ? ? ? c 可由它的两邻边对应的基向量 a, b 表示 行四边形区域内任一点 ? ? ? C 对应的向量 ? ? c ? x a? y b; 为 c ? x a ? y b 的形式; 2、 思考 1,C 点在平行四边形区域内运动时,x,y 的 2、 思考 1 的设置是为了引导学生去思考,只给出向量表达式是不够的,细心的学 ? ? 范围是多少?利用几何画板课件探究出 x a?y b 生很容易发现,如果这里的 x,y 很大,那 C 就会跑到平面区域外面去了;这里 隐藏结论 (即探究平行 四边形向量形式) 的范围,该课件有 2 个作用,一方面是动态演示直观感知,另一方面要进一步 3、 思考 2 : 反过来,向量 c 满足 c ? x a ? y b 引导学生找到向量数乘 x, y 对应终点会落在平行四边形区域内 的几何意义, 由学生自己观察得出 (0 ? x, y ? 1) 解 (0 ? x, y ? 1) 决第一个思考题。 吗? 3、 思考 2 的设置是为了解释结论的充要性,在这学生只需简单结合向量加法和数 4、 引出平行四边形区域对应的向量形式这个隐藏结论 乘意义解释便可得出肯定的答案。 5、 活学活用(小练习) b 为邻边的平行四边形 4、 平行四边形区域对应的向量形式终于浮出水面,即以 a、 向量化 ( 1) 你能写出单位正方形区域如何表示成向量形式吗? 区域 1、下列哪个矩阵能将图甲变换成图乙( ? ) ? 若a, b不共线 ? 1 ? ? 1? 可用 x a ? y b (0 ? x, y ? 1) 来表示,反 ? ? ? ? (2? ) x? y? ? 1) 对应的平面区 1你能画出 0? ?x 1 0 0 x, y 1? ? y b (0 ?? ?1 0 ? ? ,? y? 1 xa ? ? ?) ?(0 之, D. b A. ? B. C. 0 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 ? 1? ? 1? y 0? ?0 ” 1 ? ? 0 1? ? a 反“向量化 x, y ??1) 所 表 示 的 便 是 x?a b (0?? o 域吗? 以 a、 b为

, y ? 1) ; 中 x,y 的范围为 (0 ? 制作了几何画板课件,辅助探究 Cx 在平行四边形区域内运动时,对应的 x,y
?

?

?

?

xi ?第 yj A( x,i ? y j ) x( Ai ) ? y ( A j ) 邻边的平行四边形区域 这是一个隐藏结 4 个提问旨在帮助学生找到实际解 学生对隐藏结论有了更深刻的认识后,我们就可以进入 (0 ? x, y ? 1) (0 ? x, y ? 1) (0 ? x, y ? 1) 论,却是 本节课的重点:矩阵如何实现对单位正方形区域的线性 决问题时的关键步骤,结合变换后 本节课的理论依据, 事实上该结论有 2 大 变换。 ? ?2 2 ? 的图形分析,学生会很快找到其实 2、矩阵A= xi ? y j 机理分析 ? ? 对应的变换把矩形区域 ? 0 ?1功能, ; 1 、 已经找到单位正方形区域的向量形式 ?? ? ? j ?? ? 1 4? ? ? 只需计算出变换后的 A i 1 一个是从图形到向量的“向量化” ,一个 A, j Aj 即可, ? ? ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 2、 矩阵与向量式相乘结合基本性质得到新的向量形式; 是从向 突出了变换的本质可以看成是对基 ? 3 再次运用隐藏结论画出新的图形; (、 0? x ? 2,0 ? y ? 1) 变为( o ) 1 A i o 量到图形的反“向量化” 。 4、 提问:这个过程中你发现要作出变换后的图形需要 ? 1向量的变换。 ? ? i?? ?0 ? 一般四边形 A. 三角形 B. 平行四边形 C. 正方形 D. 5、 为了让学生熟悉这个隐藏结论,活学活用的 2 个小练习让学生运用这个结论实 计算的量是什么了吗? ? ?

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例 1 由教师板书展示,给学生重点演示一下解决此类问题的方法步骤,第 1 步从原图 例题示范

?i ,?A30 ? 对应的矩阵 1.旋转变换: 中找基向量 i , j 例 ,第 2 步计算 Ai? ,第 3 步以 , Aj , j 为邻边作图,最后值得一 ? A
提的是第 4 步要引导学生进行验证,刚才我们用矩阵运算后得到的图形是否与 30° A 把单位正方形区域变成了什么图形?请画出图形。 旋转的几何直观一致, 帮助学生更好地从平面图形的直观性来理解矩阵与变换的对应 关系,体现数形结合的思想。

? ?

??cos ? ? ? sin ? ? ? sin ? cos ? ?

? ?

.下列切变变换对应的矩阵把 A 把单位正方形区域 练习选择了 2 个练习 k 在不同位置的矩阵切变变换的题目,让学生同桌 2 人采用合作探究完 变成了什么图形?请画出图形。 成。

? ? ? ? 1、 选择切变变换是因为学生在本节课前对于这种变换一直不太理解,而利用平面图形 (1) (2)
可以让学生更直观地理解该变换。

1 ? 1/ 2 ?0 1 ? ? ?

1 0 ? ? 1 / 2 1? ? ?

2、 采用合作探究是为了让学生可以在学会变换的基础上, 通过对比, 更好地去体会这 2 种切变变换不同的作用结果。

这两道变式训练是选做题,第 1 题难度较低,考察矩阵与变换的对应关系; 变式训练 第 2 题将本节课中的单位正方形区域变成一个矩形区域,可以用来考察学生对于本节课 的机理是否理解到位。变式训练是对本节课重要的评价手段之一。

作业布置

1、完成课本中 5 种线性变换对单位正方形区域的变换 在这里的第 2 个作业,是利用我们学校提供的网络平台,指导学生课后利用 Excel 实现矩 2、请同学们登录培元我的主页下载 Excel 文档“线性变换 阵对单位正方形区域进行几种常见的线性变换,鼓励他们设计矩阵实现不同的变换,或 对单位正方形区域的作用.xls”和“Excel 操作说明”,设 者把单位正方形区域改换其它更复杂更有趣的图形来进行变换,不仅可以激发学生的热 计几个矩阵进行变换,把你觉得最有意思的变换保存 并上传到老师的主页上或者做成研究性学习课题。 情,而且还可以激发他们的创造力和想象力,在数学活动中体会成功的喜悦。

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附:

《矩阵与变换》——线性变换的基本性质(二)学案

1、课前热身: (课前布置给学生去完成)
1)平面向量基本定理: a 与 b 不共线,则对于平面内任何向量 c ,有且只有一对实数 x, y 可 由 a 、 b 唯一表示成 一组_ _。 : ;其中不共线的向量 a , b 叫做表示这一平面内所有向量的

? ?

2)复习五种常见线性变换所对应矩阵 ① 恒等变换: 轴) ② 旋转变换 Ra ③ 切变变换: (平行于 x 轴,平行于 y

④ 反射变换: (关于 x 轴,关于 y 轴)

⑤ 投影变换: (投影到 x 轴,投影到 y 轴)

3)线性变换的基本性质:①数乘结合律: ___________________

;②分配律:

?2 1 ? 4) 点 A(1 , 0) 在 矩 阵 P= ? ? 的作用下变成了什么? ?1 ? 1? ?1 1? ? 的作用下变成了什么图 ?0 1?

5)过点 M(1,0),N(0,2)的直线的向量形式可写成;在矩阵 A ? ? 形?

2、课堂演练
例 1. 旋转变换: ? 形?请画出图形。

?cos ? ? sin ? ? ? ? ? 30? 对应的矩阵 A 把单位正方形区域变成了什么图 sin ? cos ? ? ?

1

o

1

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练习.下列切变变换对应的矩阵把 A 把单位正方形区域变成了什么图形?请画出图形。 (同桌 合作探究) (1) ?

?1 ? 1 / 2? 1 ? ?0 ?

(2)

0? ? 1 ? ? 1 / 2 1? ? ?

1

o

1
) D. ?

变式训练(任选 1 题)
1、下列哪个矩阵能将图甲变换成图乙( A. ?

?1 0 ? ? ?0 1 ?

B. ?

? ? 1 0? ? ? 0 1?

C. ?

? 0 1? ? ? ? 1 0?

?1 0 ? ? ?0 ? 1?

2、矩阵A= ? A. 三角形

? ?2 2 ? ? 对应的变换把矩形区域 xi ? y j(0 ? x ? 2,0 ? y ? 1) 变为( ? 1 4?
B.平行四边形 C.正方形 D.一般四边形。



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