高三数学一轮总复习 13全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”同步练习 北师大版

1-3 全称量词与存在量词、逻辑联结词“且” “或” “非”
基 础 巩 固 一、选择题 1.(2012·湖北文,4)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是( A.任意一个有理数,它的平方是有理数 B.任意一个无理数,它的平方不是有理数 C.存在一个有理数,它的平方是有理数 D.存在一个无理数,它的平方不是有理数 [答案] B [解析] 本题主要考查了特称命题与全称命题的互化问题.将“存在”改为“任意”, 将“它的平方是有理数”改为它的平方不是有理数即可, 命题的否定指将特称命题改为全称 命题,否定其结论,或将全称命题改为特称命题,否定其结论. 2.(2012·南昌调研)下列四个命题中,其中为真命题的是( A.任意 x∈R,x +3<0 C.存在 x∈Z,使 x <1 [答案] C [解析] 由于任意 x∈R,都有 x ≥0,因而有 x +3≥3,故 A 为假命题; 由于 0∈N,当 x=0 时,x ≥1 不成立,故 B 为假命题; 由于-1∈Z,当 x=-1 时,x <1,故 C 为真命题; 由于使 x =3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数, 因此没有任何一个有理数的平方能等于 3,故 D 是假命题.故选 C. 3.(文)若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 C.綈 p 是真命题 [答案] D [解析] 本题主要考查逻辑联结词.利用命题真值表进行判断. 根据命题真值表知,q 是假命题,綈 q 是真命题. (理)命题 p:x +y <0;q:x +y ≥0.下列命题为假命题的是( A.p 或 q C.q [答案] B [解析] 命题 p 为假,命题 q 为真,故 p 且 q 为假. 4.已知命题 p:? n∈N,2 >1 000,则綈 p 为( A.? n∈N,2 ≤1 000
n n
2 2 2 2 2 5 2 2 2 5 2 2

)

)

B.任意 x∈N,x ≥1 D.存在 x∈Q,x =3
2

) B.p∨q 是假命题 D.綈 q 是真命题

)

B.p 且 q D.綈 p

)
n

B.? n∈N,2 >1 000

C.? n∈N,2 ≤1 000 [答案] A

n

D.? n∈N,2 <1 000

n

[解析] 本题考查特称命题的否定,属于容易题.由于特称命题的否定是全称命题,因 而綈 p 为? n∈N,2 ≤1000. 5.(文)“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的( A.充要条件 C.必要不充分条件 [答案] C [解析] 若命题“p 或 q”为真命题, 则 p、 q 中至少有一个为真命题. 若命题“p 且 q” 为真命题,则 p、q 都为真命题,因此“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的必要不充 分条件. (理)下列各组命题中,满足“p 或 q 为真”,且“非 p 为真”的是( A.p:0=?;q:0∈? B.p:在△ABC 中,若 cos2A=cos2B,则 A=B; ) )
n

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

q:y=sinx 在第一象限是增函数
C.p:a+b≥2 ab(a,b∈R);

q:不等式|x|>x 的解集为(-∞,0)
D.p:圆(x-1) +(y-2) =1 的面积被直线 x=1 平分;q:椭圆 + =1 的离心率为 4 3 1 e= 2 [答案] C [解析] A 中, p、 q 均为假, 故“p 或 q 为假”, 排除 A; B 中, cos2A=cos2B?1-2sin A =1-2sin B?sin A-sin B=0?(sinA+sinB)(sinA-sinB)=0? A-B=0,故 p 为真,从 而“非 p”为假,排除 B;C 中,p 为假,从而“非 p”为真,q 为真,从而“p 或 q”为真; D 中,p 为真,故綈 p 为假. 6.下列命题中真命题的个数是( ①? x∈R,x >x ; ②若 p∧q 是假命题,则 p,q 都是假命题; ③? x∈{x|x∈Z},log2x>0. A.0 C.2 [答案] B [解析] 易知①当 x=0 时不等式不成立,对于全称命题只要有一个情况不满足,命题 B.1 D.3
4 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

)

即假;②错,只需两个命题中至少有一个为假即可;③正确,命题中含有存在量词“? ”, 是存在性命题,且为真命题,即只有一个命题是正确的,故选 B. 二、填空题 7.命题 p:{2}∈{1,2,3},q:{2}? {1,2,3},则对复合命题的下述判断:①p 或 q 为 真;②p 或 q 为假;③p 且 q 为真;④p 且 q 为假;⑤非 p 为真;⑥非 q 为假.其中判断正 确的序号是________.(填上你认为正确的所有序号) [答案] ①④⑤⑥ [解析] p:{2}∈{1,2,3},q:{2}? {1,2,3},p 假 q 真,故①④⑤⑥正确. 8.已知命题 p:? x∈R,ax +2x+3>0,如果命题綈 p 是真命题,那么实数 a 的取值范 围是________. 1 [答案] a≤ 3 [解析] 因为命题綈 p 是真命题,所以命题 p 是假命题,而当命题 p 是真命题时,就是
? ?a>0 2 不等式 ax +2x+3>0 对一切 x∈R 恒成立,这时应有? ?Δ =4-12a<0 ?
2

1 ,解得 a> ,因此当 3

1 命题 p 是假命题,即命题綈 p 是真命题时实数 a 的取值范围是 a≤ . 3 三、解答题 9.已知 c>0,设 p:函数 y=c 在 R 上递减;q:不等式 x+|x-2c|>1 的解集为 R,如 果“p 或 q”为真,且“p 且 q”为假,求 c 的范围. [分析]
x

[解析] 由 p 知 0<c<1;
? ?2x-2c,x≥2c, 设 f(x)=x+|x-2c|=? ?2c, x<2c. ?

1 ∴f(x)的最小值为 2c,即 2c>1?c> , 2 ∵“p 或 q”为真,且“p 且 q”为假,∴p 真 q 假或 p 假 q 真;

? 1? ? 1? 若 p 真 q 假,则 c 的范围是(0,1)∩?0, ?=?0, ?; ? 2? ? 2?

?1 ? 若 p 假 q 真,则 c 的范围是[1,+∞)∩? ,+∞?=[1,+∞); ?2 ? ? 1? 因此 c 的范围是?0, ?∪[1,+∞). ? 2?
能 力 提 升 一、选择题 1.(2012·辽宁理,4)已知命题 p:? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则綈 p 是( ) A.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 D.? x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 [答案] C [解析] 本题主要考查全称命题的否定. 根据特称命题与全称命题的关系,①量词要变化,②命题要否定.注意綈表示命题的否 定,还有“? ”与“? ”的含义. 2.(文)下列命题错误的是(
2

)
2

A.命题“若 x -3x+2=0,则 x=1”的逆否命题为“若 x≠1,则 x -3x+2≠0” B.若命题 p:? x∈R,x +x+1=0,则綈 p 为:? x∈R,x +x+1≠0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“x>2”是“x -3x+2≥0”的充分不必要条件 [答案] C [解析] p∧q 为假命题,则 p,q 中至少有一个是假命题即可,不一定 p,q 都为假命 题. (理)命题 p: ? x∈(1, +∞), 函数 f(x)=|log2x|的值域为[0, +∞); 命题 q: ? m≥0, π 使得 y=sinmx 的周期小于 ,则( 2 A.p 且 q 为假命题 C.綈 p 为假命题 [答案] A [解析] 对于命题 p,当 f(x)=|log2x|=0 时,log2x=0,即 x=1,1?(1,+∞),故命 2π π 题 p 为假命题.对于命题 q,y=sinmx 的周期 T= < ,即|m|>4,故 m<-4 或 m>4,故存 |m| 2 在 m≥0,使得命题 q 成立,所以 p 且 q 为假命题. 二、填空题 ) B.p 或 q 为假命题 D.綈 q 为真命题
2 2 2

3.(文)(2012·抚州期末)若命题“? x∈R,使得 x +(a-1)x+1<0”是真命题,则实 数 a 的取值范围是________. [答案] (-∞,-1)∪(3,+∞) [解析] ∵? x∈R,使得 x +(a-1)x+1<0 是真命题, ∴(a-1) -4>0,即(a-1) >4, ∴a-1>2 或 a-1<-2, ∴a>3 或 a<-1. (理)(2012·焦作联考)已知命题 p:“? x∈R,? m∈R,4 -2 是假命题,则实数 m 的取值范围是________. [答案] m≤1 [解析] 若命题綈 p 是假命题,则命题 p 是真命题,即关于 x 的方程 4 -2 实数解,而 m=-(4 -2
x x+1 x x+1 x x+1
2 2 2

2

+m=0”,若命题綈 p

+m=0 有

)=-(2 -1) +1,所以 m≤1.
2

x

2

4.已知两个命题,p:函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图像与 x 轴一定有公共点;q:函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与 y 轴一定有公共点.则由这组命题构成的“p 或 q”,“p 且 q”,“非 p”形式的复合命题的真假是________.
[答案] 真,假,真 [解析] p 为“ax +bx+c=0(a≠0)有实数根”,p 为假;
? ?y=ax +bx+c, q 为? ?x=0, ?
2 2

得 y=c(c∈R),q 为真.

由 q 为真命题(对 c∈R),所以“p 或 q”为真命题. 因对 c∈R,b -4ac<0 可能成立,即对这样的 c∈R,
2

p 是假命题,所以綈 p 是真命题.
所以“p 且 q”是假命题,“綈 p”是真命题. 三、解答题 5.判断下列命题的真假. (1)对任意的 x,y 都有 x +y ≥2xy; (2)所有四边形的两条对角线都互相平分; (3)存在实数 a≠2 且 b≠-1,使 a +b -4a+2b≤-5; 4 (4)存在实数 x 使函数 f(x)=x+ (x>0)取得最小值 4.
2 2 2 2

x

[解析] (1)是真命题,因为对任意实数 x,y,都有 x +y -2xy=(x-y) ≥0,∴x +

2

2

2

2

y2≥2xy.
(2)是假命题, 只有平行四边形才满足两条对角线互相平分, 如梯形就不满足这个条件. (3)是假命题,因为 a +b -4a+2b+5=(a-2) +(b+1) ≥0,当且仅当 a=2,b=-1
2 2 2 2

时等号成立,所以不存在实数 a,b,使(a-2) +(b+1) <0,即不存在实数 a≠2 且 b≠-1 使 a +b -4a+2b≤-5. 4 (4)是真命题,因为存在实数 x=2>0,使函数 f(x)=x+ (x>0)取得最小值 4.
2 2

2

2

x

6.已知命题 p:存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根;命题 q:存在实 数 m,使方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根.若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求 m 的取值 范围. [分析] 利用已知条件构造关于 m 的不等式组, 进而求得 m 的取值范围, 注意命题真假 的要求. [解析] 解得 m>2, 即 m>2 时,p 真. 存在实数 m,使方程 4x +4(m-2)x+1=0 无实根, 则 Δ =16(m-2) -16=16(m -4m+3)<0, 解得 1<m<3,即 1<m<3 时,q 真. 因“p∨q”为真,所以命题 p、q 至少有一个为真, 又“p∧q”为假,所以命题 p、q 至少有一个为假, 因此,命题 p、q 应为一真一假,即命题 p 为真,命题 q 为假或命题 p 为假,命题 q 为 真. ∴?
?m>2 ? ?m≤1或m≥3 ? ?m≤2 ? 或? ?1<m<3 ?
2 2 2 2

2

? ?Δ =m -4>0 存在实数 m,使方程 x +mx+1=0 有两个不等的负根,则? ?m>0 ?
2

2





解得 m≥3 或 1<m≤2. 7.(文)设命题 p:函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增;q:关于 x 的方程 x
2

3 +2x+loga =0 的解集只有一个子集.若“p∨q”为真,“(綈 p)∨(綈 q)”也为真,求实 2 数 a 的取值范围. [解析] 当命题 p 是真命题时,应有 a>1;当命题 q 是真命题时,关于 x 的方程 x +2x 3 +loga =0 无解, 2 3 3 所以 Δ =4-4loga <0,解得 1<a< . 2 2 由于 p∨q 为真,所以 p 和 q 中至少有一个为真,又“(綈 p)∨(綈 q)”也为真,所以綈
2

p 和綈 q 中至少有一个为真,即 p 和 q 中至少有一个为假,故 p 和 q 中一真一假.p 假 q 真

3 时,a 无解;p 真 q 假时,a≥ . 2 3 综上所述,实数 a 的取值范围是 a≥ . 2 (理)已知命题 p: x1 和 x2 是方程 x -mx-2=0 的两个实根, 不等式 a -5a-3≥|x1-x2| 对任意实数 m∈[-1,1]恒成立;命题 q:不等式 ax +2x-1>0 有解,若命题 p 是真命题、 命题 q 是假命题,求 a 的取值范围. [解析] ∵x1,x2 是方程 x -mx-2=0 的两个实根, ∴?
? ?x1+x2=m ?x1x2=-2 ?
2 2 2 2



∴|x1-x2|=

x1+x2

2

-4x1x2= m +8,

2

∴当 m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3. 由不等式 a -5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m∈[-1,1]恒成立,可得:a -5a-3≥3, ∴a≥6 或 a≤-1, ∴命题 p 为真命题时 a≥6 或 a≤-1. 命题 q:不等式 ax +2x-1>0 有解, ①当 a>0 时,显然有解; ②当 a=0 时,2x-1>0 有解; ③当 a<0 时,∵ax +2x-1>0 有解, ∴Δ =4+4a>0,∴-1<a<0, 从而命题 p:不等式 ax +2x-1>0 有解时 a>-1. 又命题 q 是假命题,∴a≤-1, 故命题 p 是真命题且命题 q 是假命题时,
2 2 2 2 2

a 的取值范围为 a≤-1.


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