高二数学最新教案-9.9棱柱与棱锥(4) 精品

【课 题】棱柱与棱椎(4) 【教学目标】 1、了解棱锥及其底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面的概念. 2、掌握一般棱锥与正棱锥的区别与联系. 3、掌握棱锥的截面性质定理. 4、掌握正棱锥的性质及各元素间的关系式. 【教学重点】 1、棱锥的截面性质定理. 2、正棱锥的性质. 【教学难点】 【教学过程】 一、 复习引入 帆布的帐篷,金字塔等物体,都给我们棱锥的形象。 二、 讲解新课 (一)棱锥的概念:如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角 形,那么这样的多面体叫棱锥。 在棱锥中有公共顶点(S)的各三角形,叫棱锥的侧面;余下的那个多边形,叫棱锥的 底面或底;两个相邻侧面的公共边,叫做棱锥的侧棱;各侧面的公共顶点 ( S ) ,叫棱锥的顶 点;由顶点到底面所在平面的垂线段 ( SO ) ,叫棱锥的高(垂线段的长也简称高) . 2.棱锥的表示:棱锥用顶点和底面各顶点的字母,或用顶点和底面一条对角线端点的字母 来表示。如图棱锥可表示为 S ? ABCDE ,或 S ? AC . 3.棱锥的分类: (按底面多边形的边数) 分别称底面是三角形,四边形,五边形……的棱锥为三棱锥,四棱锥,五棱锥……(如图) 4.棱锥的性质: 定理:如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面 积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的平方比. 已知:在棱锥 S ? AC 中, SH 是高,截面 A?B?C ?D?E ? 平行于底面,并与 SH 交于 H ? , 求证:截面 A?B?C ?D?E ? ~底面 ABCDE ,且 S A?B?C?D?E? SH ?2 . ? S ABCDE SH 2 S E' A' E D' H' B' D H C B C' A 解:因为截面平行于底面, ∴ A?B? // AB , B?C ? // BC , C ?D? // CD ,… ∴ ?A?B?C? ? ?ABC, ?B?C?D? ? ?BCD ,… 又∵平面 SAH 分别与截面和底面相交于 A?H ? 和 AH , ∴ A?H ? // AH , A?B? ? AB A?B? ? ∴ AB 得 SA? SH ? B?C ? SH ? ? ? ,同理 ,… SA SH BC SH B?C ? SH ? ?? ? , BC SH 因此,截面 A?B?C ?D?E ? ~底面 ABCDE ,且 S A?B?C?D?E? A?B?2 SH ?2 . ? ? S ABCDE AB2 SH 2 中截面:经过棱锥高的中点且平行于底面的截面,叫棱锥的中截面。 5.正棱锥 正棱锥的定义:底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 正棱锥的性质: (1) 正棱锥的各侧棱相等, 各侧面是全等的等腰三角形, 各等腰三角形底边上的高相等 (叫 正棱锥的斜高) . (2)正棱锥的高、斜高、斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;正棱锥的高、侧棱、 侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形. 其他性质 正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等;正棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等. 下面我们结合图形, 进一步探讨正棱锥中各元素间的关系, 为研究方便将正棱锥中棱锥 S—OBM 从整个图中拿出来研究. S S E A M B O C D M B O (1) 若分别假设正棱锥的高 SO=h,斜高 SM=h′,底面边长的一半 BM= a ,底面正多边形外 2 接圆半径 OB=R,内切圆半径 OM=r,侧棱 SB=l,侧面与底面的二面角∠SMO=α,侧棱与底面组 成的角∠SBO=β,∠BOM= 180? (n 为底面正多边形的边数) n 解:h= h? 2 ? r 2 =h′·sinα=l· sinβ h′= h 2 ? r 2 ? l 2 ? ( ) 2 ? R= l 2 ? h 2 ? r 2 ? ( ) 2 ? a 2 r cos? a 2 a . 180? 2 sin n SO SM ,sin∠SBM= SB SB (2)比较∠SBO 与∠SBM,∠OBM 与∠SBM 的大小。 解:在△SBO 与△SBM 中:sin∠SBO= ∵在△SOM 中,SM>SO,∴ ∴sin∠SBM>sin∠SBO ∵∠SBM∈(0, ? ? ),∠SBO∈(0, ) 2 2 SM SO > , SB SB ∴∠SBM>∠SBO 另在△OBM 与△SBM 中:cos∠OBM= ∴ BM BM > OB SB BM BM ,cos∠SBM= ,∵SB>OB, OB SB ∵cos∠OBM>cos∠SBM ∵∠OBM∈(0, ∴∠OBM<∠SBM ? ? ),∠SBM∈(0, ) 2 2 三、 例题讲解 【例1】 (课本例 2)已知正三棱锥 S ? ABC 的高 SO ? h ,斜高 SM ? l ,求经过 SO 的中 点 O? 平行于底面的截面 ?A?B?C ? 的面积。 解:连结 OM , OA ,在 Rt ?SOM 中, OM ? l 2 ? h2 . ∵棱锥 S ? ABC 是正三棱锥,∴ O 是 ?ABC 中心, ∴ AB ? 2 AM ? 2OM ? tan 60? ? 2 3 l 2 ? h2 , S?ABC ? 3 AB 2 ? 3 3(l 2 ? h2 ) , 4 由棱锥截面性质得: S?A?B?C? h?2 1 ? 2 ? , S?ABC h 4 ∴ S?A?B?C ? ? 3 3 2 (l ? h2 ) . 4 ? 【例2】 四棱锥的高为 h ,底面为菱形,侧面 PAD 和侧面 PDC 所成的二面角为 120 ,且 都垂直于底面,另两个侧面与底面所成的角都为 60 ,求此棱锥的全面积。 解:∵侧面 PAD ? 底面 AC ,侧面 PDC ? 底面 AC , ∴ PD ? 底面 AC , ? ?ADC 为二面角 A ? PD ? C 的平面角

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