高二数学最新教案-9.9棱柱与棱锥(3) 精品

【课 题】棱柱与棱椎(3) 【教学目标】 1、理解并掌握以棱柱为载体的空间的平行与垂直;角和距离等问题的解决方法。 【教学重点】 【教学难点】 【教学过程】 【例1】 在直三棱柱 ABC— A?B ?C ? 中, ∠BAC=90° , AB= BB ? =1, 直线 B ?C 与平面 ABC 成 30° 的角.(1)求点 C′到平面 AB ?C 的距离;(2)求二面角 B— B ?C —A 的余弦值. C A C' A' B' B 解:(1)∵ABC— A?B ?C ? 是直三棱柱, ∴ A?C ? ∥AC,AC ? 平面 AB ?C , ∴ A?C ? ∥平面 AB ?C , 于是 C ? 到平面 AB ?C 的距离等于点 A′到平面 AB ?C 的距离, 作 A ?M ⊥ AB ? 于 M, 由 AC⊥平面 AB ?A? , 得平面 AB ?C ⊥平面 AB ?A? , ∴ A ?M ⊥平面 AB ?C , A ?M 的长是 A? 到平面 AB ?C 的距离 ∵AB=B B ? =1,∠ B ? CB=30° ,∴ B ?C =2,BC= 3 , AB ? ? 2 A?M ? A?B? ? A?A 2 2 ,即 C′到平面 AB ?C 的距离为 . ? AB? 2 2 (Ⅱ)作 AN⊥BC 于 N,则AN⊥平面 B ?BC C ? , 作 NQ⊥ B ?C 于 Q,则 AQ⊥ B ?C , ∴∠AQN 是所求二面角的平面角, AN= AB ? AC 6 AC ? AB? ? , AQ ? ?1 BC 3 B?C AN 6 3 ? , cos AQN ? . AQ 3 3 ∴sin AQN ? (Ⅱ)问还可以用下面的思路求解; 思路一:利用异面直线上两点间的距离公式,也可以求二面角的大小,如上图, AB ? BB? ? 1, ∴ AB? ? 2 , 又?B?CB ? 30? , ∴BC= 3, B?C ? 2, AC ? 2 . 作 AM⊥ B ?C 于 M,BN⊥ B ?C 于 N,则 AM=1, BN= 3 3 1 , CN ? , CM ? 1,? MN ? . 2 2 2 ∵ BN ? B?C, AM ? B?C , ∴BN 与 AM 所成的角等于二面角 B ? B ?C ? A 的平面角,设为 ? . 由 AB2=AM2+BN2+MN2-2AM× BN× cos ? 得 cos ? = 1 3 = 3 . 3 思路二:如图,设 AB′的中点为 E,连 BE,则 BE⊥AB′,∴BE⊥面 B ?AC 作 BF ? B ?C 于 F,连 BF, ∴ BF ? B ?C ∴∠EFB 是二面角 B— B ?C —A 的平面角. 【例2】 如图, 已知 A1B1C1—ABC 是正三棱柱, D 是 AC 的中点( . 1) 证明: AB1∥平面 DBC1; (2)假设 AB1⊥BC1,求以 BC1 为棱,DBC1 与 CBC1 为面的二面角 α 的度数. A' A D C' C E B' B 解:∵A1B1C1—ABC 是正三棱柱 ∴四边形 B1BCC1 是矩形. 连结 B1C 交 BC1 于 E,则 E 是 B1C 的中点.再连结 DE ∵D、E 分别是 AC、B1C 的中点 ∴DE∥AB1, ∵AB1 ? 平面 DBC1,DE ? 平面 DBC1 ∴AB1∥平面 DBC1 (2)作 DF⊥BC 于 F,则 DF⊥平面 BB1C1C,连结 EF,则 EF 是 ED 在平面 BB1C1C 上的射影. ∵AB1⊥BC1,AB1∥DE,∴DE⊥BC1. 由三垂线定理的逆定理,得 EF⊥BC1 ∴∠DEF 就是二面角 D—BC1—C 的平面角 设 AC=1,则 DC= 1 2 ∵△ABC 是正三角形 ∴在 Rt△DCF 中,有 DF=DCsin60°= 1 3 ,CF=DCcos60°= 4 4 取 BC 的中点 G,∵EB=EC,∴EG⊥BC 在 Rt△BEF 中,由射影定理可得: EF ? FG FB ? 2 1 3 3 ? ,解得 EF= 3 4 4 4 16 3 DF ? 4 ?1, ∴在 Rt△DEF 中,tanDEF= EF 3 4 ∴∠DEF=45°,∴所求二面角大小为 45° 【例3】 已知正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中, A1 B 与对角面 A1 B1CD 所成的角为 30 0 , 求证此四 棱柱为正方体 证明:? A1 B1 ? 平面BB C1C, A1 B1 ? 面A1 B1CD , ? 平面A1 B1CD ? 平面BB1C1C , A1 D1 C1 B1 M D C 作 BM ? B1C 于 M,则 BM ? 面A1 B1CD ,连 A1 M ,则 ?BA1 M ? 300 。 A B 在 Rt?BMA , BM ? 1中 1 1 A1 B ? B1C , 2 2 从而在 Rt?BB1C 中,可得 M 为 B1C 的中点, ? B1 B ? BC , ? ABCD? A1 B1C1 D1 为正方体。 【例4】 直三棱柱 A1B1C1—ABC 中 BC1 ? AB1 , BC1 ? A1C ,求证: AB1 ? A1C 证明:作 AE ? BC 于 E,连 B1 E ,则 AE ? 面BB1C1C , ? BC1 ? AB1 , B1 E 是 AB1 在面 BB1C1C 上的射影, ? BC1 ? B1 E , A' B' F C' 同理,作 A1 F ? B1C1 于 F,连 CF,则 BC1 ? CF , ? B1 E // CF , 又B1 F // CE,? B1 FCE 是平行四边形, B1 E ? CF , 又AE ? A1 F , 且AE ? B1 E, A1 F ? CF ? ?AB1 E ? ?A1CF ,? AB1 ? A1C A E B C 【例5】 如图所示, 已知三

相关文档

高二数学最新教案-9.9棱柱与棱锥 精品
高二数学最新教案-9.9 棱柱与棱锥2 精品
高二数学最新教案-9.9棱柱与棱锥(2) 精品
高二数学最新教案-9.9棱柱与棱锥(1) 精品
高二数学最新教案-9.9 棱柱与棱锥1 精品
高二数学最新教案-9.9棱柱与棱锥(4) 精品
高二数学最新教案-§9.9.3棱柱及其性质(3) 精品
高二数学最新教案-§9.9.6棱柱棱锥(6)—直棱柱和正棱锥的直观图的画法 精品
高二数学最新教案-棱柱和棱锥(一) 精品
高二数学最新教案-高二数学棱锥3 精品
电脑版