2.3.2 双曲线的简单几何性质 学案(人教A版选修2-1) (1)


2.3.2

双曲线的简单几何性质

课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线 的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系.

1.双曲线的几何性质 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0)

标准方程

图形

焦点 焦距 范围 对称 性 性 顶点 质 轴长 实轴长=____,虚轴长=____ 离心 率 渐近 线 2.直线与双曲线 一般地,设直线 l:y=kx+m (m≠0)① x2 y2 双曲线 C: 2- 2=1 (a>0,b>0)② a b 把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. b (1)当 b2-a2k2=0,即 k=± 时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,直线与双曲 a 线 C 相交于________. b (2)当 b2-a2k2≠0,即 k≠± 时, a Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ>0?直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相交; Δ=0?直线与双曲线有________公共点,此时称直线与双曲线相切; Δ<0?直线与双曲线________公共点,此时称直线与双曲线相离.

一、选择题
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1.下列曲线中离心率为

x2 y2 x2 y2 A. - = 1 B. - = 1 2 4 4 2 2 2 x y x2 y2 C. - = 1 D. - =1 4 6 4 10 x2 y2 2.双曲线 - =1 的渐近线方程是( ) 25 4 2 5 A.y=± x B.y=± x 5 2 4 25 C.y=± x D.y=± x 25 4 2 2 3. 双曲线与椭圆 4x +y =1 有相同的焦点, 它的一条渐近线方程为 y= 2x, 则双曲线的方程为( ) 2 2 A.2x -4y =1 B.2x2-4y2=2 C.2y2-4x2=1 D.2y2-4x2=3 2 2 x y 4.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的 a b 渐近线方程为( ) A.y=± 2x B.y=± 2x 2 1 C.y=± x D.y=± x 2 2 2 2 5.直线 l 过点( 2,0)且与双曲线 x -y =2 仅有一个公共点,则这样的直 线有( ) A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D.4 条 2 2 x y 6.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在双 a b 曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为( ) 4 5 7 A. B C. 2 D. 3 3 3 2 3 4 5 6 题 号 1 答 案 二、填空题 5 x2 7.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 6,且 a>b,则双曲线 2 2 a 2 y - 2=1 的离心率 e=______. b 8.在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且 a=10,c-b =6,则顶点 A 运动的轨迹方程是________________. x2 y2 9.与双曲线 - =1 有共同的渐近线,并且经过点(-3,2 3)的双曲线方 9 16 程为 __________. 三、解答题 10.根据下列条件,求双曲线的标准方程. ?15 ? (1)经过点? 4 ,3?,且一条渐近线为 4x+3y=0; ? ?
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6 的是( 2

)

π (2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直,与两个顶点连线的夹角为 . 3

y2 11. 设双曲线 x2- =1 上两点 A、 B, AB 中点 M(1,2), 求直线 AB 的方程. 2

能力提升 12.设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双 曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( ) A. 2 B. 3 3+1 5+ 1 C. D. 2 2 2 x 13. 设双曲线 C: 2-y2=1 (a>0)与直线 l: x+y=1 相交于两个不同的点 A、 a B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围;

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x2 y2 1.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)既关于坐标轴对称,又关于坐标原点对称; a b 其顶点为(± a,0),实轴长为 2a,虚轴长为 2b;其上任一点 P(x,y)的横坐 标均满足|x|≥a. c b 2.双曲线的离心率 e= 的取值范围是(1,+∞),其中 c2=a2+b2,且 = a a 2 e -1,离心率 e 越大,双曲线的开口越大.可以通过 a、b、c 的关系,列 方程或不等式求离心率的值或范围. x2 y2 b x2 y2 3.双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,也可记为 2- 2= a b a a b 2 2 2 x y x y2 0;与双曲线 2- 2=1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 2- 2=λ a b a b (λ≠0).

2.3.2
知识梳理 1. 标准方程

双曲线的简单几何性质
y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

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图形

性 质

焦点 焦距 范围 对称性 顶点 轴长 离心率 渐近线 2.(1)一点 作业设计 1.B 2.A

F1(-c,0),F2(c,0) |F1F2|=2c

F1(0,-c),F2(0,c)

x≥a 或 x≤-a,y∈R y≥a 或 y≤-a,x∈R 关于 x 轴、y 轴和原点对称 (-a,0),(a,0) (0,-a),(0,a) 实轴长=2a,虚轴长=2b c e=a(e>1) b a y=± x y = ± a bx (2)两个 一个 没有

6 c2 3 b2 1 2 [∵e= ,∴e = 2= ,∴ 2= ,故选 B.] 2 a 2 a 2

? 3? [由于椭圆 4x2+y2=1 的焦点坐标为?0,± ?, 2? ? a ? 3? 则双曲线的焦点坐标为?0,± ?,又由渐近线方程为 y= 2x,得b= 2,即 2? ? 1 1 ? 3? a2=2b2,又由? ?2=a2+b2,得 a2= ,b2= ,又由于焦点在 y 轴上,因此 2 4 ?2? 2 2 双曲线的方程为 2y -4x =1.故选 C.] 4.C [由题意知,2b=2,2c=2 3,则 b=1,c= 3,a= 2;双曲线的渐 2 近线方程为 y =± x.] 2 5.C [点( 2,0)即为双曲线的右顶点,过该点有两条与双曲线渐近线平行 的直线与双曲线仅有一个公共点, 另过该点且与 x 轴垂直的直线也与双曲线 只有一个公共点.] 6.B [||PF1|-|PF2||=2a,即 3|PF2|=2a, 2a 所以|PF2|= ≥c-a,即 2a≥3c-3a,即 5a≥3c, 3 c 5 则a≤ .] 3 13 7. 3 解析 a+b=5,ab=6,解得 a,b 的值为 2 或 3. c 13 又 a>b,∴a=3,b=2.∴c= 13,从而 e=a= . 3 x2 y2 8. - =1(x>3) 9 16 3.C
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解析 以 BC 所在直线为 x 轴,BC 的中点为原点建立直角坐标系,则 B(- 5,0),C(5,0),而|AB|-|AC|=6<10.故 A 点的轨迹是双曲线的右支,其方程为 x2 y2 - =1(x>3). 9 16 x2 y2 9. - =1 9 4 4 x2 y2 解析 ∵所求双曲线与双曲线 - =1 有相同的渐近线,∴可设所求双曲 9 16 x2 y2 线的方程为 - =λ (λ≠0).∵点(-3,2 3)在双曲线上, 9 16 ?-3?2 ?2 3?2 1 ∴λ= - = . 9 16 4 x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 9 4 4 15 ?15 ? 10.解 (1)因直线 x= 与渐近线 4x+3y=0 的交点坐标为? 4 ,-5?,而 4 ? ? x2 y2 3<|-5|,故双曲线的焦点在 x 轴上,设其方程为 2- 2=1,由 a b

? ?b 4 ?a =???3??? ,
2 2 2

?15?2 ?4? ? ? 32 - 2=1, a2 b

2 ?a =9, x2 y2 解得? 2 故所求的双曲线方程为 - =1. 9 16 ?b =16. (2)设 F1、F2 为双曲线的两个焦点.依题意,它的焦点在 x 轴上. 因为 PF1⊥PF2,且|OP|=6, 所以 2c=|F1F2|=2|OP|=12,所以 c=6. π 又 P 与两顶点连线夹角为 , 3 π 所以 a=|OP|· tan =2 3,所以 b2=c2-a2=24. 6 x2 y2 故所求的双曲线方程为 - =1. 12 24 11.解 方法一 (用韦达定理解决) 显然直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y-2=k(x-1), y=kx+2-k ? ? 即 y=kx+2-k,由? 2 y2 x - =1 ? 2 ? 2 2 得(2-k )x -2k(2-k)x-k2+4k-6=0, 当 Δ>0 时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),

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x1+x2 k?2-k? = , 2 2-k2 ∴k=1,满足 Δ>0,∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 方法二 (用点差法解决) y2 1 2 ? ?x1- 2 =1 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则? , y2 2 2 ?x2- 2 =1 ? 1 两式相减得(x1-x2)(x1+x2)= (y1-y2)(y1+y2). 2 y1-y2 2?x1+x2? ∵x1≠x2,∴ = , x1-x2 y1+y2 2×1×2 ∴kAB= =1,∴直线 AB 的方程为 y=x+1, 2×2 y2 代入 x2- =1 满足 Δ>0. 2 ∴直线 AB 的方程为 y=x+1. 12. 则 1=

x2 y2 D [设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),如图所示,双曲线的一条渐近线 a b b 方程为 y=ax, b b b 而 kBF=- c,∴a· (- c)=-1,整理得 b2=ac. ∴c2-a2-ac=0,两边同除以 a2,得 e2-e-1=0, 1+ 5 1- 5 解得 e= 或 e= (舍去),故选 D.] 2 2 x2 ? ? 2-y2=1, 13. 解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得?a 有两 ? ?x+y=1 个不同的解, 消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,① 2 ?1-a ≠0, ∴? 4 2 2 ?Δ=4a +8a ?1-a ?>0, 解得- 2<a< 2且 a≠± 1. 又∵a>0,∴0<a< 2且 a≠1. 1+a2 ∵双曲线的离心率 e= a =
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1 +1, a2

6 且 e≠ 2. 2 ∴双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 ? 6 ? ? , 2?∪( 2,+∞). ?2 ? (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1). ∴0<a< 2,且 a≠1,∴e>
5 ∴(x1,y1-1)=12(x2,y2-1),

5 x .∵x1,x2 都是方程①的根, 12 2 17 2a2 且 1-a2≠0,∴x1+x2= x2=- , 12 1-a2 5 2a2 2a2 289 x1x2= x2 , 2,消去 x2 得- 2= 2=- 12 60 1-a 1-a 289 17 即 a2= .又∵a>0,∴a= . 169 13 由此可得 x1=

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