江苏省扬州市第二高级中学2014-2015第一学期高二数学周练习7

省扬中市第二高级中学 2014-2015 第一学期高二数学周练习 7
姓名 1.动点 P( x, y )满足 3x ? 4 y ? 5 ? 10 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ,则动点 P 的轨迹图形为
2 2

.

x y ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 (?3,2 3) 的双曲线方程为_______ 9 16 x2 y2 3. 已知椭圆 ? 则点 P 到右准线的距离为___ ; ? 1 上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3, 25 16 4、已知抛物线的顶点在原点,对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q(?3, m) 到焦点的距离是 5,
2.与双曲线 则抛物线的方程为
2

2

2

.

5.抛物线 y ? 2 x 上的两点 A、B 到焦点的距离和是 5,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 ______ x2 y2 6. 已知双曲线 ? ? 1 上一点 M 到右准线的距离为 10,F2 为右焦点,N是MF2 的中点, 25 24 . O 为坐标原点,则 ON 的长为 2 2 x y 7.以椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准线交 a b 于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 . 8.椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1 的左准线为 l,左、右焦点分别为 F1,F2,抛物线 C2 的准线为 l, 4 3
y P Q F1 O F2 x

焦点是 F2,C1 与 C2 的一个交点为 P,则|PF2|的值等于

x2 y 2 9.如图,已知 F1 , F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点, a b 点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x2 ? y 2 ? b2 相切于点 Q ,且点 Q 为线段 . PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为
10.已知直线 y=-x+1 与椭圆 点与原点连线的斜率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中 a 2 b2

3 ,则此椭圆的离心率为_______ 2 x2 11.已知点 Q(2 2 ,0) 及抛物线 y ? 上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____ 4 x2 y2 12.椭圆 ? ? 1 内有一点 P(1,?1) ,F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使 MP ? 2 MF 4 3
之值最小,则点 M 的坐标为_______

y2 ? 1 的右焦点,若双曲线上有一点 P ,使 13 . 已 知 点 A(3,2) , F 是 双 曲 线 x ? 3 1 PA ? PF 最小,则点 P 的坐标为 . 2 2 14.已知点A(0,2) ,抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,准线为 l ,线段 FA 交抛物 线与点 B,过 B 作 l 的垂线,垂足为 M,若 AM⊥MF,则 p=_ ___
2

15.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5 米时,水面宽度为 8 米,一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水面的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时,小船开始 不能通行?
1

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F,上顶点为 A,过 A 且与 AF 垂直的光线经 a 2 b2 a2 椭圆的右准线 x ? 反射,反射光线与直线 AF 平行.(1)求椭圆的离心率; (2)设入射光 c a2 线与 x ? 的交点为 B,过 A、B、F 三点的圆恰好与直线 3x ? y ? 3 ? 0 相切,求椭圆的 c
16.设椭圆 方程. A y

F

O

x B

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,一条准线为 l : x ? 4 ,若椭圆 C 与 2 2 a b x 轴交于 A, B 两点, P 是椭圆 C 上异于 A, B 的任意一点,直线 PA 交直线 l 于点 M ,直线 PB 交直线 l 于点 N ,记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 . y M P (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 k1 ? k 2 的值; (3)求证:以 MN 为直径的圆过 x 轴上的定点,并求 A
17. 已知椭圆 C : 出定点的坐标.
B

O

x

(第 17 题图)
2

N

18. 已知圆 O: x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A, B 两点,曲线 C 是以 AB

2 为长轴,离心率为 的椭圆,其左焦点为 F.若 P 是圆 O 上一 2
点,连结 PF,过原点 O 作直线 PF 的垂线交椭圆 C 的左准线于点 Q.(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;(5 分) (Ⅱ)若点 P 的坐标为(1,1),求证:直线 PQ 与圆 O 相切;(5 分) (Ⅲ)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A、B 重合),直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系?若是,请证明;若不是,请说 明理由. (5 分)

Q

y P

A

F

O

B

x

x2 y2 1 19.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)(1)当椭圆的离心率 e ? ,一条准线方程为 x=4 时, 2 a b 求椭圆方程; (2)设 P ( x, y ) 是椭圆上一点,在(1)的条件下,求 z ? x ? 2 y 的最大值及
相应的 P 点坐标。 (3)过 B(0,-b)作椭圆 2b,求椭圆离心率的取值范围。

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的弦,若弦长的最大值不是 a2 b2

3

20.已知抛物线 y 2 ? 8x 与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点 F,且椭圆过点 D (? 2, 3) . a 2 b2

(1)求椭圆方程; (2)点 A、B 是椭圆的上下顶点,点 C 为右顶点,记过点 A、B、C 的 圆为⊙M,过点 D 作⊙M 的切线 l,求直线 l 的方程; (3)过点 A 作互相垂直的两条直线分 y 别交椭圆于点 P、Q,则直线 PQ 是否经过定点,若是,求出该点坐标, A 若不经过,说明理由。

O B

C

x

参考答案:
2 2 35 1.椭圆;2. (答: 4 x ? y ? 1)3. (答: ;4. x 2 ? 2 y 或 x 2 ? 18y 或 x 2 ? ?2 y 或

9

4

3

(答:2) ;6.2 或 12;7、 ( x 2 ? ?18y ;5.

8 5 3 ?1 2 ,1) 8. ;9. ;10. ;11. (答: 2 3 3 2
14. 2 ;

2)12. (答: (

21 2 6 ;13. ( , 2) ,?1) ) 3 3

15. 解:建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 x 2 ? ?2 py ( p ? 0) 。………2 分 将 B(4,-5)代入得 p =1.6,? x 2 ? ?3.2 y , ………6 分 当船两侧与抛物线接触时不能通过, 设点 A(2, y A ),由 22=-3.2 y A ,得 y A = -1.25,………10 分 因为船露出水面的部分高 0.75 米, 所以 h =︱ y A ︱+0.75=2 米 ………12 分 ………14 分

答:水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时,小船开始不能通行。………16 分 16.解:⑴因为入射光线与反射光线垂直,所以入射光线与准线所成的角为 45 ? , 即 ?FAO ? 45? ,所以 b ? c ,所以椭圆的离心率为
2 . 2

2分

…6 分

4

⑵由⑴知 b ? c, a ? 2c ,可得 A ? 0, c ? , B ? 2c, ?c ? ,又 A F ?A B ,所以过 A, B, F 三点的圆的圆
1 10 ?c c? c , ……………………8 分 心坐标为 ? , ? ? ,半径 r ? FB ? 2 2 ?2 2?

因为过 A, B, F 三点的圆恰好与直线 3x ? y ? 3 ? 0 相切, 分

…10

3 1 c? c?3 10 2 2 所以圆心到直线 3x ? y ? 3 ? 0 的距离等于半径 r ,即 ? c ,得 c ? 1 ,…14 2 10
分 所以 b ? 1, a ? 2 ,所以椭圆的方程为 17. (1) 求椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2

…………………………………16 分

x2 y2 3 ? ? 1; (2)k1 ? k 2 ? ? ; (3) 定点的坐标为 (7,0), (1,0) . 4 4 3

18.

5

c 1 ? e ? ? ? x2 y 2 ? a 2 ,? c ? 1, a ? 2, b ? 3 ,椭圆方程为 ? ?1 19.解: (1) ? 2 4 3 a ? ?4 ? ?c x2 y 2 ? ? 1 上,所以可设 x ? 2cos? , y ? 3sin ? , (2)因为 P ( x, y ) 在椭圆 4 3 ? 则 z ? 2 cos ? ? 2 3 sin ? ? 4sin(? ? ) ? 4 , ? zmax ? 4 , 此 时 6 ? ? ? 2 k? ? ( ? k , Z) 3 3 相应的 P 点坐标为 (1, ) 。 2 a2 2 2 2 2 2 2 2 (3)设弦为 BP,其中 P(x,y), BP ? x ? ( y ? b) ? a ? 2 y ? y ? 2by ? b b 2 2 3 4 c 2 c b b 2 2 2 2 = ? 2 y ? 2by ? a ? b ? ? 2 ( y ? 2 ) ? 2 ? a ? b ? f ( y ), (?b ? y ? b) , b b c c 2 因为 BP 的最大值不是 2b,又 f (b) ? 4b ,
所以 f(y)不是在 y=b 时取最大值,而是在对称轴 y ? 所以

b3 处取最大值, c2

b3 2 ? b ,所以 b 2 ? c 2 ,解得离心率 e ? ( ,1) 2 c 2
6

20. .(1) F (2, 0) ,则 c=2, 又

2 3 ? 2 ? 1 ,得 a2 ? 8, b2 ? 4 2 a a ?4 x2 y 2 ? ?1 ∴所求椭圆方程为 ……………………4 8 4 2 2 2 9 (2)M ( ……………………5 , 0) ,⊙M: ( x ? ) ? y2 ? 2 2 2 直线 l 斜率不存在时, x ? ? 2 直线 l 斜率存在时,设为 y ? 3 ? k ( x ? 2)

2 k ? 2k ? 3 | 3 6 2 ∴d ? ,解得 k ? ? ? 12 2 k2 ?1 ∴直线 l 为 x ? ? 2 或 6x ? 12 y ? 10 3 ? 0 (3)显然,两直线斜率存在, 设 AP: y ? kx ? 2 |
代入椭圆方程,得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 8kx ? 0 ,解得点 P (

……………………10

?8k 2 ? 4k 2 , ) …………12 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

8k 2k 2 ? 4 , ) k2 ? 2 k2 ? 2 2 ? 4k 2 k 2 ? 1 ?8k ? (x ? ) 直线 PQ: y ? 2 3k 1 ? 2k 1 ? 2k 2 2 2 令 x=0,得 y ? ? ,∴直线 PQ 过定点 (0, ? ) 3 3
同理得 Q(

…………………14 …………………16

7


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