北京市重点中学2015届高三下学期期初数学试卷(理科)(Word版含解析)

北京市重点中学 2015 届高三下学期期初数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项) 1. (5 分)设 i 为虚数单位,复数 A.﹣1 B. 的虚部为() C. D.

2. (5 分) 已知 A.﹣40

的展开式中各项系数之和为 1, 则该展开式中含 项的系数为 () B.40 C.﹣20 D.20

3. (5 分)平面向量 , 共线的充要条件是() A. , 方向相同 B. , 两向量中至少有一个为零向量 C. ?λ∈R, D.存在不全为零的实数 λ1,λ2,

4. (5 分)将函数 f(x)=2sin(2x+

)的图象向右平移 φ 个单位,再将图象上每一点的 对称,则 φ 的最小正值为() D.

横坐标缩短到原来的 倍,所得图象关于直线 x= A. B. C.

5. (5 分)P 是双曲线

(a>0,b>0)的右支上的一点,F1,F2 分别是左、右焦

点,则△ PF1F2 的内切圆圆心的横坐标为() A.a B. b C. D.

6. (5 分)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目,2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺 序,则同类节目不相邻的排法种数是() A.72 B.120 C.144 D.168

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7. (5 分)△ ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2, A. B. C.

,则 D.

等于()

8. (5 分)如图,在公路 MN 的两侧有四个村镇:A1、B1、C1、D1,它们通过小路和公路 相连,各路口分别是 A,B,C,D,某燃气公司要在公路旁建一个调压站,并从调压站出发 沿公路和各小路通过低压输配于管(每个村镇单独一条管道)将燃气送到各村镇,为使低压 输配干管总长度最小,调压站应建在()

A.A 旁 B. D 旁 C. BC(含 B、C)段公路旁的任一处 D.AB(含 A、B)段公路旁旁的任一处

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分)在极坐标系中,过圆 ρ=4cosθ 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为. 10. (5 分)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= ,AF:FB:BE=4:2:1.若 CE 与圆相切,则 CE 的长为.

11. (5 分)如图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形,根据图中尺寸(单 3 2 位:cm) ,这个几何体的体积为 cm ;表面积为 cm .

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12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若函数 g(x)=f(x)﹣k 有两个

不同的零点,则实数 k 的取值范围是. 13. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c?cosB=2a+b,若△ ABC 的面积为 S= c,则 ab 的最小值为.
*

14. (5 分)已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列五个命题: ①d<0; ②S11>0; ③S12<0; ④数列{Sn}中的最大项为 S11; ⑤|a6|>|a7|. 其中正确的命题是(写出你认为正确的所有命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 15. (13 分)已知函数 f(x)=sin(2x﹣ )+2cos x﹣1,x∈R
2

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f(A)= ,b,a,c 成 等差数列,且 =9,求 S△ ABC 及 a 的值.

16. (13 分)在某学校组织的一次篮球总投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进 一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分,如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则 投第 3 次.某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q2.该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ξ 表示该同学投篮的训练结束后所得的总分,其分布列为 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求 q2 的值; (2)求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ; (3)试比较该同学选择在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率 的大小. 17. (14 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°, AB=2, PA=1, PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点. (Ⅰ) 求证:BE∥平面 PDF; (Ⅱ)求证:平面 PDF⊥平面 PAB; (Ⅲ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的大小.
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18. (13 分)已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x∈(0,e]时,证明: .
2

2

19. (14 分)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且经过点 . (1)求椭圆 C1 的标准方程; (2) 如图, 以椭圆 C1 的长轴为直径作圆 C2, 过直线 x=﹣2 上的动点 T 作圆 C2 的两条切线, 设切点分别为 A、B,若直线 AB 与椭圆 C1 求交于不同的两点 C、D,求 的取值范围.

20. (13 分)若有穷数列 a1,a2,…,an(n≥3)满足: ( 1)

=0; (2)

=1.则

称该数列为“n 阶非凡数列” (Ⅰ)分别写出一个单调递增的“3 阶非凡数列”和一个单调递减的“4 阶非凡数列”; * (Ⅱ)设 k∈N ,若“2k+1 阶非凡数列”是等差数列,求其通项公式; (Ⅲ)记“n 阶非凡数列”的前 m 项的和为 Sm(m=1,2,3,…,n) ,求证: (1)|Sm|≤ ;

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(2)



北京市重点中学 2015 届高三下学期期初数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项) 1. (5 分)设 i 为虚数单位,复数 A.﹣1 B. 的虚部为() C. D.

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 复数的分子与分母同乘分母的共轭复数,化简为 a+bi 的形式,即可得到复数的虚 部. 解答: 解: = . = = .

所以复数的虚部为:

故选 B. 点评: 本题考查复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念,考查计算能力.

2. (5 分) 已知 A.﹣40

的展开式中各项系数之和为 1, 则该展开式中含 项的系数为 () B.40 C.﹣20 D.20

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题;二项式定理. 分析: 依题意,可求得 a=﹣1,设 的展开式的通项为 Tr+1,利用二项展开式

的通项公式可求得 r=3 时该展开式中含 项,从而可求得该展开式中含 项的系数. 解答: 解:∵ ∴当 x=1 时, (2+a) =1, 解得 a=﹣1; 设 的展开式的通项为 Tr+1,
5

的展开式中各项系数之和为 1,

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则 Tr+1=

?(﹣1) ?2

r

5﹣r

?x

5﹣r

?x =(﹣1) ?2

﹣r

r

5 ﹣r

?

?x

5﹣2r



令 5﹣2r=﹣1,得 r=3, ∴该展开式中含 项的系数为(﹣1) ?2 ?
3 2

=﹣40,

故选:A. 点评: 本题考查二项式定理,着重考查二项展开式的通项公式,属于中档题.

3. (5 分)平面向量 , 共线的充要条件是() A. , 方向相同 B. , 两向量中至少有一个为零向量 C. ?λ∈R, D.存在不全为零的实数 λ1,λ2,

考点: 向量的共线定理;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 根据向量共线定理,即非零向量 与向量 共线的充要条件是必存在唯一实数 λ 使 得 成立,即可得到答案. 均为零向量,则显然符合题意,且存在不全为零的实数 λ1,λ2,使得 ; 若 即 ,则由两向量共线知,存在 λ≠0,使得 ,符合题意, ,

解答: 解:若

故选 D. 点评: 本题主要考查向量共线及充要条件等知识.在解决很多问题时考虑问题必须要全 面,除了考虑一般性外,还要注意特殊情况是否成立.

4. (5 分)将函数 f(x)=2sin(2x+

)的图象向右平移 φ 个单位,再将图象上每一点的 对称,则 φ 的最小正值为() D.

横坐标缩短到原来的 倍,所得图象关于直线 x= A. B. C.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
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专题: 计算题. 分析: 根据三角函数图象的变换规律得出图象的解析式 f(x)= 再根据三角函数的性质,当 解答: 解: 将函数 = 短到原来的 倍所得图象的解析式 f(x)= 因为所得图象关于直线 =kπ+ 整理得出 ?= 对称,所以当 ,k∈Z ,k∈Z . 时函数取得最值,所以 ,

时函数取得最值,列出关于 ? 的不等式,讨论求解即可. 的图象向右平移 ? 个单位所得图象的解析式 ,再将图象上每一点的横坐标缩

当 k=0 时,? 取得最小正值为

故选 B. 点评: 本题考查三角函数图象的变换规律, 三角函数的图象与性质. 在三角函数图象的平 移变换中注意是对单个的 x 或 y 来运作的,如本题中,向右平移 ? 个单位后相位应变为 ,而非 .

5. (5 分)P 是双曲线

(a>0,b>0)的右支上的一点,F1,F2 分别是左、右焦

点,则△ PF1F2 的内切圆圆心的横坐标为() A.a B. b C. D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据题意, 利用切线长定理, 再利用双曲线的定义, 把|PF1|﹣|PF2|=2a, 转化为|HF1| ﹣|HF2|=2a,从而求得点 H 的横坐标. 解答: 解:如图所示:F1(﹣c,0) 、F2(c,0) , 设内切圆与 x 轴的切点是点 H, PF1、PF2 分别与内切圆的切点分别为 M、N, 由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a, 由圆的切线长定理知,|PM|=|PN|,故|MF1|﹣|NF2 |=2a, 即|HF1|﹣|HF2|=2a, 设内切圆的圆心横坐标为 x,则点 H 的横坐标为 x, 故 (x+c)﹣(c﹣x)=2a,解得 x=a.
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故选 A.

点评: 本题考查双曲线的定义、 切线长定理, 体现了转化的数学思想以及数形结合的数学 思想. 6. (5 分)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目,2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺 序,则同类节目不相邻的排法种数是() A.72 B.120 C.144 D.168 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据题意,分 2 步进行分析:①、先将 3 个歌舞类节目全排列,②、因为 3 个歌 舞类节目不能相邻, 则分 2 种情况讨论中间 2 个空位安排情况, 由分步计数原理计算每一步 的情况数目,进而由分类计数原理计算可得答案. 解答: 解:分 2 步进行分析: 1、先将 3 个歌舞类节目全排列,有 A3 =6 种情况,排好后,有 4 个空位, 2、因为 3 个歌舞类节目不能相邻,则中间 2 个空位必须安排 2 个节目, 分 2 种情况讨论: ①将中间 2 个空位安排 1 个小品类节目和 1 个相声类节目,有 C2 A2 =4 种情况, 排好后,最后 1 个小品类节目放在 2 端,有 2 种情况, 此时同类节目不相邻的排法种数是 6×4×2=48 种; 2 ②将中间 2 个空位安排 2 个小品类节目,有 A2 =2 种情况, 排好后,有 6 个空位,相声类节目有 6 个空位可选,即有 6 种情况, 此时同类节目不相邻的排法种数是 6×2×6=72 种; 则同类节目不相邻的排法种数是 48+72=120, 故选:B. 点评: 本题考查计数原理的运用,注意分步方法的运用,既要满足题意的要求,还要计算 或分类简便.
1 2 3

7. (5 分)△ ABC 的外接圆的圆心为 O,AB=2,

,则

等于()

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A.

B.

C.

D.

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题. 分析: 由 AB,AC 及 BC 的长,利用勾股定理的逆定理得到三角形 ABC 为直角三角形, 即 A 为直角,可得 BC 为圆的直径,O 为 BC 中点,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边 的一半, 根据 BC 的长求出 AO 及 CO 的长, 再由 AC 的长, 在三角形 AOC 中设出∠AOC=α, 利用余弦定理求出 cosα 的值,然后利用平面向量的数量积运算法则表示出所求的式子,利 用诱导公式化简后,将各自的值代入即可求出值. 解答: 解:∵AB=2, 2 2 2 ∴BC =AB +AC , ∴A= , ,

∴BC 为圆的直径,O 为斜边 BC 的中点, ∴CO=BO=AO= BC= 设∠AOC=α, 由余弦定理得:cosα= 则 故选 C =| |?| |cos(π﹣α)= = , ×(﹣ )=﹣ . ,又 AC= ,

×

点评: 此题考查了余弦定理, 勾股定理的逆定理, 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半,以及平面向量的数量积运算,熟练掌握定理及法则是解本题的关键. 8. (5 分)如图,在公路 MN 的两侧有四个村镇:A1、B1、C1、D1,它们通过小路和公路 相连,各路口分别是 A,B,C,D,某燃气公司要在公路旁建一个调压站,并从调压站出发 沿公路和各小路通过低压输配于管(每个村镇单独一条管道)将燃气送到各村镇,为使低压 输配干管总长度最小,调压站应建在()

A.A 旁 B. D 旁
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C. BC(含 B、C)段公路旁的任一处 D.AB(含 A、B)段公路旁旁的任一处 考点: 简单线性规划的应用;分析法和综合法. 专题: 压轴题. 分析: 通过分析法将总长度最小转化为到 A,B,C,D 四地的距离和最小,通过分析进 一步转化为应建在 A,D 之间. 解答: 解:由于四个村镇到路口 A、B、C、D 的距离是固定的, 故为使低压输配干管总长度最小,只需使其到 A、B、C、D 四地的距离和最小, 又调压站在 A、D 之间时的总路程和一定比调压站在 A、D 之外要小, 所以应建在 A、D 之间, 又由于这时 A 与 D 到调压站的总路程和就为 AD, 故只需使调压站到 B、 C 两地的距离最小 即可, 故应建在 B、C 间的任何一处(包括 B、C) . 故选项为 C. 点评: 对于应用性题目,在近几年 2015 届高考中有加强考查的趋势,应用题的解决,要 善于建立函数模型,转化为数学问题予以解决 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9. (5 分) 在极坐标系中, 过圆 ρ=4cosθ 的圆心, 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ρcosθ=2. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题. 分析: 先将原极坐标方程 ρ=4cosθ 的两边同乘以 ρ 后化成直角坐标方程, 再利用直角坐标 方程进行求解即可. 解答: 解:由题意可知圆的标准方程为: 2 2 (x﹣2) +y =9,圆心是(2,0) , 所求直线普通方程为 x=2, 则极坐标方程为 ρcosθ=2. 故答案为:ρcosθ=2. 点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化, 利用直角坐标与极坐标间的关系, 即利用 2 2 2 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得. 10. (5 分)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上一点,且 DF=CF= ,AF:FB:BE=4:2:1.若 CE 与圆相切,则 CE 的长为 .

考点: 圆的切线方程.
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专题: 直线与圆. 分析: 设出 AF=4k,BF=2k,BE=k,由 DF?FC=AF?BF 求出 k 的值,利用切割定理求出 CE. 解答: 解:设 AF=4k,BF=2k,BE=k,由 DF?FC=AF?BF,得 2=8k ,即 k= , ∴AF=2,BF=1,BE= ,AE= , 由切割定理得 CE =BE?EA= ∴CE= .
2 2

= ,

点评: 本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查计算能力,基本知识掌握的情况, 常考题型. 11. (5 分)如图是一个几何体的三视图,已知侧视图是一个等边三角形,根据图中尺寸(单 3 2 位:cm) ,这个几何体的体积为 3 cm ;表面积为 18+2 cm .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图得出该几何体是正三棱柱, 且底面是边长为 2 的正三角形, 高 为 3,由此求出该三棱柱的体积与表面积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体水平放置的正三棱柱,且底面是边长为 2 的正三角形,高为 3; ∴该正三棱柱的体积为 V= 表面积为 S= cm ; cm .
2 3

故答案为:3 ,18+2 . 点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积与表面积的应用问题, 是基础 题目.

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12. (5 分)已知函数 f(x)=

,若函数 g(x)=f(x)﹣k 有两个

不同的零点,则实数 k 的取值范围是



考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: 当 0<x<2 时,0<log2x<1,当 x≥2 时, ≤x<1,问题等价于函数 f(x)与 y=k 的图象有两个交点,作出函数的图象可得答案. 解答: 解:当 0<x<2 时,0<log2x<1,当 x≥2 时, ≤x<1, 函数 g(x)=f(x)﹣k 恰有两个零点等价于 函数 f(x)与 y=k 的图象有两个交点, 作出函数的图象: 由图象可知,k 的取值范围为 故答案为: . .

点评: 本题考查根的存在性即个数的判断,数形结合是解决问题的关键,属中档题. 13. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c?cosB=2a+b,若△ ABC 的面积为 S= c,则 ab 的最小值为 12.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形.

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分析: 由条件里用正弦定理、两角和的正弦公式求得 cosC=﹣ ,C= 面积为 S= ab?sinC=
2 2 2

.根据△ ABC 的
2

c,求得 c= ab.再由余弦定理化简可得 a b =a +b +ab≥3ab,由此

求得 ab 的最小值. 解答: 解:在△ ABC 中,由条件里用正弦定理可得 2sinCcosB=2sinA+sinB=2sin(B+C) +sinB, 即 2sinCcosB=2sinBcosC+2sinCcosB+sinB,∴2sinBcosC+sinB=0,∴cosC=﹣ ,C= 由于△ ABC 的面积为 S= ab?sinC=
2 2 2



ab=

c,∴c= ab.
2 2 2 2

再由余弦定理可得 c =a +b ﹣2ab?cosC,整理可得 a b =a +b +ab≥3ab, 当且仅当 a=b 时,取等号,∴ab≥12, 故答案为:12. 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,诱导公式、两角和的正弦公式、基本不 等式的应用,属于基础题. 14. (5 分)已知 Sn 是等差数列{an}(n∈N )的前 n 项和,且 S6>S7>S5,有下列五个命题: ①d<0; ②S11>0; ③S12<0; ④数列{Sn}中的最大项为 S11; ⑤|a6|>|a7|. 其中正确的命题是①、②、⑤(写出你认为正确的所有命题的序号) 考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 先由条件确定第六项和第七项的正负,进而确定公差的正负,再将 S11,S12 由第六 项和第七项的正负判定,结合 a6>0,a7<0,且 a6+a7>0 判断⑤. 解答: 解:由题可知等差数列为 an=a1+(n﹣1)d, 由 s6>s7 有 s6﹣s7>0,即 a7<0, 由 s6>s5 同理可知 a6>0, 则 a1+6d<0,a1+5d>0, 由此可知 d<0 且﹣5d<a1<﹣6d. ∵ ,
*

∴s11=11a1+55d=11(a1+5d)>0, s12=12a1+66d=12(a1+a12)=12(a6+a7) , ∵S7>S5,∴S7﹣S5=a6+a7>0, ∴s12>0. 由 a6>0,a7<0,且 a6+a7>0, 可知|a6|>|a7|. 即①②⑤是正确的,③④是错误的.
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故答案为:①、②、⑤. 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用, 体现了数学转化思想方法, 是中档 题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 15. (13 分)已知函数 f(x)=sin(2x﹣ )+2cos x﹣1,x∈R
2

(Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)在△ ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 f(A)= ,b,a,c 成 等差数列,且 =9,求 S△ ABC 及 a 的值.

考点: 余弦定理; 等差数列的通项公式; 三角函数的周期性及其求法; 正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)化简函数解析式可得 f(x)= 期公式可求最小正周期,由 2k 区间. (Ⅱ)由 f(A)=sin(2A+ )= ,又 0<A<π, <2A+ <2π+ ,可解得 A,由 b, ≤2x+ ≤2k = ,由周

(k∈Z)可解得 f(x)的单调递增

a,c 成等差数列得 2a=b+c,由 弦定理即可求得 a 的值. 解答: 解: (Ⅰ) = 最小正周期为 由 2k ≤2x+ ≤2k =

,得 bc 的值,即可根据面积公式求得面积,由余

(k∈Z)可解得 k ,k

≤ x≤ k ](k∈Z)

(k∈Z)

故 f(x)的单调递增区间是:[k (Ⅱ)∵f(A)=sin(2A+ ∵0<A<π, 于是 2A+ 故解得:A= 由 b,a,c 成等差数列得:2a=b+c, = <2A+ , )= , ,

<2π+

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,得 bccosA=9, .

由余弦定理得,a =b +c ﹣2bccosA=(b+c) ﹣3bc, 2 2 2 于是 a =4a ﹣54,a =18, . 点评: 本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,正弦函数的图象和性质,等差数列的 性质等知识的应用,熟练应用相关知识和定理是解题的关键,综合性较强,属于基本知识的 考查. 16. (13 分)在某学校组织的一次篮球总投篮训练中,规定每人最多投 3 次;在 A 处每投进 一球得 3 分,在 B 处每投进一球得 2 分,如果前两次得分之和超过 3 分即停止投篮,否则 投第 3 次.某同学在 A 处的命中率 q1 为 0.25,在 B 处的命中率为 q2.该同学选择先在 A 处投一球,以后都在 B 处投,用 ξ 表示该同学投篮的训练结束后所得的总分,其分布列为 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 P1 P2 P3 P4 (1)求 q2 的值; (2)求随机变量 ξ 的数学期望 Eξ; (3)试比较该同学选择在 B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过 3 分的概率 的大小. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)由题设知,“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”,由对立事件和 相互独立事件性质,能求出 q2. (2)分别求出 p1=p(ξ=2) ,p2=p(ξ=3) ,p3=p(ξ=4) ,p4=p(ξ=5) ,由此能求出 Eξ. (3)用 C 表示事件“该同学选择第一次在 A 处投,以后都在 B 处投,得分超过 3 分”,用 D 表示事件“该同学选择都在 B 处投,得分超过 3 分”,则 P(C)=P(ξ=4)+P(ξ=5) ,P(D) = ,由此能求出结果.

2

2

2

2

解答: 解: (1)由题设知,“ξ=0”对应的事件为“在三次投篮中没有一次投中”, 由对立事件和相互独立事件性质, 2 知 p(ξ=0)=(1﹣q1) (1﹣q2) =0.03, ∵q1=0.25, ∴解得 q2=0.8. (2)根据题意 p1=p(ξ=2)=(1﹣q1)? p2=p(ξ=3)= p3=p(ξ=4)=(1﹣q1) (1﹣q2)q2=0.75×2×0.2×0.8=0.24,
2

=0.25×(1﹣0.8) =0.01, =0.75×0.8 =0.48,
2

p4=p(ξ=5)=q1q2+q1(1﹣q2)q2=0.25×0.8+0.25×0.2×0.8=0.24, 因此 Eξ=0×0.03+2×0.24+3×0.01+4×0.48+5×0.24=3.63. (3)用 C 表示事件“该同学选择第一次在 A 处投,以后都在 B 处投,得分超过 3 分”,
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用 D 表示事件“该同学选择都在 B 处投,得分超过 3 分”, 则 P(C)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=P3+P4=0.48+0.24=0.72, P(D)= =0.8 +2×0.8×0.2×0.8=0.896,
2

故 P(D)>P(C) . 即该同学选择都在 B 处投篮得分超过 3 分的概率大于该同学选择第一次在 A 处投以后都在 B 处投得分超过 3 分的概率. 点评: 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用,解题时要认真审题, 注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化. 17. (14 分) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD=60°, AB=2, PA=1, PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点. (Ⅰ) 求证:BE∥平面 PDF; (Ⅱ)求证:平面 PDF⊥平面 PAB; (Ⅲ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)取 PD 的中点 M,由三角形的中位线定理,结合已知条件,易证明四边形 MEBF 是平行四边形,且 BE∥MF,结合线面平行的判定定理,即可得到 BE∥平面 PDF; (Ⅱ)连接 BD,由已知中底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,可得△ ABD 为等边三角形, 又由 PA⊥平面 ABCD,F 是 AB 的中点,结合线面垂直的性质,及等边三角形“三线合一” 可得:DF⊥AB,PA⊥DF,结合线面垂直的判定定理可得 DF⊥平面 PAB,再由面面垂直的 判定定理,即可得到平面 PDF⊥平面 PAB; (Ⅲ)建立坐标系,求出平面 PAB 的一个法向量、平面 PCD 的一个法向量,利用向量的夹 角公式,即可求平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐二面角的大小. 解答: 解: (Ⅰ)证明:取 PD 中点为 M,连 ME,MF.…1 分 ∵E 是 PC 的中点 ∴ME 是△ PCD 的中位线, ∴ME 平行且等于 .

∵F 是 AB 中点且 ABCD 是菱形, ∴AB 平行且等于 CD, ∴ME 平行且等于 .

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∴ME 平行且等于 FB ∴四边形 MEBF 是平行四边形.从而 BE∥MF.…3 分 ∵BE?平面 PDF,MF?平面 PDF, ∴BE∥平面 PDF. (Ⅱ)证明:∵PA⊥平面 ABCD,DF?平面 ABCD, ∴DF⊥PA.连接 BD, ∵底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°,∴△DAB 为正三角形. ∵F 是 AB 的中点,∴DF⊥AB. ∵PA∩AB=A,∴DF⊥平面 PAB. ∵DF?平面 PDF,∴平面 PDF⊥平面 PAB.…9 分 (Ⅲ)解:建立如图所示的坐标系,则 P(0,0,1) ,C( ,0)…10 分 由(Ⅱ)知 DF⊥平面 PAB,∴ 设平面 PCD 的一个法向量为 由 在以上二式中令 ∴ ,且由 ,则得 x=﹣1, .…12 分 , 是平面 PAB 的一个法向量 …11 分 ,3,0) ,D(0,2,0) ,F( ,

设平面 PAB 与平面 PCD 所成锐角为 θ,则 cosθ=

=

故平面 PAB 与平面 PCD 所成的锐角为 60°.…14 分.

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点评: 本题主要考查线面平行和面面垂直的位置关系的判定, 要求熟练掌握线面、 面面垂 直与平行的判定定理和性质定理.综合性较强. 18. (13 分)已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; 2 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由; (3)当 x∈(0,e]时,证明: .
2

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 计算题;综合题;压轴题. 分析: (1)先对函数 f(x)进行求导,根据函数 f(x)在[1,2]上是减函数可得到其导 函数在[1,2]上小于等于 0 应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得 a 的范围. (2)先假设存在,然后对函数 g(x)进行求导,再对 a 的值分情况讨论函数 g(x)在(0, e]上的单调性和最小值取得,可知当 a=e 能够保证当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3. (3)令 F(x)=e x﹣lnx 结合(2)中知 F(x)的最小值为 3,再令
2 2

并求

导,再由导函数在 0<x≤e 大于等于 0 可判断出函数 ?(x)在(0,e]上单调递增,从而可 求得最大值也为 3,即有 成立,即 成立.

解答: 解: (1)

在[1,2]上恒成立,

令 h(x)=2x +ax﹣1,有 得

2





(2) 假设存在实数 a, 使g (x) =ax﹣lnx (x∈ (0, e]) 有最小值 3, ①当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, ②当 时,g(x)在 上单调递减,在 上单调递增

= (舍去) ,

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∴ ③当

,a=e ,满足条件. 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,
2

2

(舍去) ,

综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3. 2 (3)令 F(x)=e x﹣lnx,由(2)知,F(x)min=3. 令 , ,

当 0<x≤e 时,?'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上单调递增 ∴ ∴ ,即 >(x+1)lnx.

点评: 本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系, 当导函数 大于 0 时原函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减. 19. (14 分)已知椭圆 C1 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且经过点 . (1)求椭圆 C1 的标准方程; (2) 如图, 以椭圆 C1 的长轴为直径作圆 C2, 过直线 x=﹣2 上的动点 T 作圆 C2 的两条切线, 设切点分别为 A、B,若直线 AB 与椭圆 C1 求交于不同的两点 C、D,求 的取值范围.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

分析: (1)由已知得

,由此能求出椭圆的标准方程.

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(2)圆 C2 的方程为 x +y =2,设直线 x=﹣2 上的动点 T 的坐标为(﹣2,t) , (t∈R) ,设 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,则直线 AT 的方程为 x1x+y1y=2,直线 BT 的方程为 x2x+y2y=2,直 线 AB 的方程为﹣2x+ty=2, 由此利用点到直线的距离和导数的性质能求出 的取值范围.

2

2

解答: 解: (1)设椭圆 C1 的标准方程为 将点 P( ) ,Q(﹣1,﹣ )代入,得:

(a>b>0) ,

,解得 a=

,b=1,

∴椭圆的标准方程为
2 2



(2)圆 C2 的方程为 x +y =2, 设直线 x=﹣2 上的动点 T 的坐标为(﹣2,t) , (t∈R) , 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则直线 AT 的方程为 x1x+y1y=2, 直线 BT 的方程为 x2x+y2y=2, 又 T(﹣2,t)在直线 AT 和 BT 上,即 ∴直线 AB 的方程为﹣2x+ty=2, 由原点 O 到直线 AB 的距离为 d= , ,

得|AB|=2

=2



联立

,消去 x,得(t +8)y ﹣4ty﹣4=0,

2

2

设 C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 则 , ,

从而|CD|=

=





=



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设 t +4=m,m≥4, 则 = = ,

2

又设 则

.0<s =

, ,
3

设 f(s)=1+6s﹣32s , 令 f′(s)=6﹣96s =0,解得
3 2



故 f(s)=1+6s﹣32s 在 s∈(0, ]上单调递增, f(s)∈(1,2], ∴ ∈(1, ].

点评: 本题考查椭圆的方程的求法, 考查两线段比值的取值范围的求法, 解题时要认真审 题,注意函数与方程思想的合理运用.

20. (13 分)若有穷数列 a1,a2,…,an(n≥3)满足: ( 1)

=0; (2)

=1.则

称该数列为“n 阶非凡数列” (Ⅰ)分别写出一个单调递增的“3 阶非凡数列”和一个单调递减的“4 阶非凡数列”; (Ⅱ)设 k∈N ,若“2k+1 阶非凡数列”是等差数列,求其通项公式; (Ⅲ)记“n 阶非凡数列”的前 m 项的和为 Sm(m=1,2,3,…,n) ,求证: (1)|Sm|≤ ;
*

(2)



考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用新定义直接写出结果即可. (Ⅱ)设公差为 d,通过 ,推出 ak+2=d.然后通过(1)d>0,利用定义求出 d 和

首项,然后求解通项公式. (2)d<0,利用定义求出 d 和首项,然后求解通项公式. (Ⅲ) (1)当 m=n 时,验证是否成立,当 m<n 时,利用 (2)利用放缩法以及裂项法求解数列的和,然后证明结论. ,推出 .

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解答: (Ⅰ) 解:

为一个单调递增的“3 阶非凡数列”;



一个单调递减的“4 阶非凡数列”. (Ⅱ) 解: 设公差为 d, 由 , 得 , a1+kd=0, ak+1=0,

于是 ak+2=d.由 (1)d>0 由题设得 代入 a1+kd=0 中,得 故 (n∈N ,n≤2k+1) (2)d<0 由题设得 代入 a1+kd=0 中,得 故 (n∈N ,n≤2k+1) (Ⅲ) (1)证明: 当 m=n 时,
* *

,知 d≠0.

, .





, .





,命题成立;

当 m<n 时,由

,得 Sm=a1+a2+…+am=﹣(am+1+am+2+…+an) ,

于是|Sm|=|a1+a2+…+am|=|am+1+am+2+…+an|, 2|Sm|=|a1+a2+…+am|+|am+1+am+2+…+an|≤ 综上,得 (2)证明: (m=1,2,3,…,n) . ,故 .

=

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. 点评: 本题考查新定义的应用,数列的求和,裂项法的应用以及不等式的证明方法,考查 分析问题解决问题的能力.

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