高考数学(理科)一轮复习课件(人教)第9单元第51讲 空间向量的概念及运算_图文

1.了解空间向量的基本定理及其意 义,掌握空间向量的正交分解及其坐标 表示.掌握空间向量的线性运算及其坐 标表示. 2.掌握空间向量的数量积及其坐标 表示,能用向量的数量积判断向量的共 线与垂直; 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各式中运算 的结果为AC1的共有 个 ( D) ①( ③( uAuAuuBuBurr ++uBuuBCuurBu)r1+)+CuuCuuBuur11uCur1 ②( ④( uAuAuuAuAur1r1++uAuu1AuDu1uuDr1ur1)+)+uBuuD1uuC1uuCr1ur1 A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知O、A、B、C为空间四点,又 uuur OA 、 uuur OB 、OuuCur 为空间的一个基底,则( D) A.O、A、B、C四点共线 B.O、A、B、C四点共面但不共线 C.O、A、B、C四点中有三点共线 D.O、A、B、C四点不共面 3.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则( C ) A.x=1,y=1 C.x= ,y=- 2 3 B.x= 1,y=- 1 2 2 D.x=- 1 ,y= 2 6 3 解析:因为a∥b,所以 2x 1 = 1 2 y = 3, 9 所以x= 1 ,y=- 2 . 6 3 4.已知正四面体ABCD的棱长为1,点F、G分 别是AD、DC的中点,则 uuur FG ·uBuAur = 1 . 4 解析: 因为uFuGur 所以 uuur FG ·uBuAur = 1 (=uBu12CuruAu-CuuBruAur=)·12uBuAur(uBuCur -uBuAur ), = 1 2 ( uuur BC ·uBuAur - 2 uuur 2 BA ) = 1×( 1-1) 22 =- 1 . 4 5.已知a、b是空间1两向量:若|a|=2,|b|=2,|a-b|= 7, 则cos〈a,b〉= 8 . 解析:由|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2 =22-2a·b+22 =7. 所以a·b= 1 2 , 1 所以cos〈a,b〉=a·b|a||b|= 2 = 1 . 22 8 1. 空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间,我们把具有① 大小 和 ②方向 的量叫做向量,其大小叫做向量a的长度或 模,记作|a|. (2) 单 位 向 量 : 长 度 或 模 为 ③ ____1______ 的 向 量. (3) 零 向 量 : 长 度 或 模 为 ④ ___0_______ 的 向 量. (4) 相 等 向 量 : 方 向 ⑤ ___相__同_____ 且 模 ⑥ ___相__等_____的向量. (5)相反向量:方向⑦_相__反______且模⑧ ____相__等____的向量. (6)共线向量:与平面向量一样,如果表 示空间向量的有向线段所在的直线互相 平行或重合,则这些向量叫做共线向量 或平行向量,a平行于b,记作a∥b. (7)共面向量:平行于同一⑨__平__面______ 的向量叫做共面向量. 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理及其推论 共线向量定理:空间任意两个向量a,b (b=0),a∥b的充要条件是存在实数 , 使⑩__________. a b (2)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,p与向量a,b共面 的充要条件是存在实数x,y使?p xa yb __________. 空间四点A、B、C、D共面 空间任意使 uuuur OD=x空间向量基本定理如果三个向量a, b,c不共面,那么对空间任一向量p, 存在有序数组{x,y,z},使得p uuur uuur uuur x.OA yOB zOC(其中x y z 1) 3 空间向量基本定理如果三个向量a,b,c 不共面,那么对空间任一向量p,存在有序 数组 x,y,z ,使得p = xa + yb + zc. 3.向量线性运的运算律 (1)加法交换律:?__a_+_b_=_b_+_a__ (2)加法结合律:?(_a_+_b_)_+_c_=_a_+_(b+c) (3)数乘分配律:?λ_(a_+_b_)_=_λ_a_+_λ_b (4)向量对实数加法的分配律: ?a_(_λ_+_μ_)_=_λ_a_+_μa (5)数乘向量的结合律:?(___a_)_____a_ . 4.空间向量的数量积及其运算律 (1)空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量a,b,在空间任取一个点O, uuur 作OA=a, uuur OB b, 则?_∠___A_O__B___ 叫做向量a与b 的显夹然角有,〈记a,作b〉〈〈a,b,b〉a〉,;且〉规;定若0 ?〈〈_a_,a_,_b〉_b_〉_p_, _2_, 则称a与b互相垂直,记作:a b. (2)数量积及坐标运算 (2)已知向量a,b,则?a__b__c_o_s_〈_a_,_ b〉 叫做a,b的数量积,记作a×b. (3)空间向量数量积的运算律 结合律:__(__a__) _ b_____(_a__b_)___a__(__b_); 交换律: ___a___b____b___a___________; 分配律:__a___b____c____a__b____a__c___ 。 5.空间向量的坐标表示及应用(设a=(x1,y1, z1),b=(x2,y2,z2)) (1)坐标运算 a±b= ____(_x1___x_2 _, y_1___y_2 ,_z_1__z_2_)___; λa = ______(_x_1_,_y_2_,_z_3_) _________; agb= ___x_1_x_2___y_1_y_2___z_1_z_2______; (2

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