(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.3 第二课时 补集及综合应用教案 _图文

第二课时 补集及综合应用
预习课本 P10~11,思考并完成以下问题 (1)全集与补集的含义是什么?
(2)如何用 Venn 图表示给定集合的补集?

[新知初探]
1.全集 (1)定义:如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素, 那么就称这个集合为全集. (2)符号表示:全集通常记作 U .
[点睛] 全集并不是一个含有任何元素的集合,仅包含所研 究问题涉及的所有元素.

2.补集

文字 语言

对于一个集合 A,由全集 U 中 不属于集合 A 的所
有元素组成的集合称为集合 A 相对全集 U 的补集, 简称为集合 A 的补集,记作 ?UA

定 义

符号 语言

?UA={x| x∈U,且 x?A }

图形 语言

性 (1)?UA?U; (2)?UU= ,?U 质 (3)?U(?UA)= A;
(4)A∪(?UA)= U;A∩(?UA)=

= U;

[点睛] ?UA 的三层含义: (1)?UA 表示一个集合; (2)A 是 U 的子集,即 A?U;

(3)?UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合.

[小试身手]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)全集一定包含任何元素

(× )

(2)同一个集合在不同的全集中补集不同

(√ )

(3)不同的集合在同一个全集中的补集也不同. ( √ )

2.已知全集 U={0,1,2},且?UA={2},则 A=

()

A.{0}

B.{1}

C.

答案:D

D.{0,1}

3.设全集为 U,M={0,2,4},?UM={6},则 U 等于 ( )

A.{0,2,4,6} B.{0,2,4}

C.{6}

D.

答案:A

4.全集 U={x|0<x<10},A={x|0<x<5},则?UA=________. 答案:{x|5≤x<10}

补集的运算

[例 1] (1)设集合 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则?UM=( )

A.U

B.{1,3,5}

C.{3,5,6}

D.{2,4,6}

(2)设集合 U=R,M={x|x>2,或 x<0},则?UM=( )

A.{x|0≤x≤2}

B.{x|0<x<2}

C.{x|x<0,或 x>2}

D.{x|x≤0,或 x≥2}

[解析] (1)因为 U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},由补集的定义,可 知?UM={3,5,6}. (2)如图,在数轴上表示出集合 M,可知?UM={x|0≤x≤2}.
[答案] (1)C (2)A

求集合补集的 2 种方法 (1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助 Venn 图求解; (2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数 轴,利用数轴分析法求解.

[活学活用] 1.设全集 U=R,集合 A={x|2<x≤5},则?UA=________.
解析:用数轴表示集合 A 为图中阴影部分,
∴?UA={x|x≤2 或 x>5}. 答案:(1){x|x≤2 或 x>5}

2.设 U={x|-5≤x<-2,或 2<x≤5,x∈Z},A={x|x2-2x- 15=0},B={-3,3,4},则?UA=________,?UB=________.
解析:法一:在集合 U 中, ∵x∈Z,则 x 的值为-5,-4,-3,3,4,5, ∴U={-5,-4,-3,3,4,5}. 又 A={x|x2-2x-15=0}={-3,5}, ∴?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}.

法二:可用 Venn 图表示.
则?UA={-5,-4,3,4},?UB={-5,-4,5}. 答案:{-5,-4,3,4} {-5,-4,5}

交集、并集、补集的综合运算

[例 2] (1)(天津高考)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合 A

={2,3,5,6},集合 B={1,3,4,6,7},则集合 A∩?UB=

()

A.{2,5}

B.{3,6}

C.{2,5,6}

D.{2,3,5,6,8}

(2)设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},则?R(A

∪B)=________,(?RA)∩B=________.

[解析] (1)由题意得?UB={2,5,8},∴A∩?UB={2,3,5,6}∩{2,5,8} ={2,5}. (2)把全集 R 和集合 A、B 在数轴上表示如下:
由图知,A∪B={x|2<x<10}, ∴?R(A∪B)={x|x≤2,或 x≥10}. ∵?RA={x|x<3,或 x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3,或 7≤x<10}. [答案] (1)A (2){x|x≤2,或 x≥10} {x|2<x<3,或 7≤x<10}

解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一 一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在 解答过程中常常借助于 Venn 图来求解. (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知 集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的 运算.解答过程中要注意边界问题.

[活学活用]

3.已知集合 A、B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)

={4},B={1,2},则 A∩?UB 等于

()

A.{3}

B.{4}

C.{3,4}

D.

解析:∵U={1,2,3,4},?U(A∪B)={4}, ∴A∪B={1,2,3}.又∵B={1,2},

∴{3}?A?{1,2,3}.

又?UB={3,4}, ∴A∩?UB={3}. 答案: A

4.设集合 S={x|x>-2},T={x|-4≤x≤1},则(?RS)∪T 等于( )

A.{x|-2<x≤1}

B.{x|x≤-4}

C.{x|x≤1}

D.{x|x≥1}

解析:因为 S={x|x>-2},所以?RS={x|x≤-2}. 而 T={x|-4≤x≤1}, 所以(?RS)∪T={x|x≤-2}∪{x|-4≤x≤1}={x|x≤1}. 答案: C

与补集相关的参数值的求解 [例 3] 设集合 A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全 集 U=R,且(?UA)∩B=?,求实数 m 的取值范围. [解] 由已知 A={x|x≥-m}, 得?UA={x|x<-m}, 因为 B={x|-2<x<4},(?UA)∩B=?,
所以-m≤-2,即 m≥2, 所以 m 的取值范围是 m≥2.

[一题多变] 1.[变条件]本例将条件“(?UA)∩B= ”改为“(?UA)∩B≠ ”,
其他条件不变,则 m 的取值范围又是什么? 解:由已知得 A={x|x≥-m}, 所以?UA={x|x<-m}, 又(?UA)∩B≠ , 所以-m>-2,解得 m<2.

2.[变条件]本例将条件“(?UA)∩B= ”改为“(?UB)∪A=R”,
其他条件不变,则 m 的取值范围又是什么? 解:由已知 A={x|x≥-m},?UB={x|x≤-2 或 x≥4}. 又(?UB)∪A=R, 所以-m≤-2,解得 m≥2.


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