第一讲 集合与对应


第一讲 集合与对应 一、知识与方法
1.容斥原理;用 A 表示集合 A 的元素个数,则 A ? B ? A ? B ? A ? B ,

A ? B ? C ? A ? B ? C ? A ? B ? A ? C ? B ? C ? A ? B ? C ,此结论可以推广到
n 个集合的情况,即 ?

? Ai ? ? Ai ? ? Ai ? A j ?
i ?1 i ?1 i? j

n

n

1?i ? j ? k ? n

?

Ai ? A j ? Ak

? ? ? (?1) n?1 ? Ai .
i ?1

n

2.集合的划分:若 A1 ? A2 ? ? ? An ? I ,且 Ai ? Aj ? ?(1 ? i, j ? n, i ? j) ,则这些子 集的全集叫 I 的一个 n -划分。 3.最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 4.抽屉原理: 将 mn ? 1 个元素放入 n(n ? 1) 个抽屉, 必有一个抽屉放有不少于 m ? 1 个元素, 也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素;将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽屉放有无 穷多个元素。

二、典型例题
【从属关系】 1.以某些整数为元素的集合 P 具有下列性质:① P 中的元素有正数,有负数;② P 中的元 素有奇数,有偶数;③-1 ? P ;④若 x , y ∈ P ,则 x + y ∈ P 。则 0 和 2 与集合 P 的关系 分别是__________.

解:由④若 x , y ∈ P ,则 x + y ∈ P 可知,若 x ∈ P ,则 kx ? P (k ? N ) (1) 由①可设 x , y ∈ P ,且 x >0, y <0,则- y x =| y | x 故 x y ,- y x ∈ P ,由④,0=(- y x )+ x y ∈ P 。 (2)2 ? P 。若 2∈ P ,则 P 中的负数全为偶数,不然的话,当-( 2k ? 1 )∈ P ( k ? N )时,-1=(- 2k ? 1 )+ 2k ∈ P ,与③矛盾。于是,由②知 P 中 必有正奇数。设 ? 2m,2n ? 1 ? P (m, n ? N ) ,我们取适当正整数 q ,使 (| y |∈ N )

q? | ?2m |? 2n ? 1 ,则负奇数 ? 2qm ? (2n ? 1) ? P 。前后矛盾。
2.集合 A ? ?n 系是 .

? 3n ? 4 n ? 2 则这两个集合的关 ? N ? , n ? N ? ?, B ? t t ? ?2k ? 1? ? 1, k ? N ? , 5 ? ?

?

?

答案: B ? A 3.(2003 年复旦)定义闭集合 S,若 a,b ? S ,则 a ? b ? S , a ? b ? S . (1)举一真包含于 R 的无限闭集合; (2)求证对任意两个闭集合 S1 , S2 ? R ,存在 c ? R ,但 c ? S1 ? S2 . 分析: (1)在常见的几类数集中寻找 (2)存在性问题正面不容易说清楚,可以考虑反证法 解: (1)显然,整数集 Z 及有理数集 Q 都符合条件. (2)用反证法. 若

S1 , S2 是两个闭集合,且 S1 ? R, S2 ? R, S1 ? S2 ? R ,

则存在 a ? R, a ? S1 , a ? S2 , b ? R, b ? S2 , b ? S1 , 又 a ? b ? R ,则 a ? b ? S1 ,或 a ? b ? S2 , 不妨设 a ? b ? S1 ,则 ? a ? b? ? b ? a ? S1 ,这与 a ? S1 矛盾,故反设不成立,即结论成立. 小结: 解决存在性问题有两种方法: 直接构造和反证法, 本例题两个问分别用到这两种方法. 【有限集的子集】 1.集合 X ? {1,2,3,?, n} 的子集个数是多少?并说明理由。 解: 2 个子集。理由如下:
k 方法 1:X 的 k 元子集即从 n 个元素中取 k 个的组合,共有 Cn (k ? 0,1,2,?, n) 个,因此 X 0 1 n 的子集共有 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? 2 n 个。
n

方法 2:X 中任意一个元素 i (i ? 1,2,?, n) ,可以归入某个子集,也可以不归入这个子集, 即 i 有两种归属,n 个元素共有 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 种归属。每一种归属产生 X 的一个子集。
n

不同的归属产生不同的子集,从而共有 2 个子集。

n

方法 3:对于子集 A,令 f A ( x) ? ?

?1, x ? A ,每一个从 X 到 {0,1} 的映射产生一个子集 A,它 ?0, x ? A

由影射成 1 的那些元素组成。 不同的映射产生不同的子集, 每一个子集都可由这种映射产生。 所以子集的个数就是映射的个数。 而由于每个元素都有映为 0 或 1 两种可能, 所以映射的个 数为 2 个。故子集个数也为 2 个。 2. 给定集合 I ? {1,2,3,?, n} 的 k 个子集:A1 , A2 ,?, Ak , 满足任何两个子集的交集非空, 并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 k 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 2
n ?1 n n

对,每一对不能同在

这 k 个子集中,因此, k ? 2n ?1 ;其次,每一对中必有一个在这 k 个子集中出现,否则,若 有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 A ? A1 ? ? ,则 A1 ? C1 A ,从而可以在 k 个子
n ?1 n ?1 集中再添加 C1 A ,与已知矛盾,所以 k ? 2 。综上, k ? 2 。

3. 集合 X ? {1,2,3,?, n} , A ? X ,若 A 中所有数的和为奇数,则称 A 为 X 的奇子集,若 A 中所有数的和为偶数,则称 A 为 X 的偶子集。 (1)求 X 的奇子集个数和偶子集的个数; (2)求 X 的所有奇子集的元素和的总和。 解: (1)设 A 是 X 的奇子集,构造映射 f ( A) ? ?

? A ? {1}, (1 ? A) ? A ? {1}, (1 ? A)

显然,f 是将奇子集映为偶子集的映射。且首先 f 是单射,即对不同的 A, f ( A) 不同,其 次,f 是满射,即对每一个偶子集 B,都有一个 A 满足 f ( A) ? B 。于是 f 是一一映射,从 而 X 的奇子集和偶子集的个数相等,都等于 2 (2)X 的含 1 的奇子集有 2 子集的元素和的总和是 2 【集合的运算】 1.已知集合 A ? {( x, y) || x | ? | y |? a, a ? 0}, B ? {( x, y) || xy | ?1 ?| x | ? | y |}. 若 A ? B 是平面 上正八边形的顶点所构成的集合,则 a 的值为 .
n ?2
n?2

n ?1

个。

1 n?2 ( ? 2 n ?1 个) ;不含 1 的奇子集也有 2 个,故 X 的所有奇 2

(1 ? 2 ? ? ? n) = 2 n?3 ? n(n ? 1) 。

解:点集 A 是顶点为(a,0) , (0,a) , (-a,0) , (0,-a)的正方形的四条边构成(如图 Ⅰ-1-1-1).将 | xy | ?1 ?| x | ? | y | ,变形为 (| x | ?1)(| y | ?1) ? 0, 所以,集合 B 是由四条直线 x ? ?1, y ? ?1 构成. 欲使 A ? B 为正八边形的顶点所构成,只有 a ? 2或1 ? a ? 2 这两种情况. (1)当 a ? 2 时,由于正八形的边长只能为 2,显然有 2a ? 2 2 ? 2, 故 a ? 2? 2 . (2)当 1 ? a ? 2 时,设正八形边长为 l,则

2?l , l ? 2 2 ? 2, 2 l 这时, a ? 1 ? ? 2 . 2 l cos 45? ?
综上所述,a 的值为 2 ? 2或 2, 如图Ⅰ-1-1-1 中 A( 2 ,0), B(2 ? 2,0). 2 . 对 于 集 合 M , 定 义 函 数 f M ( x) ? ? 图Ⅰ-1-1-1

??1,x ? M , 对于两个集合 M,N,定义集合 ?1, x ? M .

. 已知 A = {2, 4, 6,8,10} , B = {1, 2, 4,8,16} . M ?N ? {x f M (x )? f N x ( ) ? ? 1} (Ⅰ)写出 f A (1) 和 f B (1) 的值,并用列举法写出集合 A? B ; (Ⅱ)用 Card(M)表示有限集合 M 所含元素的个数,求 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的最小 值; (Ⅲ)有多少个集合对(P,Q) ,满足 P, Q ? A ? B ,且 ( P?A)?(Q?B) ? A?B ? 解: (Ⅰ) f A (1)=1 , f B (1)= -1 , A?B ? {1,6,10,16} . (Ⅱ)根据题意可知:对于集合 C , X ①若 a ? C 且 a ? X ,则 Card ( C?( X ? { a}) ? Card( C? X ) ? 1;②若 a ? C 且 a ? X , 则 Card (C?( X ? {a}) ? Card (C ?X ) ? 1 . 所以 要使 Card( X? A ) ? Card ( X ? B ) 的值最 小, 2, 4, 8 一定属于集合 X ; 1, 6, 10, 16 是否属于 X 不影响 Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 的值;集合 X 不能含有 A ? B 之外的元素.

所以 当 X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时, Card ( X ?A) ? Card ( X ?B) 取 到最小值 4. (Ⅲ)因为 A?B ? {x f A ( x) ? f B ( x) ? ?1} , 所以 A?B ? B?A . 由定义可知: f A?B ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) . 所以 对任意元素 x , f( A?B) ?C ( x) ? f A?B ( x) ? fC ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) ,

f A?( B?C ) ( x) ? f A ( x) ? f B?C ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? fC ( x) .
所以 f( A?B) ?C ( x) ? f A?( B?C ) ( x) . 所以 ( A?B)?C ? A?( B?C ) . 由 ( P?A)?(Q?B) ? A?B 知: ( P?Q)?( A?B) ? A?B . 所以 ( P?Q)?( A?B)?( A?B) ? ( A?B)?( A?B) . 所以 P?Q?? ? ? . 所以 P?Q ? ? ,即 P = Q . 因为 P, Q ? A ? B , 所以 满足题意的集合对(P,Q)的个数为 27 ? 128 . 【集合中的元素个数】 1. 设 S 为集合{1,2,3,??,50}的一个子集,且 S 中任意两个元素之和不能被 7 整除, 则 S 中元素最多有多少个? 【解】将这 50 个数按照 7 的余数划分成 7 个集合 A0={7,14,21,28,35,42,49} A1={1,8,15,22,29,36,43,50} A2={2,9,16,23,30,37,44} A3={3,10,17,24,31,38,45} A4={4,11,18,25,32,39,46} A5={5,12,19,26,33,40,47} A6={6,13,20,27,34,41,48}

除去 A0 中的 7 个元素外,其余集合中的元素都不能被 7 整除,而且其余六个集合的每一个 集合中任意两个元素之和也不能被 7 整除,但是,A1 和 A6、A2 和 A5、A3 和 A4 中如果各取一个 元素的话,这两个元素之和能够被 7 整除,因此,所求集合中的元素可以这样构成:A0 中取 一个,然后在 A1 和 A6、A2 和 A5、A3 和 A4 每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素,为 了“最多”,必须取 A1 中的 8 个,然后可以取 A2、A3 中各 7 个元素,因此 S 中元素最多有 1+8+7+7=23 个 2.求 1,2,3,?,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。 【解】 记 I ? { 1,2,3,?,100 }, A ? {x1 ? x ? 100, 且x能被2整除( 记为2 x)} ,

B ? {x1 ? x ? 100,3 x}, C ? {x1 ? x ? 100,5 x} ,由容斥原理,
?100? ?100? A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? B ?C ? C ? A ? A? B ?C ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ?100? ?100? ?100? ?100? ?100? ? ? ? ? ? 74 ,所以不能被 2,3,5 整除的数有 ? ? 5 ? ? ? ? 6 ? ? ? ? 10 ? ? ? ? 15 ? ? ? ? 30 ? ?

I ? A ? B ? C ? 26 个。
3.已知集合 A 中有 10 个元素,且每个元素都是两位整数,证明:一定存在这样两个 A 的子 集,它们中没有相同的元素,而它们的元素之和相等. 解:这 10 个元素的总和 S<100×10=1000 而 A 的子集总共有 210=1024>1000>S 根据抽屉原理,至少存在两个子集,他们的元素之和相等,记为 M、N, 如果 M、N 没有公共元素,则 M、N 就是满足题意的子集,命题得证. 如果 M、N 中有公共元素,记 M∩N=Q, 考查集合 M'=M-Q,N'=N-Q 则 M'、N'中没有公共元素,且 M'、N'的元素之和相等,同时它们都是 A 的子集. 即 M'、N'为所求集合. 命题成立! 4.从 1,2,?,2012 中挑选一些数,其中没有两数之和能被其差整除,选出的这些数最多有 ( A )个 B 672 C 673 D 以上都不对

A 671

解:所有 3k ? 1 型数有 [ 能被 3 整除)

2012 ] ? 1 ? 671 个,且满足任意两数之和能被其差整除(因为其差 3

若取数超过 671 个,则由抽屉原理,有两数之差为 1 或 2; 当两数之差为 1 时,两数之和能被其差整除;当两数之差为 2 时,两数同奇偶,因此两数之 和能被其差整除。

三、课后练习
1.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, b ? 0) 的值域为 M , y ? cx2 ? bx ? a 的值域为 N , 则集合 M , N 的关系是( D ) A M ?N B M ?N C M ?N D M ?N ??

2.集合 P={ x x ? R, x ? 3 ? x ? 6 ? 3 },则集合 CR P 为(

D



A. {x x ? 6, 或x ? 3} C. {x x ? ?6, 或x ? 3}

B. {x x ? 6, 或x ? ?3} D. {x x ? ?6, 或x ? ?3}

3.设集合 X 是实数 R 的子集,如果对于点x0 ∈ R,满足:对于任意的a > 0,都存在x ∈ X, 使得0 < x ? x0 < ,那么称x0 为集合 X 的“聚点” ,用 Z 表示整数集,则在下列数集:① {
n n+1 1

|n ∈ Z, n ≥ 0};②{x ∈ R|x ≠ 0};③{ |n ∈ Z, n ≠ 0};④整数集 Z,以上四个集合中,以 0
n

为聚点的集合有( A.②③ B.①④

) C.①③ D.①②④ )

4.已知 A 与 B 是集合{1,2,3, … … ,99,100}的两个子集,满足:A 与 B 的元素个数相同,且 A ∩ B = Φ。若n ∈ A时总有2n + 2 ∈ B,则集合A ∪ B的元素个数最多为( A.62 B.66 C.68 D.74

5 . 设 集 合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4 } , 若 A 中 所 有 三 元 子 集 的 三 个 元 素 之 和 组 成 的 集 合 为

B ? {?1,3,5,8} ,则集合 A ? ___________________

6.对于集合 ? 1,2,?, n?和它的每一个非空子集,我们定义“交替和”如下:把集合中的数从 小到大的顺序排列,然后从最大的数开始交替地加减各数,如 ? 1,2,4,6,9?的交替和是 9― 6+4―2+1=6,而 ?5?的交替和就是 5。则所有这些交替和的总和为_________. 7.设 M ? {a a ? x 2 ? y 2 , x, y ? Z} ,求证: (1) 2k ? 1 ? M , (k ? Z ) ; (2) 4k ? 2 ? M . ; (3)若 p ? M , q ? M ,则 pq ? M . [证明](1)因为 k , k ? 1 ? Z ,且 2k ? 1 ? k 2 ? (k ? 1) 2 ,所以 2k ? 1 ? M . (2) 假设 4k ? 2 ? M (k ? Z ) , 则存在 x, y ? Z , 使 4k ? 2 ? x 2 ? y 2 , 由于 x ? y 和 x ? y 有相同的奇偶性,所以 x 2 ? y 2 ? ( x ? y)(x ? y) 是奇数或 4 的倍数,不可能等于 4k ? 2 , 假设不成立,所以 4k ? 2 ? M . (3)设 p ? x 2 ? y 2 , q ? a 2 ? b 2 , x, y, a, b ? Z ,则 pq ? ( x 2 ? y 2 )(a 2 ? b2 )

? a 2 a 2 ? y 2b 2 ? x 2b 2 ? y 2 a 2 ? ( xa ? yb) 2 ? ( xb ? ya) 2 ? M (因为 xa ? ya ? Z , xb ? ya ? Z ) 。
8.集合 A ? ?? x, y ? ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ?
2 2

? ?

4? ?, B ? 5?

?? x, y ? x ?1 ? y ? 2 ? a?, A ? B ,求 a

的取值范围.

13.解:集合A表示圆心在(1,2),半径为

4 的圆及其内部所有点的集合,集合 5 4 2 4 即可,所以 a? 即 5 2 5

表示中心在(1,2),边长为 2a的正方形及其内部所有点的集合.欲使A?B, 只需 (1,2)到边长为 2a的正方形的边界的最短距离不大于 所求a的取值范围为a ? 2 10 . 5

9.若 S1 , S 2 , S 3 为非空集合,对于 1,2,3 的任意一个排列 i, j , k ,若 x ? Si , y ? S j ,则

x ? y ? Sk
(1) 证明:三个集合中至少有两个相等。 (2)三个集合中是否可能有两个集无公共元素? 证明: (1)若 x ? Si , y ? S j ,则 y ? x ? S k , ( y ? x) ? y ? ? x ? S i 所以每个集合中均有非 负元素。当三个集合中的元素都为零时,命题显然成立。 否则,设 S1 , S 2 , S 3 中的最小正元素为 a ,不妨设 a ? S1 ,设 b 为 S 2 , S3 中最小的非负

元素,不妨设 b ? S 2 , 则 b - a ∈ S 3 。 若 b >0,则 0≤ b - a < b ,与 b 的取法矛盾。所以 b =0。 任取 x ? S1 , 因 0∈ S 2 ,故 x -0= x ∈ S 3 。 所以 S1 ? S 3 , 同理 S 3 ? S1 。 所以 S1 = S 3 。 (2)可能。例如 S1 = S 2 ={奇数}, S 3 ={偶数}显然满足条件, S1 和 S 2 与 S 3 都无公共元素。 8.已知集合 A ? ?a1,a2, 2, ?,k ) ,由 A 中的元素构成 ?,ak ? (k ≥ 2) ,其中 ai ? Z(i ? 1, 两个相应的集合:

S ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? , T ? ?(a,b) a ? A,b ? A,a ? b ? A? .
其中 (a,b) 是有序数对,集合 S 和 T 中的元素个数分别为 m 和 n . 若对于任意的 a ? A ,总有 ? a ? A ,则称集合 A 具有性质 P . (I)检验集合 ?0, , 2, 3? 是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合,写出相应 1, 2, 3? 与 ??1 的集合 S 和 T ; (II)对任何具有性质 P 的集合 A ,证明: n ≤

k ( k ? 1) ; 2

(III)判断 m 和 n 的大小关系,并证明你的结论. 解: (I)集合 ?0, 1, 2, 3? 不具有性质 P . 集合 ??1 , 2, 3? 具有性质 P ,其相应的集合 S 和 T 是 S ? ?(?13) ,,, (3 ?1)? ,

T ? ?(2, ?1),, ?2 3?? .
(II)首先,由 A 中元素构成的有序数对 (ai,a j ) 共有 k 2 个. 由 A 具有性质 P 知 0 ? A ,所以 (ai,ai ) ?T (i ? 1 , 2, ?,k ) ; 又因为当 a ? A 时, ? a ? A ,所以当 (ai,a j ) ?T 时, (a j,ai ) ?T (i,j ? 1 , 2, ?,k ) . 从而,集合 T 中元素的个数最多为 即n≤

1 2 k (k ? 1) (k ? k ) ? , 2 2

(III) m ? n ,证明如下: (1)对于 (a,b) ? S ,根据定义, a ? A , b ? A ,且 a ? b ? A ,从而 (a ? b,b) ? T . 如果 (a,b) 与 (c,d ) 是 S 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而

k ( k ? 1) . 2

a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立.
故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 T 的不同元素.

可见, S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数,即 m ≤ n , (2)对于 (a,b) ? T ,根据定义, a ? A ,b ? A ,且 a ? b ? A ,从而 (a ? b,b) ? S .如 果 (a,b) 与 (c,d ) 是 T 的不同元素,那么 a ? c 与 b ? d 中至少有一个不成立,从而

a ? b ? c ? d 与 b ? d 中也至少有一个不成立,
故 (a ? b,b) 与 (c ? d,d ) 也是 S 的不同元素. 可见, T 中元素的个数不多于 S 中元素的个数,即 n ≤ m , 由(1) (2)可知, m ? n . 9.设x是一个有限集合,法则 f 使得 X 的每一个偶子集 E(偶数个元素组成的子集)都对应 一个实数 f ( E ) ,且满足条件: (1)存在一个偶子集 D,使得 f ( D) ? 2013; (2)对于 X 的任意两个不相交的偶子集 A,B,有 f ( A ? B) ? f ( A) ? f ( B) ? 2013 (Ⅰ)若 x={1,2,3,4},且 f({1,2})为最大值,求 f(Φ )的值,并证明 f({3,4})≤2013; (Ⅱ)求证:存在 X 的子集 P 和 Q,满足 (1) P ? Q =?, P ? Q ? X (2)对 P 的任何非空偶子集 S,有 f (S ) ? 2013 (3)对 Q 的任何偶子集 T,有 f (T ) ? 2013


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