(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 第一课时 集合的含义教案 新人_图文

集合
1.1.1 集合的含义与表示
第一课时 集合的含义

预习课本 P2~3,思考并完成以下问题 (1)集合和元素的含义是什么?它们各自用什么字母表示?
(2)元素和集合之间有哪两种关系?常见的数集有哪些? 分别用什么符号表示?

[新知初探]
1.元素与集合的概念 (1)元素:一般地,把 研究对象 统称为元素.元素常用小 写的拉丁字母 a,b,c,…表示. (2)集合:把一些元素组成的 总体 叫做集合(简称为集__).集 合通常用大写的拉丁字母 A,B,C,…表示. (3)集合相等:只要构成两个集合的 元素 是一样的,就 称这两个集合是相等的. (4)元素的特性: 确定性 、 无序性 、 互异性 .

[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素,研究 集合问题的核心即研究集合中的元素,因此在解决集合问题时, 首先要明确集合中的元素是什么.集合中的元素可以是点,也可 以是一些人或一些物.

2.元素与集合的关系

关系

语言描述

记法

读法

属于 a 是集合 A 中的元素 a∈A a 属于集合 A

不属于 a 不是集合 A 中的元素 a ? A a 不属于集合 A

[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明

(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系.对
于一个元素 a 与一个集合 A 而言,只有“a∈A”与“a?A”这
两种结果. (2)∈和?具有方向性,左边是元素,右边是集合,形如 R
∈0 是错误的.

3.常用的数集及其记法

常用的 自然数 正整

数集 集

数集

记法

N N*或 N+

整数 集
Z

有理 数集
Q

实数集
R

[小试身手]

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)你班所有的姓氏能组成集合.

(√ )

(2)新课标数学人教 A 版必修 1 课本上的所有难题.( × )

(3)一个集合中可以找到两个相同的元素.

(× )

2.下列元素与集合的关系判断正确的是

A.0∈N

B.π∈Q

C. 2∈Q

D.-1?Z

答案:A

()

3.已知集合 A 中含有 3 个元素-2,4,x2-x,且 6∈A,则 x 的

值是

()

A.2 B.-2

C.3 D.3 或-2

答案:D

4.方程 x2-1=0 与方程 x+1=0 所有解组成的集合中共有 ________个元素.

答案:2

集合的基本概
[例 1] 考察下列每组对象,能构成一个集合的是( ) ①某校高一年级成绩优秀的学生; ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点; ③不小于 3 的自然数; ④2016 年第 31 届奥运会金牌获得者. A.③④ B.②③④ C.②③ D.②④

[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准,所以不能构成 一个集合;②③④中的对象都满足确定性,所以能构成集合.
[答案] B

判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确 定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不 能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.

[活学活用] 1.给出下列说法:
①中国的所有直辖市可以构成一个集合; ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合; ③正偶数的全体可以构成一个集合; ④大于 2 011 且小于 2 016 的所有整数不能构成集合. 其中正确的有________.(填序号) 解析:②中由于“较胖”的标准不明确,不满足集合元素
的确定性,所以②错误;④中的所有整数能构成集合,所
以④错误. 答案:①③

元素与集合的关系

[例 2] (1)下列关系中,正确的有

()

①12∈R;② 2?Q;③|-3|∈N;④|- 3|∈Q.

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

(2)集合 A 中的元素 x 满足3-6 x∈N,x∈N,则集合 A 中

的元素为________.

[解析] (1) 12是实数, 2是无理数,|-3|=3 是非负整数, |- 3|= 3是无理数.因此,①②③正确,④错误.
(2)由题意可得:3-x 可以为 1,2,3,6,且 x 为自然数,因此 x 的值为 2,1,0.因此 A 中元素有 2,1,0.
[答案] (1)0,1,2 (2) C

判断元素与集合关系的 2 种方法 (1)直接法:如果集合中的元素是直接给出,只要判断该 元素在已知集合中是否出现即可. (2)推理法:对于一些没有直接表示的集合,只要判断该 元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确 已知集合中的元素具有什么特征.

[活学活用]

2.已知集合 A 中有四个元素 0,1,2,3,集合 B 中有三个元素 0,1,2,

且元素 a∈A,a?B,则 a 的值为

()

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:∵a∈A,a?B,∴由元素与集合之间的关系知,a=3. 答案: D

3.用适当的符号填空: 已知 A={x|x=3k+2,k∈Z},B={x|x=6m-1,m∈Z}, 则有:17________A;-5________A;17________B. 解析:令 3k+2=17 得,k=5∈Z. 所以 17∈A. 令 3k+2=-5 得,k=-73?Z. 所以-5?A. 令 6m-1=17 得,m=3∈Z, 所以 17∈B. 答案:∈ ? ∈

集合中元素的特性及应用
[例 3] 已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2,若 1∈A,则实数 a 的值为________.
[解析] 若 1∈A,则 a=1 或 a2=1,即 a=±1. 当 a=1 时,集合 A 有重复元素,不符合元素的互异性, ∴a≠1; 当 a=-1 时,集合 A 含有两个元素 1,-1,符合元素的互 异性.∴a=-1. [答案] -1

[一题多变] 1.[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”,其他条件不变,
求实数 a 的值.
解:因 2∈A,则 a=2 或 a2=2 即 a=2,或 a= 2,或 a =- 2.
2.[变条件]本例若去掉条件“1∈A”,其他条件不变,则实数 a 的取值范围是什么? 解:因 A 中有两个元素 a 和 a2,则由 a≠a2 解得 a≠0 且 a≠1.

3.[变条件]已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2,若“a∈A”, 求实数 a 的值.
解:由 a∈A 可知, 当 a=1 时,此时 a2=1,与集合元素的互异性矛盾, 所以 a≠1. 当 a=a2 时,a=0 或 1(舍去). 综上可知,a=0.


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