(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 第一课时 集合的含义教案 新人_图文

集合
1．1.1 集合的含义与表示
第一课时 集合的含义

预习课本 P2～3，思考并完成以下问题 (1)集合和元素的含义是什么？它们各自用什么字母表示？
(2)元素和集合之间有哪两种关系？常见的数集有哪些？ 分别用什么符号表示？

[新知初探]
1．元素与集合的概念 (1)元素：一般地，把 研究对象 统称为元素．元素常用小 写的拉丁字母 a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的 总体 叫做集合(简称为集__)．集 合通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示． (3)集合相等：只要构成两个集合的 元素 是一样的，就 称这两个集合是相等的． (4)元素的特性： 确定性 、 无序性 、 互异性 ．

[点睛] 集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究 集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时， 首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可 以是一些人或一些物．

2．元素与集合的关系

关系

语言描述

记法

读法

属于 a 是集合 A 中的元素 a∈A a 属于集合 A

不属于 a 不是集合 A 中的元素 a ? A a 不属于集合 A

[点睛] 对元素和集合之间关系的两点说明

(1)符号“∈”“?”刻画的是元素与集合之间的关系．对
于一个元素 a 与一个集合 A 而言，只有“a∈A”与“a?A”这
两种结果． (2)∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如 R
∈0 是错误的．

3．常用的数集及其记法

常用的 自然数 正整

数集 集

数集

记法

N N*或 N＋

整数 集
Z

有理 数集
Q

实数集
R

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)你班所有的姓氏能组成集合．

(√ )

(2)新课标数学人教 A 版必修 1 课本上的所有难题．( × )

(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．

(× )

2．下列元素与集合的关系判断正确的是

A．0∈N

B．π∈Q

C. 2∈Q

D．－1?Z

答案：A

()

3．已知集合 A 中含有 3 个元素－2,4，x2－x，且 6∈A，则 x 的

值是

()

A．2 B．－2

C．3 D．3 或－2

答案：D

4．方程 x2－1＝0 与方程 x＋1＝0 所有解组成的集合中共有 ________个元素．

答案：2

集合的基本概
[例 1] 考察下列每组对象，能构成一个集合的是( ) ①某校高一年级成绩优秀的学生； ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点； ③不小于 3 的自然数； ④2016 年第 31 届奥运会金牌获得者． A．③④ B．②③④ C．②③ D．②④

[解析] ①中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能构成 一个集合；②③④中的对象都满足确定性，所以能构成集合．
[答案] B

判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确 定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不 能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．

[活学活用] 1．给出下列说法：
①中国的所有直辖市可以构成一个集合； ②高一(1)班较胖的同学可以构成一个集合； ③正偶数的全体可以构成一个集合； ④大于 2 011 且小于 2 016 的所有整数不能构成集合． 其中正确的有________．(填序号) 解析：②中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合元素
的确定性，所以②错误；④中的所有整数能构成集合，所
以④错误． 答案：①③

元素与集合的关系

[例 2] (1)下列关系中，正确的有

()

①12∈R；② 2?Q；③|－3|∈N；④|－ 3|∈Q.

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

(2)集合 A 中的元素 x 满足3－6 x∈N，x∈N，则集合 A 中

的元素为________．

[解析] （1） 12是实数， 2是无理数，|－3|＝3 是非负整数， |－ 3|＝ 3是无理数．因此，①②③正确，④错误．
（2）由题意可得：3－x 可以为 1,2,3,6，且 x 为自然数，因此 x 的值为 2,1,0.因此 A 中元素有 2,1,0.
[答案] (1)0,1,2 (2) C

判断元素与集合关系的 2 种方法 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该 元素在已知集合中是否出现即可． (2)推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该 元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确 已知集合中的元素具有什么特征．

[活学活用]

2．已知集合 A 中有四个元素 0,1,2,3，集合 B 中有三个元素 0,1,2，

且元素 a∈A，a?B，则 a 的值为

()

A．0

B．1

C．2

D．3

解析：∵a∈A，a?B，∴由元素与集合之间的关系知，a＝3. 答案： D

3．用适当的符号填空： 已知 A＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}， 则有：17________A；－5________A；17________B. 解析：令 3k＋2＝17 得，k＝5∈Z. 所以 17∈A. 令 3k＋2＝－5 得，k＝－73?Z. 所以－5?A. 令 6m－1＝17 得，m＝3∈Z， 所以 17∈B. 答案：∈ ? ∈

集合中元素的特性及应用
[例 3] 已知集合 A 含有两个元素 a 和 a2，若 1∈A，则实数 a 的值为________．
[解析] 若 1∈A，则 a＝1 或 a2＝1，即 a＝±1. 当 a＝1 时，集合 A 有重复元素，不符合元素的互异性， ∴a≠1； 当 a＝－1 时，集合 A 含有两个元素 1，－1，符合元素的互 异性．∴a＝－1. [答案] －1

[一题多变] 1．[变条件]本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，
求实数 a 的值．
解：因 2∈A，则 a＝2 或 a2＝2 即 a＝2，或 a＝ 2，或 a ＝－ 2.
2．[变条件]本例若去掉条件“1∈A”，其他条件不变，则实数 a 的取值范围是什么？ 解：因 A 中有两个元素 a 和 a2，则由 a≠a2 解得 a≠0 且 a≠1.

3．[变条件]已知集合 A 含有两个元素 1 和 a2，若“a∈A”， 求实数 a 的值．
解：由 a∈A 可知， 当 a＝1 时，此时 a2＝1，与集合元素的互异性矛盾， 所以 a≠1. 当 a＝a2 时，a＝0 或 1(舍去)． 综上可知，a＝0.