广东省深圳市宝安中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析

广东省深圳市宝安中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一.选择题: (每小题只有一个选项,每小题 5 分,共计 50 分) 1. (5 分)若集合 P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则 P∩Q 等于() A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<3}
2

D.{x|2≤x≤3}

2. (5 分)若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是() A.(﹣1,1) B.(﹣2,2) C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣∞, ﹣ 1)∪(1,+∞) 3. (5 分)在△ ABC 中,若 A.30° B.45° = ,则 B 的值为() C.60° D.90°

4. (5 分)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5=() A.1 B. 2 C. 4 D.8 5. (5 分)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=() A.n(n+1) B.n(n﹣1) C. D.

6. (5 分)设{an}为等差数列,公差 d=﹣2,sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=() A.18 B.20 C.22 D.24 7. (5 分)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A.a +b >2ab
2 2

B.

C.

D.

8. (5 分)矩形两边长分别为 a、b,且 a+2b=6,则矩形面积的最大值是() A.4 B.
2 2 2

C.

D.2

9. (5 分)在△ ABC 中,sin A﹣sin C+sin B=sinA?sinB,则角 C 为() A.60° B.45° C.120° D.30° 10. (5 分)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是() A. B. C. 5 D.6

二.填空题: (每小题 5 分,共计 20 分) 11. (5 分)不等式 x ﹣5x+6≤0 的解集为. 12. (5 分)若△ ABC 的面积为 ,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于.
2

13. (5 分)数列{an}满足 an+1=

,a8=2,则 a1=.

14. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为.

三.解答题: (共计 80 分) 15. (12 分)设函数 正周期. (1)求 f(0) ; (2)求 f(x)的解析式; (3)已知 ,求 sinαtanα 的值. , (ω>0) ,x∈(﹣∞,+∞) ,且以 为最小

16. (12 分)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

17. (14 分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.

2

18. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=

,n∈N .

*

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=2 +an,求数列{bn}的前 n 项和.

19. (14 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,DA⊥AB,DE=1,EC= ∠BEC= .

,EA=2,∠ADC=



(Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

20. (14 分)在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b+2(k≠0)的图象与 x 轴的正半轴、y 轴 的正半轴分别交于点 A、B. (1)用 b 和 k 表示△ AOB 的面积 S△ AOB; (2)若△ AOB 的面积 S△ AOB=|OA|+|OB|+3. ①用 b 表示 k,并确定 b 的取值范围; ②求△ AOB 面积的最小值.

广东省深圳市宝安中学 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题: (每小题只有一个选项,每小题 5 分,共计 50 分) 1. (5 分)若集合 P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3},则 P∩Q 等于() A.{x|3≤x<4} B.{x|3<x<4} C.{x|2≤x<3}

D.{x|2≤x≤3}

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由于两集合已是最简,直接求它们的交集即可选出正确答案 解答: 解:∵P={x|2≤x<4},Q={x|x≥3}, ∴P∩Q={x|3≤x<4}. 故选 A. 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. 2. (5 分)若关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是()
2

A.(﹣1,1) 1)∪(1,+∞)

B.(﹣2,2)

C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) D. (﹣∞, ﹣

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 计算题. 2 分析: 利用题中条件:“关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根”由韦达定理的出 m 的关系式,解不等式即可. 解答: 解:∵关于 x 的方程 x +mx+1=0 有两个不相等的实数根, ∴△>0, 2 即:m ﹣4>0, 解得:m∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞) . 故选:C. 点评: 本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系,属于基本运算的考查. 3. (5 分)在△ ABC 中,若 A.30° B.45°
2

=

,则 B 的值为() C.60° D.90°

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理列出关系式,结合已知等式得到 sinA=cosA,即 tanA=1,即可求出 B 的度数. 解答: 解:由正弦定理得: ∵ = , = ,即 = ,

∴sinB=cosB,即 tanB=1, 则 B=45°. 故选:B 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 4. (5 分)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数,且 a3a11=16,则 a5=() A.1 B. 2 C. 4 D.8 考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 分析: 由公比为 2 的等比数列{an} 的各项都是正数,且 a3a11=16,知 a7=4= ,由此能求出 a5. .故

解答: 解:∵公比为 2 的等比数列{an} 的各项都是正数, 且 a3a11=16, ∴ .

∴a7=4=



解得 a5=1. 故选 A. 点评: 本题考查等比数列的通项公式的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 5. (5 分)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=() A.n(n+1) B.n(n﹣1) C. D.

考点: 等差数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a4 =(a4﹣4) (a4+8) ,解得 a4 可得 a1,代入求和公式可得. 2 解答: 解:由题意可得 a4 =a2?a8, 2 即 a4 =(a4﹣4) (a4+8) , 解得 a4=8, ∴a1=a4﹣3×2=2, ∴Sn=na1+ =2n+ d, ×2=n(n+1) ,
2

故选:A. 点评: 本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题. 6. (5 分)设{an}为等差数列,公差 d=﹣2,sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=() A.18 B.20 C.22 D.24 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 由等差数列的前 10 项的和等于前 11 项的和可知,第 11 项的值为 0,然后根据等差 数列的通项公式,利用首项和公差 d 表示出第 11 项,让其等于 0 列出关于首项的方程,求出 方程的解即可得到首项的值. 解答: 解:由 s10=s11, 得到 a1+a2+…+a10=a1+a2+…+a10+a11 即 a11=0, 所以 a1﹣2(11﹣1)=0, 解得 a1=20. 故选 B 点评: 此题考查学生掌握等差数列的性质,灵活运用等差数列的通项公式化简求值,是一 道基础题. 7. (5 分)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A.a +b >2ab
2 2

B.

C.

D.

考点: 基本不等式. 专题: 综合题. 2 2 分析: 利用基本不等式需注意:各数必须是正数.不等式 a +b ≥2ab 的使用条件是 a,b∈R. 2 2 解答: 解:对于 A;a +b ≥2ab 所以 A 错 对于 B,C,虽然 ab>0,只能说明 a,b 同号,若 a,b 都小于 0 时,所以 B,C 错 ∵ab>0 ∴ 故选:D 点评: 本题考查利用基本不等式求函数的最值时,必须注意满足的条件:已知、二定、三 相等. 8. (5 分)矩形两边长分别为 a、b,且 a+2b=6,则矩形面积的最大值是() A.4 B. C. D.2

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 根据两个数字的和是一个定值,利用基本不等式写出两个数的积的形式存在最大值, 整理出最大值的形式,得到结果. 解答: 解:∵a+2b=6 ∴a+2b≥2 , ∴2 , ∴ , ∴2ab≤9, ∴ab≤ 即矩形的面积的最大值是 , 故选 B. 点评: 本题考查基本不等式的应用,是一个较简单的基本不等式的应用,注意不等式的使 用条件,本题是一个送分题目. 9. (5 分)在△ ABC 中,sin A﹣sin C+sin B=sinA?sinB,则角 C 为() A.60° B.45° C.120° D.30° 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 把已知的等式利用正弦定理化简后,得到 a,b 及 c 的关系式,然后再利用余弦定理 表示出 cosC,把得出的关系式整理后代入求出 cosC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊角 的三角函数值即可求出 C 的度数. 解答: 解:利用正弦定理 = = 化简已知的等式得:
2 2 2

a ﹣c +b =ab,即 a +b ﹣c =ab, ∴cosC= = = ,

2

2

2

2

2

2

又 C 为三角形的内角,即 0<C<180°, 则角 C 为 60°. 故选 A 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,利用整体代入的思想,正 弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握定理是解本题的关键. 10. (5 分)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是() A. B. C. 5 D.6

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将 x+3y=5xy 转化成 =1,然后根据 3x+4y=( ) (3x+4y) ,展开后利用

基本不等式可求出 3x+4y 的最小值. 解答: 解:∵正数 x,y 满足 x+3y=5xy, ∴ =1 ) (3x+4y)= + + = 时取等号 + ≥ +2 =5

∴3x+4y=( 当且仅当 ∴3x+4y≥5

即 3x+4y 的最小值是 5 故选:C 点评: 本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用,解答本题的关键是由已知 变形,然后进行“1”的代换,属于基础题. 二.填空题: (每小题 5 分,共计 20 分) 2 11. (5 分)不等式 x ﹣5x+6≤0 的解集为{x|2≤x≤3}. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 把不等式的左边分解因式后,根据两数相乘的取符号法则:同号得正,异号得负, 转化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集. 2 解答: 解:不等式 x ﹣5x+6≤0, 因式分解得: (x﹣2) (x﹣3)≤0, 可化为: 或 ,

解得:2≤x≤3, 则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}. 故答案为:{x|2≤x≤3}. 点评: 本题主要考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的数学思想,同时考查了计算 能力,属于基础题之列. 12. (5 分)若△ ABC 的面积为 ,BC=2,C=60°,则边 AB 的长度等于 2.

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形面积公式列出关系式,把已知面积,a,sinC 的值代入求出 b 的值,再利 用余弦定理求出 c 的值即可. 解答: 解:∵△ABC 的面积为 ,BC=a=2,C=60°, ∴ absinC= ,即 b=2,
2 2 2

由余弦定理得:c =a +b ﹣2abcosC=4+4﹣4=4, 则 AB=c=2, 故答案为:2 点评: 此题考查了余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

13. (5 分)数列{an}满足 an+1=

,a8=2,则 a1= .

考点: 数列递推式. 专题: 计算题. 分析: 根据 a8=2,令 n=7 代入递推公式 an+1= 发现规律,求出 a1 的值. 解答: 解:由题意得,an+1= ,a8=2, ,求得 a7,再依次求出 a6,a5 的结果,

令 n=7 代入上式得,a8=

,解得 a7= ;

令 n=6 代入得,a7=

,解得 a6=﹣1;

令 n=5 代入得,a6= …

,解得 a5=2;

根据以上结果发现,求得结果按 2, ,﹣1 循环, ∵8÷3=2…2,故 a1= 故答案为: . 点评: 本题考查了数列递推公式的简单应用,即给 n 具体的值代入后求数列的项,属于基 础题.

14. (5 分)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最大值为 7.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用 z 的几何意义,进行平移即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y,得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z,由图象可知当直线 y=﹣2x+z 经过点 C, 直线 y=﹣2x+z 的截距最大,此时 z 最大, 由 ,解得 ,即 C(3,1) ,

此时 z=2×3+1=7, 故答案为:7.

点评: 本题主要考查线性规划的应用, 利用 z 的几何意义, 利用数形结合是解决本题的关键. 三.解答题: (共计 80 分) 15. (12 分)设函数 正周期. (1)求 f(0) ; , (ω>0) ,x∈(﹣∞,+∞) ,且以 为最小

(2)求 f(x)的解析式; (3)已知 ,求 sinαtanα 的值.

考点: 三角函数的恒等变换及化简求值;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)代入已知关系式即可求得 f(0) ; (2)利用正弦函数的周期公式即可求得 ω,从而可得 f(x)的解析式; (3)由由 f( + )= ,可求得 cosα 的值,从而可求得 sinαtanα 的值. )= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2 分)

解答: 解: (1)由题设可知 f(0)=3sin( (2)∵f(x)的最小正周期 ∴ω= ,

=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分)

∴f(x)=3sin(4x+ (3)由 f( +
2

)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) + )=3cosα= ,…(9 分)

)=3sin(α+ ,

∴cosα= ,sin α=

∴sinαtanα=

=

=

…(12 分)

点评: 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查三角函数的恒等变换及 化简求值,属于中档题. 16. (12 分)如图,三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD,CD⊥BD. (Ⅰ)求证:CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)若 AB=BD=CD=1,M 为 AD 中点,求三棱锥 A﹣MBC 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离.

分析: (Ⅰ)证明:CD⊥平面 ABD,只需证明 AB⊥CD; (Ⅱ)利用转换底面,VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ ABM?CD,即可求出三棱锥 A﹣MBC 的体积. 解答: (Ⅰ)证明:∵AB⊥平面 BCD,CD?平面 BCD, ∴AB⊥CD, ∵CD⊥BD,AB∩BD=B, ∴CD⊥平面 ABD; (Ⅱ)解:∵AB⊥平面 BCD,BD?平面 BCD, ∴AB⊥BD. ∵AB=BD=1, ∴S△ ABD= , ∵M 为 AD 中点, ∴S△ ABM= S△ ABD= , ∵CD⊥平面 ABD, ∴VA﹣MBC=VC﹣ABM= S△ ABM?CD= .

点评: 本题考查线面垂直,考查三棱锥 A﹣MBC 的体积,正确运用线面垂直的判定定理是 关键. 17. (14 分)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x ﹣5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列{ }的前 n 项和.
2

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)解出方程的根,根据数列是递增的求出 a2,a4 的值,从而解出通项; (2)将第一问中求得的通项代入,用错位相减法求和. 2 解答: 解: (1)方程 x ﹣5x+6=0 的根为 2,3.又{an}是递增的等差数列, 故 a2=2,a4=3,可得 2d=1,d= , 故 an=2+(n﹣2)× = n+1,

(2)设数列{

}的前 n 项和为 Sn,

Sn=

,①

Sn=

,②

①﹣②得 Sn=

=



解得 Sn=

=2﹣



点评: 本题考查等的性质及错位相减法求和,是近几年高考对数列解答题考查的主要方式.
*

18. (14 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=2

,n∈N .

+an,求数列{bn}的前 n 项和.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)当 n=1 时,a1=S1=1;当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1 即可得出; n (2)由(1)知,bn=2 +n.利用等差数列与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (1)当 n=1 时,a1=S1=1; 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1= 故数列{an}的通项公式为 an=n. n (2)由(1)知,bn=2 +n. 记数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 1 2 n 则 Tn=(2 +2 +…+2 )+(1+2+…+n) = =n.

=

. .

故数列{bn}的前 n 项和为

点评: 本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的前 n 项和公式,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

19. (14 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,DA⊥AB,DE=1,EC= ∠BEC= .

,EA=2,∠ADC=



(Ⅰ)求 sin∠CED 的值; (Ⅱ)求 BE 的长.

考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. (Ⅱ)利用两角和的余弦公式,结合正弦定理即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)设 α=∠CED, 2 2 2 在△ CDE 中,由余弦定理得 EC =CD +ED ﹣2CD?DEcos∠CDE, 2 2 即 7=CD +1+CD,则 CD +CD﹣6=0, 解得 CD=2 或 CD=﹣3, (舍去) , 在△ CDE 中,由正弦定理得 ,

则 sinα= 即 sin∠CED= .



(Ⅱ)由题设知 0<α< 而∠AEB= ∴cos∠AEB=cos( ,

,由(Ⅰ)知 cosα=



)=cos , .

cosα+sin

sinα=



在 Rt△ EAB 中,cos∠AEB= 故 BE=

点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键, 难度不大. 20. (14 分)在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y=kx+b+2(k≠0)的图象与 x 轴的正半轴、y 轴 的正半轴分别交于点 A、B. (1)用 b 和 k 表示△ AOB 的面积 S△ AOB; (2)若△ AOB 的面积 S△ AOB=|OA|+|OB|+3. ①用 b 表示 k,并确定 b 的取值范围; ②求△ AOB 面积的最小值. 考点: 二次函数的性质;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (1)分别求出直线和坐标轴的交点保证即可用 b 和 k 表示△ AOB 的面积 S△ AOB;

(2)根据三角形的面积公式,利用基本不等式进行求解即可. 解答: 解: (1)令 x=0,得 y=b+2(b>﹣2) ; 令 y=0,得 点 . ,



…(5 分)

(2)①由题意得



解得 结合 b>﹣2,解得 b>0. 故 k= ②由①得 S△ AOB= 当且仅当 b= = ,即 b= 时取等号, = ,b>0…(10 分)



=b+

+7

=7+2



故△ AOB 面积的最小值为 7+2 . 点评: 本题主要考查直线方程的应用,以及三角形面积的计算,利用基本不等式的性质是 解决本题的关键.


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