高中数学第二章圆锥曲线与方程抛物线的综合问题及应用习题课课件北师大版选修_图文

习题课——抛物线的综合问题及应用

学习目标 思维脉络 1.理解并能判断直 线与抛物线的位置 关系. 2.掌握抛物线中的 焦点弦问题的解决 方法. 3.掌握抛物线中的 定点与定值问题的 求解方法.

1.直线与抛物线的位置关系 直线y=kx+b与抛物线y2=2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方 程k2x2+2(kb-p)x+b2=0的解的个数.当k≠0时,若Δ>0,则直线与抛物线 有两个不同的公共点;当Δ=0时,直线与抛物线有一个公共点;当 Δ<0时,直线与抛物线没有公共点.当k=0时,直线与抛物线的对称轴 平行或重合,此时直线与抛物线有一个公共点.

2.焦点弦
(1)直线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线交于
A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则得焦点弦公式: 抛物线y2=2px(p>0),|AB|=p+(x1+x2); 抛物线y2=-2px(p>0),|AB|=p-(x1+x2); 抛物线x2=2py(p>0),|AB|=p+(y1+y2); 抛物线x2=-2py(p>0),|AB|=p-(y1+y2). (2)抛物线的焦点弦的常见结论:
①若 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦),且
A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=42,y1y2=-p2.
②若 AB 是抛物线 y2=2px(p>0)的焦点弦,且直线 AB 的倾斜角为
α,则|AB|=si2n2(α≠0).

【做一做1】 判断直线y=1与抛物线y=x2的位置关系是( )

A.相离

B.相交

C.相切

D.相交或相切

解析:数形结合或把y=1代入y=x2可求出交点有两个,故相交.

答案:B

【做一做2】 过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于

A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )

A.不存在 B.有无穷多条

C.有且仅有一条 D.有且仅有两条

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由题可知p=2,
∴|AB|=x1+x2+p=5+2=7>通径长=4, ∴适合条件的直线有且仅有两条.

答案:D

【做一做3】 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交

于A,B两点,则cos∠AFB=

.

解析:联立



2 = 4, 消 = 2-4,

y



x2-5x+4=0,解得

x

=1



x=4.不妨设

A

在 x 轴上方,于是 A,B 的坐标分别为(4,4),(1,-2),又 F(1,0),可求

|AB|=3 5,|AF|=5,|BF|=2,利用余弦定理得 cos∠ AFB=||22+|||||2-|| |2 =-45.

答案:-45

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究一 直线与抛物线的位置关系
【例1】 已知直线y=(a+1)x-1与y2=ax(a≠0)恰有一个公共点,求实 数a的值.
分析将直线与抛物线的位置关系转化为直线方程与抛物线方程 恰有一个公共解.同时注意分类讨论思想的运用.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解联立方程,得

= ( + 1)-1, 2 = ,

消去 x,得+ 1y2-y-1=0.

①若+


1=0,即

a=-1,

则方程为-y-1=0,得 = -1, = -1.

②若+


1≠0,即

a≠-1,由

Δ=0,得

1+4(+ 1)=0,

解得 a=-45.

这时直线与抛物线相切,只有一个公共点.

综上,当 a=-1,-45时,直线 y=(a+1)x-1 与 y2=ax(a≠0)只有一个公共点.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟1.直线与抛物线的位置关系(直线不与抛物线的对称轴 平行或重合)
(1)相交:有两个交点,两交点的连线段叫作弦. (2)相切:有一个交点. (3)相离:无公共点. 注:平行于焦点所在的坐标轴或与焦点所在坐标轴重合的直线与 标准抛物线也只有一个交点.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

2.弦长公式 若直线y=kx+b与抛物线y2=2px有两个交点A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= 1 + 2|x1-x2|

= 1 + 2 (1 + 2 )2 -41 2

或|AB|=

1

+

1 2

|y1-y2|

=

1

+

1 2

(1 + 2 )2 -41 2.

另外,要注意直线斜率不存在时的情况.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练1顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4所得

的弦长|AB|=3 5 ,求抛物线方程.

解设抛物线y2=ax(a≠0),将y=2x-4代入得4x2-(a+16)x+16=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2), 即x1,x2为方程4x2-(a+16)x+16=0的两个根, 则有 x1+x2=+416,x1x2=4,

∴|x1-x2|= |1-2 |2 = (1 + 2 )2-41 2 =

+16 4

2
-16.

∴|AB|= 1 + 2·|x1-x2|= 5 ·

+16 4

2
-16.

又|AB|=3 5,

∴a=4或a=-36.

∴所求抛物线的标准方程为y2=4x或y2=-36x.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

探究二 焦点弦问题
【例2】 已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于 A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值; (2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解(1)因为直线 l 的倾斜角为 60°,

所以其斜率 k=tan 60°= 3.

又F

3 2

,0

,

所以直线 l 的方程为 y=

3

-

3 2

.

2 = 6,

联立 =

3

-

3 2

,

消去 y,得 x2-5x+94=0.

若设 A(x1,y1),B(x2,y2),

则 x1+x2=5, 而|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p,

所以|AB|=5+3=8.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义知

|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p=x1+x2+3,

所以 x1+x2=6,于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3,又准线方程

是 x=-32,

所以

M

到准线的距离等于

3+32

=

9 2

.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点,因此与焦点弦有关的问题要注意 结合抛物线的定义求解. (2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立, 再结合根与系数的关系求解. (3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式,也可以利用弦长 公式,但由于弦过焦点,结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1+x2+p, 同时由弦长x1+x2+p≥2 12+p=2p知,通径是所有弦中最短的弦.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练2(1)斜率为2的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线

相交于两点A,B,则线段AB的长度为

.

(2)过抛物线y2=8x的焦点作直线l,交抛物线于A,B两点,若线段AB

中点的横坐标为3,则|AB|的长度为

.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解析:(1)如图,由抛物线的标准方程可知,焦点F(1,0),准线方程x=-
1. 由题设,直线AB的方程为y=2x-2, 代入抛物线方程y2=4x, 整理得x2-3x+1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线定义可知,|AF|等于点A到准线x=-1的
距离|AA'|, 即|AF|=|AA'|=x1+1,同理|BF|=x2+1,
∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=3+2=5.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

(2)由抛物线y2=8x知,p=4.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

根据抛物线定义知|AF|=x1+2,|BF|=x2+2,

∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+p,∴x1+x2=|AB|-p.

由条件知1

+2 2

=3,

则x1+x2=6,
∴|AB|-p=6.

又∵p=4,∴|AB|=10.

答案:(1)5 (2)10

探究一

探究二

探究三
探究三

思维辨析
平分线问题

【例3】 过点M(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,若弦AB恰被点M所平

分,求弦AB所在直线的方程.

解法一设以M为中点的弦AB的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有
x1+x2=2×4=8,y1+y2=2×1=2,由题意知直线AB的斜率k存在且不为0, k =2 -1 .
2 -1
把 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入抛物线的方程得

12=8x1,①

22=8x2,②

②-①得22 ? 12=8(x2-x1),

所以

8=22 -12

=

(1

+2

)(2-1

)
=2k

,

2 -1

2-1

探究一

探究二

探究三

思维辨析

所以k=4,

所以所求弦AB所在的直线方程为y-1=4(x-4),

即4x-y-15=0. 解法二由题知直线AB的斜率存在,且不为0,设为k,弦AB所在的直 线方程为y=k(x-4)+1,

由 2 = 8, = (-4) + 1,
消去 x,得 ky2-8y+8-32k=0,所以 y1+y2=8. 又知 AB 的中点就是 M,所以 y1+y2=2=8,
所以k=4, 所以弦AB所在的直线方程为y=4(x-4)+1, 即4x-y-15=0.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

反思感悟解决平分弦问题的常用方法 (1)点差法.设而不求,结合中点坐标公式. (2)待定系数法. (3)对称点法.利用对称点都在抛物线上,满足抛物线方程求解.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

变式训练3抛物线y2=-8x中,以(-1,1)为中点的弦的直线方程



.

解析:方法一:设弦的两个端点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),

则有12=-8x1,22=-8x2,

两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=-8(x1-x2),

则直线的斜率

k =1 -2
1 -2

=

-8 1 +2

.

因为(-1,1)为中点,

所以1

+2 2

=1,

即 y1+y2=2,

所以 k=1-+82 = -28=-4,所以直线斜率为-4 且过点(-1,1),则直线

方程是 y-1=-4(x+1),整理得直线方程为 4x+y+3=0.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

方法二:设抛物线y2=-8x上的任意点为(x,y), 则点(x,y)关于点(-1,1)的对称点(-2-x,2-y)必在抛物线y2=-8x上,所 以有(2-y)2=-8(-2-x),两式相减得4-4y=16x+16,即4x+y+3=0为所求 直线的方程. 答案:4x+y+3=0

探究一

探究二

探究三

思维辨析

因忽视隐含条件导致失误 【典例】 如图所示,过点P(0,-2)的直线l交抛物线y2=4x于A,B两 点,求以OA,OB为邻边的平行四边形OAMB的顶点M的轨迹方程.

易错分析本题可以设出直线l的方程,通过参数法求解.容易忽视 的是直线l与抛物线交于不同两点时,直线的斜率k是有前提条件的. 首先,k≠0;其次,消元后的一元二次方程的根的判别式大于0.忽视这 些限制条件就扩大了所求轨迹的范围.

探究一

探究二

探究三

思维辨析

解设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),直线 l 的方程为 y=kx-2(k≠0).
与抛物线方程 y2=4x 联立,
消去 y,得 k2x2-4(k+1)x+4=0.(*)
由根与系数的关系, 可得 x1+x2=4(+2 1),x1x2=42, 所以 y1+y2=k(x1+x2)-4=4. 又在平行四边形 OAMB 中,AB 的中点为 OM 的中点, 所以 x1+x2=x=4(+2 1),y1+y2=y=4,消去 k,得(y+2)2=4(x+1). 又直线 l 与抛物线 y2=4x 交于不同的两点, 故对于(*),其 Δ=[-4(k+1)]2-16k2=32k+16>0,解得 k>-12. 代入 y=4,可得 y<-8 或 y>0.故点 M 的轨迹方程为 (y+2)2=4(x+1)(y<-8 或 y>0).

探究一

探究二

探究三

思维辨析

纠错心得在利用参数法求点的轨迹方程时,一定要注意参数的取 值范围有没有限制条件,尤其是直线与曲线交于不同两点时联立所 得一元二次方程的Δ>0.

1234

1.设抛物线 y2=2x 与过焦点 F 的直线交于 A,B 两点,则 · 的值

是( )

A.34

B.-34

C.3

D.-3

解析:特例法,F

1 2

,0

,取 A

1 2

,1

,B

1 2

,-1

,

∴ · = 14-1=-34.

答案:B

1234

2.已知抛物线 y2=8x 的焦点为 F,直线 y=k(x-2)与此抛物线相交于 P,Q

两点,则|1| + |1|=(

)

A.12

B.1

C.2

D.4

解析:设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知,|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则|1| +

1 ||

=

1 1 +2

+

1 2 +2

=

1

1+2+4 2+2(1+2)+

4,联立直线与抛物线方程消去

y



k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知

x1x2=4,故|1|

+

1 ||

=

1+2+4 1 2+ 2(1+ 2)+ 4

=

1 +2 +4 2(1 +2 )+8

=

12.

答案:A

1234

3.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若

x1+x2=6,则|AB|=

.

解析:|AB|=x1+x2+p=6+2=8.

答案:8

1234

4.已知抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+m 所得弦长|AB|=3 5,求 m 的值.

解由

2 = 4, = 2 +

,得

4x2+4(m-1)x+m2=0.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

则由根与系数的关系得 x1+x2=1-m,x1·x2=42,

∴|AB|= 1 + 2 (1 + 2 )2 -412

= 1 + 22 (1-)2 -4·42 = 5(1-2).

由|AB|=3 5,即 5(1-2)=3 5,解得 m=-4.


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