黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期中考试数学(文)试题

哈师大附中 2019 学年度高三上学期期中考试 数学试题(文科)
考试时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合 A ? x | x ? 3 , B ? ?x | x ? 2 ? 0? ,那么集合 A ? B ? A. ? ??,3? B. ? ??,3? C. ? 2,3? D. ? ?3, 2?

?

?

2.已知不共线的向量 a , b , | a |? 2, | b |? 3 , a ? (b ? a ) ? 1 ,则 | a ? b |? A. 3 B. 2 2 C. 7 D. 23

3.等差数列 ?an ? 中, 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则这个数列的前 13 项和为 A.13 B.26 C.52 D.156 4.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的体积是 A.

13 ? 3

B. 7?

C. 11?

D. 12?

5.将函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 的图象向右平移

? 个单位长度,所得图象 4

关于点 ? A.

? 3? ? , 0 ? 对称,则 ? 的最小值是 ? 4 ?
B.1 C.

1 3

5 3

D. 2

6.设 a , b 是两个非零向量,则使 a ? b ? a b 成立的一个必要不充分条件是 A. a ? b B. a ? b C. a ? ?b(? ? 0) D. a // b

7.设 tan(? ? ? ) ? 2 ,则

sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ? cos(? ? ? )
C.3 D.-1

A.

1 3

B.1

8.设 ?an ? 是由正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和,已知 a2 a4 ? 1 , S3 ? 7, 则 S5 ? A.

15 2

B.

31 4

C.

33 4

D.

17 2

·1·

9.已知函数 f ( x) ? 3sin x ? ? x, 命题 p : ?x ? (0, A . p 是真命题, ?p : ?x0 ? (0,

?
2

), f ( x) ? 0 ,则
B . p 是真命题, ?p : ?x ? (0,

?
2

), f ( x0 ) ? 0

?
2

), f ( x) ? 0

C. p 是假命题, ?p : ?x ? (0, 10.已知函数 f ( x) ? ? A. (??, ?1]

?
2

), f ( x) ? 0

D. p 是假命题, ?p : ?x0 ? (0,

?
2

), f ( x0 ) ? 0

?(1 ? 2a) x ? 3a, x ? 1 的值域为 R ,则实数 a 的取值范围是 ?ln x, x ? 1
B. ( ?1, )

1 2

C. [ ?1, )

1 2

D. (0, )

1 2

11.在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 c ? a cos B ? (2a ? b)cos A ,则 ? ABC 的形 状是 A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰或直角三角形

12. 设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 对任意的 x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 且当 x ? [?2, 0] 时,

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 .若在区间 ? ?2,6? 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同 ?2?
的实数根,则实数 a 的取值范围是 A. ?1, 2 ? B. ? 2, ??? C. 1, 3 4

x

?

?

D.

?

3

4, 2

?

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

共 90 分)
. .

13.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? 2, a3 ? a4 ? 4 ,则 a5 ? a6 ? 14.设 ? 为锐角,若 cos(? ?

?

3 ? ) ? , 则 sin(? ? ) ? 6 5 12

15.已知向量 OA ? (2,2) , OB ? (4,1) ,在 x 轴上存在一点 P 使 AP ? BP 有最小值,则点 P 的坐标 是 . 16.在平面直角坐标系 xoy 中,使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合.已知点

P ? x, y ?

是角 ? 终边上一点, OP ? r ? r ? 0? ,定义 f ?? ? ?

?? ? 的值域是 [? 2, 2] ; 3? ③函数 f ?? ? 的图象关于直线 x ? 对称; 4
①函数 f

x? y .对于下列说法: r ②函数 f ?? ? 的图象关于原点对称;
④函数 f

?? ? 是周期函数,其最小正周期为 2? ;

·2·

⑤函数 f

?? ? 的单调递减区间是 ? ?2k? ?
?

3? ?? , 2k? ? ? , k ? Z . 4 4?

其中正确的是 . (填上所有正确命题的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 10, an?1 ? 9Sn ? 10 . (Ⅰ)求证: {lg an } 是等差数列; (Ⅱ)设 bn ?

2 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (lg an )(lg an ?1 )

18. (本题满分 12 分) 已知向量 m ? (2cos2 x, 3), n ? (1,sin 2 x) ,函数 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的图象的对称中心和单调递增区间; (Ⅱ)在 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 f (C) ? 3, c ? 1, ab ? 2 3, 且 a ? b , 求 a , b 的值.

19. (本题满分 12 分) 四棱锥 P-ABCD 中, 直角梯形 ABCD 中, AD⊥CD, AB∥CD, ∠APD=60°, PA=2PD , CD=2AB, P 且平面 PDA⊥平面 ABCD,E 为 PC 的中点. (Ⅰ)求证:PD⊥平面 ABCD; E (Ⅱ)求直线 BE 与 PA 所成角的余弦值.

D

C

A B 20.(本题满分 12 分) 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AA1=1,E 为 BC 中点. (Ⅰ)求证:C1D⊥D1E; (Ⅱ) 在棱 A1D1 上是否存在一点 M, 使得 BM∥平面 AD1E ? 若存在, 求点 M 的位置; 若不存在, 说明理由; (Ⅲ)若 AD=2,求点 B 到平面 AD1E 的距离. D1
A1
·3·

C1

B1

D A E B

C

21.(本题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? a ln x ? x 2 ? 2 x ,其中 a ? R . (Ⅰ)当 a ? ?4 时,求函数 f ?x ? 的单调区间; (Ⅱ)在(Ⅰ)成立的情况下,若满足 m ? f ?x ? 有解,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)试讨论函数 y ? f ?x ? 的图象上垂直于 y 轴的切线的存在情况.

请从下面所给的 22 , 23 ,24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知 AB 是半圆 O 的直径,AB=4,点 C 是半圆 O 上一点,过 C 作半圆 O 的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交半圆于 E,DE=1. D (Ⅰ)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长. E C

A

O

B

23.(本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 极坐标方程为 ? ? 2sin ? , ? ? ?0, (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,根据(Ⅰ)中的参数方 程,确定点 D 的坐标.

? ?? . ? 2? ?

24. (本题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)已知不等式 2x ? t ? t ? 8 的解集是 x ?5 ? x ? 4 ,求实数 t 的值;
·4·

?

?

(Ⅱ)已知实数 x, y, z 满足 x ?
2

1 2 1 2 y ? z ? 2 ,求 x ? y ? z 的最大值. 4 9

·5·

哈师大附中 2019 学年度高三上学期期中考试 数学(文科)答案
1—12 13.6; BABAD DCBAC DD 14.

2 ; 10

15. ?3,0? ;

16.①③④

17.(1)当 n ? 2 时,由 an?1 ? 9S n ? 10 ,得 an ? 9S n?1 ? 10 ,相减得: an?1 ? 10an

……2 分

当 n ? 1 时, a2 ? 9S1 ? 10 ? 100 ? 10a1 ,∴ an?1 ? 10an (n ? N ) ,
*

……3 分

? lg an?1 ? lg(10an ) ? 1 ? lg an , ? lg an?1 ? lg an ? 1 ,又 lg a1 ? 1 ? ?lg an ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列;
(2) bn ? ……6 分

2 1 ? ?1 ? 2? ? ?, n?n ? 1? ? n n ? 1?

……9 分

则 Tn ? 2?1 ?

? ?

1 1 1 1 1 ? 2n ? ? ??? ? . ?= 2 2 3 n n ?1? n ? 1

……12 分

18.解: (1) f ( x) ? 2cos2 x ? 3sin 2x ? cos 2x ? 1 ? 3sin 2 x ? 2sin(2 x ? 令 2x ?

?
6

) ? 1 ……2 分
……4 分

?
6

? k? , k ? Z ,? x ?

k? ? ? k? ? ? ? , k ? Z ,? 对称中心为 ? ? ,1? k ? Z 2 12 ? 2 12 ? 2 , k ? Z ,? k? ?

令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z
……6 分

? ?? ? ? 增区间: ? k? ? , k? ? ? k ? Z 3 6? ?
·6·

(2) f (C ) ? 2sin ? 2C ?

? ?

??
?

?? ? ? ? 1 ? 3 ,? sin ? 2C ? ? ? 1 , 6? 6? ?
6 ?

Q 0 ? C ? ? ,?

?
6

? 2C ?

? 13? ? ? , ? 2C ? ? ? C ? , 6 6 6 2
2

……8 分 ,

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? a 2 ? b 2 ? 3ab ? ? a ? b ? ? 2ab ? 3ab

Q c ? 1, ab ? 2 3
……12 分



? a ? b ? 2 ? 3 , ab ? 2 3 ,且 a ? b ,?a ? 2, b ? 3

19.解: (1)设 PD ? 1, Q PA ? 2, ?PAD ? 60o ,

? AD2 ? PA2 ? PD2 ? 2PA ? PD cos ?PAD ? 3 ,? AD ? 3 ,? PA2 ? AD2 ? PD2

……2 分

? PD ? AD ,又 Q PD ? 平面 PDA ,平面 PDA I 平面 ABCD ? AD ,平面 PDA ? 平面 ABCD , ? PD ? 平面 ABCD ……6 分 1 ( 2 ) 取 PD 中 点 F , 连 结 AF , EF , Q E 为 PC 的 中 点 , ? EF // CD, 且 EF ? CD, 又 2 1 Q AB // CD, AB ? CD , ? EF // AB, EF ? AB , ? 四 边 形 AFEB 为 平 行 四 边 形 , 2

? AF // BE,? ?PAF 为直线 BE 与 PA 所成的角,


……9 分

PD ? 1,



? PAF





P ?2

1 A 2

,

?

1 4? 1 4 P ? cos , ?PAF ?F ? 4 2? 2?
7 13 . 26

3 ? 14 7 3 3? A ? 2 26 13 2

1 1 ?F

,

3

? 直线 BE 与 PA 所成的角的余弦值为

……12

分 20.证明: (1)连 D1C,长方体中,EC⊥平面 DCC1D1,∴EC⊥DC1 ∵AB=AA1,∴正方形 DCC1D1 中,D1C⊥DC1 又 EC∩D1C=C,∴DC1⊥平面 ECD1 ∵D1E ? 面 ECD1,∴C1D⊥D1E 解: (2)存在点 M 为 A1D1 中点,使得 BM∥平面 AD1E. 证明:∵点 M 为 A1D1 中点,E 为 BC 中点 ∴MD1 BE ∴四边形 BED1M 是平行四边形,∴BM∥D1E 又 BM ? 平面 AD1E,D1E ? 平面 AD1E ∴BM∥平面 AD1E
·7·

……4 分

……8 分

解: (3) (方法一)设点 B 到平面 AD1E 的距离为 h ∵DD1⊥平面 ABCD 由 VB? AD1E ? VD1 ? ABE 知,得 S AD1E ? h ? ∵ S ABE ?

1 3

1 S ABE ? DD1 3

1 1 AB ? BE ? 2 2

Rt△AA1D 中,AA1=1,A1D1=2,∴AD1= 5 Rt△ABE 中,AB=BE=1,∴AE= 2 Rt△D1DE 中, D1D=1,DE= 2 ,∴D1E= 3 ∴AD12=AE2+D1E2,即 AE⊥D1E ∴ S AD1E ?
1 2 6 2

1 6 AE ? D1E ? 2 2

D1 N A1 B1 H
……12 分

C1

∴h ?

6 ? 6

6 ∴点 B 到平面 AD1E 的距离为 . 6
(3) (方法二) 连接 DB 交 AE 于点 O,∵BE

D A O E B

C

1 1 AD,∴OB= OD, 2 2

∴点 B 到平面 AD1E 的距离 h 是点 D 到平面 AD1E 距离的一半. 连接 DE,矩形 ABCD 中,E 是 BC 中点,AB=1,AD=2,∴AE=DE= 2 , ∴DE⊥AE ∵DD1⊥平面 ABCD ,∴DD1⊥AE 又 DE∩DD1=D,∴AE⊥平面 D1DE 作 DH⊥D1E 于 H,∴AE⊥DH 又 AE∩D1E=E,∴DH⊥平面 AD1E, ∴DH 为点 D 到平面 AD1E 的距离,即 h ? Rt△D1DE 中,D1D=1,DE= 2 ,∴DH ?

1 DH 2

6 2 6 ,即 h ? ? 6 3 3

·8·

∴点 B 到平面 AD1E 的距离为 21.解: (1) f
'

6 . 6
x

……12 分

?x ? ? ? 4 ? 2 x ? 2 ? 2?x ? 2??x ? 1? , x ? 0
x

令 f ' ?x? ? 0 ,则 x ? 2 ; 令 f ' ?x? ? 0 ,则 0 ? x ? 2 ; 所以 f ?x ? 的单调递增区间为 ?2,??? ,单调递减区间为 ?0,2? . (2) f ?x?min ? f ?2? ? ?4 ln 2 ? 4 ? 4 ? ?4 ln 2 , ……3 分 ……5 分 ……7 分

? m ? f ?x?m i , n ? m ? ?4 ln 2

(3)函数 y ? f ?x ?的图象上存在垂直于 y 轴的切线,即方程 f ' ?x? ? 0 存在正根,

a 2x 2 ? 2x ? a f ?x ? ? ? 2 x ? 2 ? , x ? 0 ,令 g ?x ? ? 2 x 2 ? 2 x ? a , x x
'

即方程 2 x ? 2 x ? a ? 0
2

(*)存在正根.

? ? 4 ? 8a ? 4?1 ? 2a ?
① 当 ? ? 0 时,即 a ?

1 时,方程(*)无解, 2
……8 分

此时函数 y ? f ?x ? 的图象上不存在垂直于 y 轴的切线; ② 当 ? ? 0 时,即 a ?

1 1 时,方程(*)的解为 x ? ,所以存在一条满足条件的切线;……9 分 2 2 1 ③ 当 ? ? 0 时,即 a ? 时, 2
(i)当 ?

?? ? 0 时,即 a ? 0 时,方程(*)有且只有一个正根, ? g ?0? ? 0 ?? ? 0 1 时,即 0 ? a ? 时,方程(*)有两个不等的正根, 2 ? g ?0? ? 0
……11 分

所以存在一条满足条件的切线; (ii)当 ?

所以存在两条满足条件的切线. 综上: a ?

1 时,不存在满足条件的切线; 2 1 a ? 或 a ? 0 时,存在一条满足条件的切线; 2
·9·

0?a?

1 时,存在两条满足条件的切线. 2

……12 分

22.已知 AB 是半圆 O 的直径,AB=4,点 D 是半圆 C 上一点,过点 D 作半圆 C 的切线 CD,过点 A 作 AD⊥ CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1. (I)求证 AC 平分∠BAD;(II)求 BC 的长. 解(1)连接 OC, 因为 OA=OC,所以∠OAC=∠OCA 因为 CD 为半圆 O 的切线,所以 OC⊥CD, 因为 AD⊥CD,所以 OC∥AD, 所以∠OCA=∠CAD,∠OAC=∠CAD, 所以 AC 平分∠BAD ………………5 分 (2)连接 CE,有(1)知∠OAC=∠CAD,所以 BC=CE. 因 A,B,C,D 四点共圆,故∠ABC=∠CED, 因为 AB 是半圆 O 的直径, 所以∠ACB 是直角, Rt△CDE 相似于 Rt△ACB, DE:CE=CB:AB,BC=2. ………………10 分 23.在平面直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标 方程为 ? ? 2sin ? ,? ? ?0,

? ?? ? 2? ?

(I)求半圆 C 的参数方程; (II)设点 D 在半圆 C 上,半圆 C 在 D 处的切线与直线 l : x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,根据(I)中的参数方程, 确定 D 的坐标. 解 (I)半圆 C 的普通方程为; x ? y ? 2 y ? 0, x ??0,1? ,
2 2

………………2 分

半圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ? ? ? ? ?? ? ? ?? , ? 为参数 ? ? ? 2 2? ? ? y ? 1 ? sin ? . ?

………………5 分

(II)设点 D 对应的参数为 ? ,则点 D 的坐标为 ? cos? ,1 ? sin ? ? 且 ? ? ? ?

? ? ?? , ? 2 2? ?

由(1)可知半圆 C 的圆心是 C(0,1), 因半圆 C 在 D 处的切线与直线 l 垂直,故直线 DC 的斜率与直线 l 的斜率相等,

(1 ? sin ? ) ? 1 3 3 ? ,即 tan ? ? , cos ? 3 3

? ? ? ?? ? ? ?? , ? ,?? ? , ………………8 分 6 ? 2 2?

·10·

所以点 D 的坐标为 ?

? 3 3? ? 2 ,2? ? ? ?

………………10 分

24.(I)已知函数 f ? x ? ? 2x ? t ? t ,若不等式 f ? x ? ? 8 的解集是 x ?5 ? x ? 4 , .求实数 t 的值;

?

?

y2 z2 ? ? 2 求 x ? y ? z 的最大值. (II)已知实数 x, y, z 满足 x ? 4 9
2

解 (I) f ? x ? ? 8即 2x ? t ? 8 ? t, 得8 ? t ? 0, 所以t ? ?8 ,

?8 ? t ? 2 x ? t ? 8 ? t , ?4 ? t ? x ? 4,
由 f ? x ? ? 8 的解集是 x ?5 ? x ? 4 , 得 ?4 ? t ? ?5, t ? 1 (II)由柯西不等式得 ? x ?
2

?

?

……5 分
2

? ?

y2 z2 ? y z? 2 ? ? ? ?1 ? 4 ? 9 ? ? ?1 x ? 2 ? 3 ? ? ? x ? y ? z ? 4 9 ? 2 3? ?

28 ? ? x ? y ? z ? , ?2 7 ? x ? y ? z ? 2 7
2

y z y z y2 z2 x 2 3 2 ? ? 2, 当且仅当 ? ? ? 0 即 x ? ? >0且x ? 4 9 4 9 1 2 3
亦即 x ?

1 4 9 ,y? ,z ? 时( ? x ? y ? z ?max ? 2 7 ) 7 7 7

……10 分

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·11·


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