2016-2017学年高中数学北师大版版选修2-1课时作业:第二章 空间向量与立体几何章末检测A

第二章 空间向量与立体几何(A) (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.以下命题中,不正确的个数为( ) ①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②若 a∥b,则存在唯一的实数 λ ,使 a =λ b;③若 a·b=0,b·c=0,则 a=c;④若 a,b,c 为空间的一个基底,则 a+b,b +c,c+a 构成空间的另一个基底; ⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|. A.2 B.3 C.4 D.5 → → → → 2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B等于( ) A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 3.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y),若 a∥b,则( ) 15 A.x=6,y=15 B.x=3,y= 2 15 C.x=3,y=15 D.x=6,y= 2 → → 4.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与AB,AC 垂直,则向量 a 为( ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1) → → 5.已知 A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则 sin〈AB,CD〉等于( ) 2 2 5 5 A.- B. C. D.- 3 3 3 3 6.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.105° D.75° 7.若两个不同平面 α ,β 的法向量分别为 u=(1,2,-1),v=(-3,-6,3),则( A.α ∥β B.α ⊥β C.α ,β 相交但不垂直 D.以上均不正确 → 8.若两点 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x 的值等于( 8 8 19 A.19 B.- C. D. 7 7 14 9. ) ) 如图所示,在四面体 P—ABC 中,PC⊥平面 ABC,AB=BC=CA=PC,那么二面角 B—AP—C 的余弦值为( ) A. 2 2 B. 3 3 C. 7 7 5 D. 7 ) → → 10.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AB 的中点,则 sin〈DB1,CM〉的值等于( 1 210 A. B. 2 15 C. 2 3 题 答 号 案 1 2 3 4 D. 5 11 15 6 7 8 9 10 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若 a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=______. 12.若三点 A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是________________. 13.如图所示, 1 1 已知正四面体 ABCD 中,AE= AB,CF= CD,则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为________. 4 4 14.平面 α 的法向量为(1,0,-1),平面 β 的法向量为(0,-1,1),则平面 α 与平面 β 所成二面角的大小为________. 15. ? ? π ?? 如图所示,已知二面角 α —l—β 的平面角为 θ ?θ ∈?0, ??,AB⊥BC,BC⊥CD,AB 2 ?? ? ? 在平面 β 内,BC 在 l 上,CD 在平面 α 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(12 分)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,CA1⊥BC1.求证:AB1=CA1. 17.(12 分)已知四边形 ABCD 的顶点分别是 A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1, -3),D(3,-5,3). 求证:四边形 ABCD 是一个梯形. 18.(12 分) 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (1)求证:EF∥平面 ACD1; (2)求异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值. 19.(12 分) 如图所示, 已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形, 且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. 求证:C1C⊥BD. 20.(13 分) 如图, 在空间四边形 OABC 中, OA=8, AB=6, AC=4, BC=5, ∠OAC=45°, ∠OAB=60°, 求 OA 与 BC 所成角的余弦值. 21.(14 分) 如图, 在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E、 F 分别是棱 BC, CC1 上的点, CF=AB=2CE, AB∶AD∶ AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1—ED—F 的正弦值. 第二章 1.C 只有命题④正确.] 2.D 空间向量与立体几何(A) → → → → → → → → → 如图,A1B=AB-AA1=CB-CA-AA1=CB-CA-CC1=b-a-c.] 3=2λ ? ? 3.D ∵a∥b,∴存在实数 λ ,使?x=4λ ? ?y=5λ x=6 ? ? ,∴? 15 y= ? 2 ? .] → 4.C 设 a=(x,y,z),∵AB=(-2,-1,3), → → → AC=(1,-3,2),又|a|= 3,a⊥AB,a⊥AC, x +y +z =3, ? ? ∴?-2x-y+3z=0, ? ?x-3y+2z=0. 2 2 2 x=1, ? ? ∴?y=1, ?

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