2015-2016学年高中数学北师大版选修2-1课件第3章圆锥曲线与方程31第1课时椭圆及其标准方程_图文

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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章 圆锥曲线与方程
第三章 圆锥曲线与方程

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我们知道,用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,截口曲线 是一个圆,如果改变平面与圆锥轴线的夹角,又会得到什么图形 呢?如图,当截面与圆锥轴的夹角不同时,可以得到不同的截口 曲线,它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.我们通常把圆、椭圆、 抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
第三章 圆锥曲线与方程

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实际上,我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹 上运行,太阳系其他行星也是如此,太阳则位于椭圆的一个焦点 上.如果这些行星的运行速度增大到某种程度,它们就会沿抛物 线或双曲线轨迹运行.人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵 照这个原理.相对于一个物体,按万有引力定律受它吸引的另一 物体的运动,不可能有任何其他的轨道了.因而,圆锥曲线在这 种意义上讲,构成了我们宇宙的基本形式.
圆锥曲线具有怎样的几何特征?如何研究圆锥曲线的性质 呢?
第三章 圆锥曲线与方程

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链接生活:
第三章 圆锥曲线与方程

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第三章 3.1 椭圆
第1课时 椭圆及其标准方程
第三章 圆锥曲线与方程

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1 课前自主预习 2 知识要点解读

4 课堂典例讲练 5 易混易错辨析

3 预习效果检测

6

课时作业

第三章 3.1 第1课时

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课前自主预习
第三章 3.1 第1课时

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1 . 平 面 内 与 两 个 定 点 F1 、 F2的 ___距__离__之__和__等__于__定__长____ (_大__于__|F_1_F_2_|)_的__点__的轨迹叫作椭圆.这两个定点F1、F2叫作椭圆 的____焦__点__,两焦点的距离|F1F2|叫作椭圆的__焦__距____.
2.在椭圆定义中,条件2a>|F1F2|不应忽视,若2a<|F1F2|, 则这样的点不存在;若2a=|F1F2|,则动点的轨迹是___线__段___.
第三章 3.1 第1课时

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3.焦点在x轴上的椭圆的标准方程为_ax_22_+__by_22=__1_(_a_>_b_>_0,) 焦 点在y轴上的椭圆的标准方程为_ay_22+__bx_22_=__1_(_a_>_b_>_0,) 其中a与b的
关系为__a_>_B____.
4.椭圆的标准方程中,a、b、c之间的关系是 __a_2_=__b_2+__c_2__.
第三章 3.1 第1课时

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知识要点解读
第三章 3.1 第1课时

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1.对椭圆定义的两点说明 (1)前提: 椭圆定义是解决椭圆问题的常用工具,定义中“平面内” 这一条件不能丢掉,否则动点的轨迹就是空间图形. (2)限制条件: 椭圆中到两定点的距离之和记为2a,只有2a大于两定点间 的距离|F1F2|时,动点的轨迹才是椭圆.在判断一曲线是否为椭 圆时,一定不要忽略此限制条件.
第三章 3.1 第1课时

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2.对椭圆标准方程的三点认识 (1)标准方程的几何特征: 椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上,对称轴是坐 标轴. (2)标准方程的代数特征: 方程右边为1,左边是平方和的形式,并且分母为不相等 的正值,当椭圆的焦点在x轴上时,含x项的分母大;当椭圆的 焦点在y轴时,含y项的分母大,已知椭圆的方程解题时,应特 别注意a>b>0这个条件.
第三章 3.1 第1课时

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3.求椭圆的标准方程的方法. (1)正确判断焦点的位置. (2)设出标准方程后,运用待定系数法求解. ①焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0),焦点 在 y 轴上的椭圆的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0). ②若不能确定焦点的位置,可分两类设出方程或设两种标准 方程的统一形式,统一形式为 mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 或xm2+yn2=1(m>0,n>0,m≠n).
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4.由标准方程判断焦点的位置的方法 看x2、y2的分母大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴 上,即椭圆的焦点在x轴上等价于标准方程中x2项的分母较大; 椭圆的焦点在y轴上等价于标准方程中y2项的分母较大.
第三章 3.1 第1课时

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预习效果检测
第三章 3.1 第1课时

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1.椭圆1x62 +y92=1 上一点 P 到一个焦点的距离为 5,则 P 到 另一个焦点的距离为( )

A.3

B.6

C.4 [答案] A

D.10

[解析] 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a=8,8-5=

3.

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2.椭圆1x424+1y629=1 的焦点坐标是(

)

A.(±5,0)

B.(0,±5)

C.(0,±12)

D.(±12,0)

[答案] B [解析] ∵169>144,∴焦点在y轴上, 又∵c2=a2-b2=169-144=25, ∴c=5,∴焦点坐标为(0,±5).

第三章 3.1 第1课时

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3.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32+y2=1 上,顶点 A 是

椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC

的周长是( )

A.2 3

B.6

C.4 3

D.12

[答案] C

第三章 3.1 第1课时

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[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图),
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| + |BF|) + (|CA| + |CF|) = 2a + 2a =
4A.而 a2=3,∴a= 3,∴4a=4 3,即△ABC 的周长为 4 3.
第三章 3.1 第1课时

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4.若方程ax22-ya2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 a 的取值 范围是________________.
[答案] (-1,0) [解析] 易知?????-a<a0>,a2, 故-1<a<0.
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5.椭圆xm2+y42=1 的焦距是 2,则 m 的值为________________. [答案] 5或3 [解析] 由题意得2c=2,c=1,当焦点为x轴上时,a2=
m,b2=4,c2=m-4=1,∴m=5, 当焦点在y轴上时,a2=4,b2=m,c2=4-m=1, ∴m=3.
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课堂典例讲练
第三章 3.1 第1课时

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椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点坐标分别是(-3,0)、(3,0),椭圆经过点(5,0); (2)两个焦点坐标分别是(0,5)、(0,-5),椭圆上一点P到 两焦点的距离和为26.
第三章 3.1 第1课时

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[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为ax22 +by22=1(a>b>0).
∵2a= ?5+3?2+0+ ?5-3?2+0=10,2c=6. ∴a=5,c=3, ∴b2=a2-c2=52-32=16. ∴所求椭圆的方程为:2x52 +1y62 =1.
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(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以设它的标准方程为:ay22+bx22= 1(a>b>0).
∵2a=26,2c=10,∴a=13,c=5. ∴b2=a2-c2=144. ∴所求椭圆方程为:1y629+1x424=1.
第三章 3.1 第1课时

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[总结反思] 在椭圆的标准方程ax22+by22=1 和ay22+bx22=1 中,一 般规定 a>b>0.如果给出具体的方程可由 x2、y2 的分母的大小确定 焦点所在的坐标轴.x2 的分母大时,焦点在 x 轴上,y2 的分母大 时,焦点在 y 轴上;反过来,如果焦点在 x 轴上,则 x2 的分母为 a2,如果焦点在 y 轴上,则 y2 的分母为 a2.
第三章 3.1 第1课时

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求适合下列条件的椭圆的方程: (1)焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1); (2)焦点在y轴上,与y轴的一个交点为P(0,-10),点P到 离它较近的一个焦点的距离等于2. [分析] 设出椭圆标准方程―→代入已知条件―→确定方 程.
第三章 3.1 第1课时

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[解析] (1)∵椭圆焦点在 x 轴上, ∴设椭圆的标准方程为ax22+by22=1(a>b>0), ∵椭圆经过(2,0)和(0,1),

∴??? a42=1 ??b12=1

??????ba22==14 .

∴所求椭圆的标准方程为x42+y2=1.

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(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上, ∴设它的标准方程为ay22+bx22=1(a>b>0), ∵P(0,-10)在椭圆上,∴a=10, ∵P 到离它较近的一个焦点的距离为 2, ∴-c-(-10)=2, ∴c=8,b2=a2-c2=36, ∴椭圆的标准方程为1y020+3x62 =1.
第三章 3.1 第1课时

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[总结反思] 椭圆的焦点与顶点问题 (1)由标准方程决定的椭圆中,与坐标轴的交点的横坐标 (或纵坐标)实际即为a与b的值. (2)椭圆长轴的端点距焦点最远(a+c)或最近(a-c).
第三章 3.1 第1课时

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与椭圆方程有关的轨迹问题 已 知 圆 A : (x + 3)2 + y2 = 100 , 圆 A 内 一 定 点 B(3,0),圆P过B且与圆A内切,求圆心P的轨迹方程. [分析] 根据两圆内切的特点,得出|PA|+|PB|=10,由于 A点的坐标为(-3,0),B点的坐标为(3,0),所以点P的轨迹方程 是以A、B为焦点的椭圆的标准方程,这就把求点P的轨迹方程 的问题转化成了求a2、b2的问题.
第三章 3.1 第1课时

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[解析] 设圆P的半径为r, 又圆P过点B,∴|PB|=r, 又∵圆P与圆A内切,圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|). ∴点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆. ∴2a=10,2c=|AB|=6, ∴a=5,c=3.∴b2=a2-c2=25-9=16. 即点 P 的轨迹方程为2x52 +1y62 =1.
第三章 3.1 第1课时

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[总结反思] 如果在条件中有两定点,涉及动点到两定点 的距离,可考虑能否运用椭圆定义求解.
利用椭圆的定义求动点的轨迹方程,应先根据动点具有的 条件,验证是否符合椭圆的定义,即动点到两定点距离之和是 否是一常数,且该常数(定值)大于两点的距离,若符合,则动 点的轨迹为椭圆,然后确定椭圆的方程.
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一个动圆与已知圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x- 3)2+y2=81内切,试求这个动圆圆心的轨迹方程.
[解析] 由已知两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1 =1;Q2(3,0),r2=9.设动圆圆心为M(x,y),半径为R,如图所 示,则由题设有|MQ1|=1+R,|MQ2|=9-R,
第三章 3.1 第1课时

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所以|MQ1|+|MQ2|=10>|Q1Q2|=6.由椭圆定义可知 M 在以 Q1,Q2 为焦点的椭圆上,且 a=5,c=3.所以 b2=a2-c2=25-9 =16.故动圆圆心的轨迹方程为2x52 +1y62 =1.
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根据椭圆的标准方程求参数的取值范围

已知方程|mx|-2 1+2-y2m=1 表示焦点在 y 轴上的椭

圆,则 m 的取值范围是( )

A.m<2

B.1<m<2

C.m<-1 或 1<m<2

D.m<-1



3 1<m<2

[解析]

??|m|-1>0, ?2-m>0, ??|m|-1<2-m,

解得

m<-1



3 1<m<2.

[答案] D

[总结反思] 本题考查椭圆的标准方程,要注意到 a>b 这个条件.

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方程|a|x-2 1+a+y2 3=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,求 a 的取值
范围. [解析] ∵|a|x-2 1+a+y2 3=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,

??|a|-1>0 ∴?a+3>0 ②
??|a|-1>a+3 ③

① 解得①②得-3<a<-1 或 a>1.

当 a>1 时,③不成立.当-3<a<-1 时,得 a<-2. 综上可得:a 的取值范围是-3<a<-2.

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最值问题 F1 是x92+y52=1 的左焦点,P 是椭圆上的动点,A(1,1) 为定点,则|PA|+|PF1|的最小值为________________. [答案] 6- 2 [解析] 如图所示,连结 F2A 并延长交椭圆于 P,在椭圆上任
取异于点 P 的一点 P′,连结 P′F1、P′F2、P′A.
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由 三 角 形 任 意 两 边 之 和 大 于 第 三 边 得 |P′F1| + |P′A| + |AF2|>|P′F1|+|P′F2|=|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PA|+|AF2|,
∴|P′F1|+|P′A|>|PF1|+|PA|. 又|PF1|+|PE2|=6. |AF2|= ?2-1?2+?0-1?2= 2. 则|PF1|+|PA|的最小值为 6- 2.
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设 P 为椭圆ax22+by22=1 上任意一点,F1 为它的一个焦点,求|PF1| 的最大值和最小值.
[解析] 设 F2 为椭圆的另一焦点,则由椭圆定义得:|PF1|+ |PF2|=2a,∵||PF1|-|PF2||≤2c,
∴-2c≤|PF1|-|PF2|≤2c, ∴2a-2c≤2|PF1|≤2a+2c,即 a-c≤|PF1|≤a+c
∴|PF1|的最大值为 a+c,最小值为 a-C.
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点,应掌握这一性质.
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易混易错辨析
第三章 3.1 第1课时

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[正解] 若椭圆的焦点在 x 轴上则 a2=25,b2=m2, ∵a2=b2+c2, 25=m2+9,∴m2=16,∵m>0,∴m=4. 若椭圆的焦点在 y 轴上, 则 a2=m2,b2=25, 由 a2=b2+c2, ∴m2=25+9, ∴m2=34,∵m>0,∴m= 34. 综上可得 m=4 或 m= 34.
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[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小,如果x2项的分母大于y2项的分母,则椭 圆的焦点在x轴上;反之,焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定,因此需要进行分类讨论.
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课时作业
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第三章 3.1 第1课时


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