上海市宝山区2014届高三数学上学期期末考试试题(上海宝山一模)沪教版

宝山区 2013 学年第一学期期末高三年级数学学科质量监测试
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意: 1.本试卷包括试题卷和答题纸两部分,答题纸另页,正反面. 2.在本试题卷上答题无效,必须在答题纸上的规定位置按照要求答题. 3.可使用符合规定的计算器答题. 一、填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知复数 数 . ( 是虚数单位)对应的点在二、四象限的角平分线上,则实

2.已知集合 集合是 .





,则图中阴影部分表示的

3.函数

的最小正周期是



4.已知线性方程组的增广矩阵为

,若该线性方程组无解,则



5.若函数

的图像与

的图像关于

对称,则

_______.

1

6.函数

的反函数

,则方程

的解是______.

7.阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 的值为

时,输出 的值为



8.已知

,则实数 的取值范围是



9.若双曲线的渐近线方程为 则双曲线的标准方程为

,它的一个焦点与抛物线 .

的焦点重合,

10.二项式

展开式中的常数项为_________.

11.多瑙河三角洲的一地点 东经 ,设地球半径为

位于北纬 ,则

东经

,大兴安岭地区的一地点

位于北纬 . .

两地之间的球面距离是

12.从正方体的六个面中任意选取 3 个面,其中有 2 个面不相邻的概率为 13.函数 的值域是 .

14.关于函数

给出下列四个命题:

①当

时,

单调递减且没有最值;

②方程

一定有解;
2

③如果方程

有解,则解的个数一定是偶数;

④ 号)

是偶函数且有最小值.则其中真命题是

. (只要写标题

二、选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设 为任意实数,则下列各式正确的是?????????????( (A) (C) (B) (D) )

16.设 和 都是非零实数,则不等式



同时成立的充要条件是??(



(A)

(B)

(C)

(D) )

17.下列关于极限的计算,错误 的是?????????????????( ..

(A)

=

=

(B)



+

+?+

)=

+

+?+

=0+0+?+0=0

(C)



-n)=

=

=

(D)已知



=

3

18.记





,则方程

表示的曲

线只可能是????????????????????( (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线



(D)抛物线

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要步骤. 19.(本题满分 12 分)

如图, 在四棱锥 平面 求异面直线 , 与 与平面

中, 底面

是边长为 的菱形, , 为 的中点.



所成角的大小为

所成角的大小(结果用反三角函数表示) .

20.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 在△ 中, 所对的边分别为 , , .

4

(1)求



(2)若

,求 , , .

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.

给定曲线

.

(1)若曲线

是焦点为

的双曲线,求实数

的值;

(2)当

时,记

是椭圆 ,交 轴于

上的动点,过椭圆长轴的端点 ,求 的值.





为坐

标原点) ,交椭圆于

5

22.(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 6 分.

已知函数



,其中



(1)若函数



图像的一个公共点恰好在 x 轴上,求 的值;

(2)若函数



图像相交于不同的两点 A、B,

为坐标原点,试问:△OAB

的面积 S 有没有最值?如果有,求出最值及所对应的 的值;如果没有,请说明理由. (3)若 和 是方程 . 的两根,且满足 ,证明:当

时,

6

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

若数列

的每一项都不等于零,且对于任意的

,都有

( 为常数) ,

则称数列

为“类等比数列” .

已知数列

满足:

,对于任意的

,都有



(1)求证:数列

是“类等比数列” ;

(2)若

是单调递减数列,求实数 的取值范围;

(3)若

,求数列

的前 项之积取最大值时 的值.

宝山区 2013 学年第一学期期末 高三年级数学监参考答案 2014.1.9 一、填空题

1、

2、



3、

4、2; 5、

6、

7、4

8、 (1,7)

9、

10、

11、

12、

13、

14. ②④

二、选择题 ABCC 三、解答题

7

19、解:连结 所以 由已知, 为

,因为 与平面

平面



所成的角???????????????2 分 ,而 ,所以 , .???4 分

连结 因为 所以 在△

,交 、

于点

,连结 、

, ∥ ,

分别为

的中点,所以 与 ,

(或其补角)为异面直线 中, ,

所成的角.?????6 分 ,????????9 分

(以下由余弦定理,或说明△

是直角三角形求得)





.?????????12 分

所以,异面直线



所成角的大小为

(或另外两个答案) .

8

20、解: (1)由



??2 分

则有

=

???4 分





.?????????????????7 分

(2) 由

推出





,即得

,?????????9 分



(用其它边角关系等同)??????11 分

则有

?????????????????12 分

解得

. ???????????????????14 分

21、解: (1)化简得

???????????????2 分

9

由题意得

,且

?????????????3 分



,所以

解得

,?????????5 分

(舍)????????????????????????6 分

(2) 当

时,曲线

,此时,

????7 分

设直线 OM 方程为





得:



??8 分

??????10 分



,则

方程为:

于是



?11 分



得:

从而

=

????????????????13 分

因此,

??14 分

10

22、解: (1)设函数

图像与 x 轴的交点坐标为( ,0) ,???1 分

又∵点( ,0)也在函数

的图像上,∴





,∴

.???????????????????3 分

(2)依题意, ∵ ∴△= ,函数 与 =

,即

,整理得

,①

图像相交于不同的两点 A、B, .





.???????????????????4 分

设 A(



),B(



),由①得,

.

设点 O 到直线

的距离为 d,则

,????????5 分

.?????????6 分





.?????8 分





,∴当

时,

有最大值

,?????9 分

无最小值.???????????????????10 分

(3)由题意可知

.??????????11 分

,∴

,????????????12 分

∴当

时,

,即

.???????13 分
11



,??14 分



,即



综上可知,

.???????????????16 分

23、解: (1)因为

,所以





所以,数列

是“类等比数列” . ?????????????4 分

(2)由



???????????5 分

所以

?????????????7 分

因为

递减,所以

????????????8 分

[或,对任意的正奇数 n,

成立。]

解得:

.????????????????????10 分

(3)记数列

的前 项之积为





时,

,由

的通项公式可知.

12







时,

, ?????????12 分

又因为

,所以



因而

取最大值时,

????????????????14 分

当 n 为奇数时,令



,所以

,???16 分

因而



,?,





,?

所以



或,由



,所以

,即前 12 之积最大.

因而,当

时,

取最大值.????????????????18 分

13


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