2009度新课标高三下学期数学单元测试1理科

2009—2010 学年度下学期
高三理科数学单元测试(1)
[新课标版]

注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上、考试结束,试题 和答题卡一并收回. 3.第Ⅰ卷每题选出答案后,都必须用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号(ABCD) 涂黑,如需改动,必须先用橡皮擦干净,再改涂其它答案.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)

参考公式: 球的表面积公式:S=4π R2,其中 R 是球的半径. 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率:

Pn(k)=C

k n

pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).

如果事件 A.B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B). 如果事件 A.B 相互独立,那么 P(AB)=P(A)·P(B). 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

? ? 1.设集合 A ? ?x | y ? log(x ? 3)?, B ? x | x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,则 A B ?

()

A. ?

B. ?3, 4?

C. ??2,1?

D. ?4.? ??

2.若复数 z 与 (z ? 2)2 ? 8i 都是纯虚数,则 z2 ? z 所对应的点在

()

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.一个空间几何体的三视图如下,则这个空间几何体的体积是

()

A. 2 ? 4? 3

B. 2 ? 8? 3

C.1? 4? 3

D.10 ? 8?

4.已知流程图如右图所示,该程序运行后,为使输出的 b 值为16 ,则循环体的判断框内①

处应填的是

()

A. 2

B. 3

C. 4

D.16

5.已知 a, b 是夹角为120 的单位向量,则向量 ?a ? b 与 a ? 2b 垂直的充要条件是实数 ? 的

值为
A. 5 4

B. 5 2

C. 3 4

D. 3 2

()

6.设 p : f (x) ? x3 ? 2x2 ? mx ?1在 (??,? ?) 内单调递增,函数 q : g(x) ? x2 ? 4x ? 3m 不

存在零点则 p 是 q 的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

()

7.设函数 f (x) 定义在实数集上,它的图像关于直线 x ?1 对称,且当 x ?1时,

f (x) ? ln x ? x ,则有

()

A. f (1) ? f (3) ? f (2) 323

B. f (2) ? f (3) ? f (1) 323

C. f (2) ? f (1) ? f (3) 332

D. f (3) ? f (2) ? f (1) 233

8.已知函数 f (x) ? sin(?x ? ? )(x ? R,? ? 0) 的最小正周期为? ,为了得到函数 4

g(x) ? cos(?x ? ? ) 的图象,只要将 y ? f (x) 的图象 4

()

A.向左平移 ? 个单位长度 8

B.向右平移 ? 个单位长度 8

C.向左平移 ? 个单位长度 4

D.向右平移 ? 个单位长度 4

9.在椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0) 中, F1, F2 分别是其左右焦点,若

PF1

?2

PF2

,则该椭

圆离心率的取值范围是

()

A.

? ??

1 3

,1???

B.

? ??

1 3

,1???

C.

? ??

0,

1 3

? ??

D.

? ??

0,

1 3

? ??

?x ? y ? 0,

10.若不等式组

??2x ? y ?

? ?

y

?

0,

2,
表示的平面区域是一个四边形,则

a

的取值范围是(



??x ? y ? a

A. a ? 4 3
C.1 ? a ? 4 3

B. 0 ? a ?1 D. 0 ? a ? 1或 a ? 4
3

11.设函数 f (x) ? g(x) ? x ? ln x ,曲线 y ? g(x) 在点 (1, g(1)) 处的切线方程为 y ? 2x ?1,

则曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

()

A. y ? 4x

B. y ? 4x ? 8

C. y ? 2x ? 2

D. y ? ? 1 x ?1 2

12.市内某公共汽车站有10 个候车位(成一排),现有 4 名乘客随便坐在某个座位上候车,

则恰好有 5 个连续空座位的候车方式的种数是

()

A. 240

B. 480

C. 600

D. 720

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案填在题中的横线上。
13.某企业有 3 个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为1: 2 :1,用分 层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产的电子产品中共取100 件作使用

寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均

值分别为 980h ,1020h ,1042h ,则抽取的100 件产品的使用寿命的平均值为

h。

14.已知关于 x 的不等式 ax ?1 ? 0 的解集是 (??, ?1) (1 , ??) .则 a ?



x ?1

2

15.直线 y ? x ? a 与圆 x2 ? y2 ? 4 交于点 A, B ,若 OA OB ? ?2 ( O 为坐标原点),则实

数 a 的值为



16.对正整数 n ,设抛物线 y 2 ? 2(2n ? 1)x ,过 P(2n,0) 任作直线 l 交抛物线于 An , Bn 两点,

则数列

??OA n ? OB

? ??

2(n ? 1)

n

?? ? ??

的前

n

项和公式是



三、解答题:共大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤

17.(本题满分 12 分)已知函数 f (x) ? cos x 1? sin x ? sin x 1? cos x

1? sin x

1? cos x

(1)求

f

?? ?? 4

? ??

的值;

(2)写出函数函数在

? ??

? 2

,

?

? ??

上的单调区间和值域。

18.(本题满分 12 分) 某地区在一年内遭到暴雨袭击的次数用? 表示,椐统计,随机变量?
的概率分布如下:
?0 1 2 3 p 0.1 0.3 2a a (1)求 a 的值和? 的数学期望;
(2)假设第一年和第二年该地区遭到暴雨的次数互不影响,求这两年内该地区共遭到暴
雨袭击 2 次的概率。

19.(本题满分 12 分)如图,沿等腰直角三角形 ABC 的中位线 DE ,将平面 ADE 折起, 使得平面 ADE ?平面 BCDE 得到四棱锥 A? BCDE . (1)求证:平面 ABC ? 平面 ACD ; (2)过 CD 的中点 M 的平面? 与平面 ABC 平行,试求平面? 与四棱锥 A ? BCDE 各 个面的交线所围成多边形的面积与三角形 ABC 的面积之比。 (3)求二面角 A? BE ? D 的余弦值。

? ? 20.(本题满分 12 分)设数列 an 的前 n 项和为 Sn ? 3an ? 3n?1 。

(1)证明:

???an

?1

?

2 3

an

? ? ?

为等比数列;

(2)证明:求数列?an? 的通项公式;

(3)确定

Sn 3n



6n 的大小关系,并加以证明。 2n ?1

21.(本题满分 12 分)设函数 f (x) ? x2 ? 2x ? a ln x 。 (1)若函数 f (x) 是定义域上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)求函数 f (x) 的极值点。

22.(本题满分 14 分)在直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0,? 3) ,(0,3) 的距离之和等
于 4 ,设点 P 的轨迹为 C 。 (1)求曲线 C 的方程;
(2)过点 (0, 3) 作两条互相垂直的直线 l1, l2 分别与曲线 C 交于 A, B 和 CD 。
①以线段 AB 为直径的圆过能否过坐标原点,若能求出此时的 k 值,若不能说明理
由;
②求四边形 ABCD 面积的取值范围。

参考答案

1.【解析】B 集合
A ? (3, ??) , B ? ?x | (x ?1)(x ? 4) ? 0? ? ?x |1? x ? 4? .? A B ? (3, 4) .故选 B.

2.【解析】C 设 z ? bi(b ?R) ,则 (z ? 2)2 ? 8i ? (2 ? bi)2 ? 8i ? 4 ? b2 ? (4b ? 8)i ,由于

该复数为纯虚数,故 4 ? b2 ? 0 且 4b ?8 ? 0 ,解得 b ? ?2 ,故 z2 ? z ? ?4 ? 2i ,z2 ? z
所对应的点在第三象限。

3.【解析】B 这个空间几何体下面部分是一个同一顶点处三棱长分别为 2,1,1 长方体,上面

是两个半径为1的球,故其体积为 2?1?1? 2? 4? ? 2 ? 8? 。

3

3

4.【解析】B a ?1时进入循环,此时 b ? 21 ? 2 ,a ? 2 时再进入循环此时 b ? 22 ? 4, a ? 3 ,

再进入循环此时 b ? 24 ? 16 ,∴ a ? 4 时应跳出循环,∴循环满足的条件为 a ? 3 ,∴

填3。

5.【解析】A 根据已知 a ? b ? 1, a b ? ? 1 ,向量 ?a ? b 与 a ? 2b 垂直的充要条件是 2

(? a

?

b) ? (a

?

2b)

?

?a2

?

(1?

2?)a

b

?

2
2b

?

?

?

1

(1?

2?)

?

2

?

0 ,解得 ?

?

5



2

4

6 .【 解 析 】 B f (x) 在 (??,? ?) 内 单 调 递 增 , 则 f ?(x) 在 (??,? ?) 上 恒 成 立 , 即

3x2

?

4x

?

m

?

0在

(??,?

?)

上恒成立,即

?1

? 16

?12m

?

0

,即

m

?

4 3



g(x)



存在零点,则

?2

? 16

?12m

?

0

,即

m

?

4 3

。故

p

成立

q

不一定成立,

q

成立

p

一定

成立,故 p 是 q 的必要不充分条件。正确选项 B。

7 .【 解 析 】 A 当 x ?1 时 , f ' (x )? 1 ? 1? 0, 故 函 数 f (x) 在 (1, ??) 单 调 递 减 , x

f (1) ? f (2 ? 1) ? f (5) , f (2) ? f (2 ? 2) ? f (4) , 4 ? 3 ? 5 ,

3

3

3

3

3 3 323

故 f (5) ? f ( 3) ? f ( 4) ,即 f (1) ? f ( 3) ? f ( 2) 。正确选项 A。或者根据图象的对

323

323

称性,离 x ?1 距离近的函数值大解决。

8.【解析】C 由题知? ? 2 ,所以

f

(x)

?

sin(2x

?

?) 4

?

cos[? 2

? (2x

?

? )] 4

?

cos(2x

?

?) 4

?

cos ???2(x

?

?)? 4

? 4

? ??

,只要

把这个的 x 变成 x ? ? 即可,即只要把函数 y ? f (x) 的图象向左平移 ? 个单位长度。

4

4

正确选项 C。

9.【解析】B

根据椭圆定义

PF1

?

PF2

? 2a ,将设

PF1

? 2 PF2

代入得

PF2

?

2a ,根 3

据椭圆的几何性质,

PF2

? a ? c ,故 2a 3

? a ? c ,即 a ? 3c ,故 c a

?

1 ,即 e ? 3

1, 3



e

?

1

,故该椭圆离心率的取值范围是

? ??

1 3

,1???



?x ? y ? 0,

10.【解析】C

不等式组

??2x ? y ?

? ?

y

?

0,

2,
,将前三个

??x ? y ? a

不等式所表示的平面区域,三个顶点分别为

(0,

0),

(1,

0),

? ??

2 3

,

2 3

? ??

,第四个不等式

x

?

y

?

a



表示的是斜率为 ?1的直线的下方,如图,只

有当直线 x ? y ? a 和直线 2x ? y ? 2 的交点介于点 A, B 之间时,不等式组所表示的区

域才是四边形,此时1 ? a ? 4 。选 C。 3

11.【解析】A 由已知 g?(1) ? 2 ,而 f ?(x) ? g?(x) ?1? 1 ,所以 f ?(1) ? g?(1) ?1?1 ? 4 , x
即切线斜率为 4 ,又 g(1)? 3,故 f (1) ? g (1)? 1? ln 1? 4,故曲线 y ? f (x) 在点

(1, f (1))处的切线方程为 y ? 4 ? 4(x ?1) ,即 y ? 4x ,故选 A。

12.【解析】B 把四位乘客当作 4 个元素作全排列有 A44 种排法,将一个空位和余下的 4 个空

位作为一个元素插空有 A52 种排法.∴ A44 ·A52 = 480 .
13.【解析】1013 由于是按照分层抽样,故抽取的100 件产品的比例和产量的比例是相同 的,即在第一、二、三分厂抽取的产品数量之比是1: 2 :1,也即在第一、二、三分厂抽
取 的 产 品 数 量 分 别 为 2 5 , 5 0 , 2件5 , 故 这 的 100 件 产 品 的 使 用 寿 命 的 平 均 值

x ? 9 8 0? 2 5 + 1 0?2 0 5 0 + 1?0 3 2? 2 5? 9 8 0 ?1 + 1 0 2 0? ?2 +1 011033h(2 。)1

100

4

14.【解析】 2 由不等式判断可得 a ? 0 且不等式等价于 a(x ?1)(x ? 1 ) ? 0 ,由解集特点 a

可得 a ? 0 且 1 ? 1 ,故 a ? 2 。 a2

15 .【 解 析 】 ? 2 方 法 1 . 设 A( x1 , y1 ) , B (x2 , y2 ,) 将 直 线 方 程 代 入 圆 的 方 程 得

2x2 ? 2ax ? a2 ? 4 ? 0





x1 ?

x,2 ?

a2 ??4a 2

1

,x 2 ? x

OA OB ? x1x2 ? y1y2 ? x1x2 ? (x1 ? a)(x2 ? a) ? 2x1x2 ? a(x1 ? x2) ? a2

? a2 ? 4 ? a2 ? a2 ? a2 ? 4 ? ?2 ,即 a2 ? 2 ,即 a ? ? 2 。

方法 2.OA OB ? ?2 ? 2? 2 cos ?AOB ? ?2 ,即 ?AOB ? 120 ,问题等价于圆心到 直线的距离等于半径的一半,即 a ? 1,故 a ? ? 2 。
2 16.【解析】 ? n(n ?1) 设直线方程为 x ? ty ? 2n ,代入抛物线方程得

y2 ? 2?2n ?1?ty ? 4n?2n ?1? ? 0 ,设 An ? xn1, yn1 ?, B? xn2, yn2 ? ,

? ? 则 OAn ?OBn ? xn1xn2 ? yn1yn2 ? (t2 ?1) yn1yn2 ? 2nt yn1 ? yn2 ? 4n2 ,用韦达定理代
? ? 入得 OAn ?OBn ? ?4n(2n ?1) t2 ?1 ? 4n(2n ?1)t2 ? 4n2 ? ?4n2 ? 4n ,

故 OAn ?OBn 2(n ?1)

?

?2n

,故数列

?? ? ??

OA n ? OB 2(n ? 1)

n

?? ?

的前

n

项和

?n(n

?1)



??

17.【解析】 f (x) ? cos x 1? sin x ? sin x 1? cos x

1? sin x

1? cos x

? cos x

(1? sin x)2 cos2 x

? sin x

(1? cos x)2 sin2 x

? cos x 1? sin x ? sin x 1? cos x . (4 分)

cos x

sin x

(1)当

x

?

? ??

0,

? 2

? ??

时,

f

(x)

?

2 ? sin

x

? cos

x ,故

f

?? ?? 4

? ??

?

2

?

2 。 (6 分)

(2)当

x

?

? ??

? 2

,?

? ??

时,

cos x

? ?cos x,

sin

x

? sin x ,

故 f (x) ? cos x 1? sin x ? sin x 1? cos x ? sin x ? cos x ? 2 sin(x ? ?) , (8 分)

? cos x

sin x

4



x

?

? ??

? 2

,?

? ??



x

?

? 4

?

?? ?? 4

,

3? 4

? ??

,故当

x

?

?? ?? 2

,

3? 4

? ??

是,函数

f

(x)

单调递增,

? 当

x

?

? ??

3? 4

,

?

? ??

时,函数

f (x) 单调递减;函数的值域是

1,

2 ?? 。(12 分)

18.【解析】(1)由概率分布的性质有 0.1? 0.3? 2a ? a ?1,解得 a ? 0.2 , (2 分)

?? 的概率分布为

?0 1 2 3

p 0.1 0.3 0.4 0.2

?E? ? 0? 0.1?1? 0.3 ? 2? 0.4 ? 3? 0.2 ? 1.7。 (6 分) (2)设事件 A 表示”两年内共遭到暴雨袭击 2 次”, 事件 A1 表示”两年内有一个年遭到暴雨袭击 2 次,

另外一年遭到暴雨袭击 0 次”;事件 A2 表示”两年内各自遭到暴雨袭击1次”

则由事件的独立性得

P( A1) ? C21P(? ? 0) ? 2 ? 0.4 ? 0.1 ? 0.08

P( A2 ) ? [P(? ? 1)]2 ? 0.32 ? 0.09

(10 分)

? P( A) ? P( A1) ? P( A2 ) ? 0.08 ? 0.09 ? 0.17

故两年内该地区共遭到暴雨袭击 2 次的概率为 0.17 。(12 分)

19.【解析】(1) AD ? DE ,平面 ADE ?平面 BCDE ,

根据两个平面垂直的性质定理得 AD ? 平面 BCDE ,

所以 AD ? BC ,又 CD ? BC ,根据线面垂直的判定定理 BC ? 平面 ACD ,

BC ? 平面 ABC ,所以平面 ABC ? 平面 ACD 。(4 分)

(2)由于平面? 平面 ABC ,故平面 ACD 与平面? 的交线 MQ AC ,

M 是 CD 的中点,故 Q 是 AD 的中点;同理平面 BCDE 与平面? 的交线 MN BC ,
N 为 BE 的中点;平面 ABE 的交线 NP AB , P 为 AE 的中点,
连接 PQ 即为平面? 与平面 ADE 的交线,
故平面? 与四棱锥 A ? BCDE 各个面的交线所围成多边形是图中的四边形 MNPQ ,
由于 PQ DE, DE MN ,故 PQ MN ,根据(1) BC ? AC ,
由 MN BC, MQ AC ,故 MQ ? MN ,即四边形 MNPQ `是直角梯形。(6 分)
设 CM ? a ,则 MQ ? 2a, MN ? 3a, PQ ? a, BC ? 4a, AC ? 2 2a , 故四边形 MNPQ 的面积是 a ? 3a ? 2a ? 2 2a2 ,
2 三角形 ABC 的面积是 1 ? 4a ? 2 2a ? 4 2a2 ,
2 故平面? 与四棱锥 A? BCDE 各个面
的交线所围成多边形的面积与
三角形 ABC 的面积之比为 2 2a2 ? 1 。(8 分) 4 2a2 2
(3)方法 1. AD ? 平面 BCDE , AD ? BE , 过点 D 做 BE 的垂线交 BE 的延长线于点 G , 连接 AG ,则 BG ? 平面 ADG , 从而 AG ? BG , 所以 ?AGD 即为二面角 A? BE ? D 的平面角。(10 分) 设 DE ? 2 ,则 AD ? 2, DE ? 2 ,则 AG ? 6 ,
故二面角 A? BE ? D 的余弦值等于 2 ? 3 。(12 分) 63
方法 2.建立如图所示的空间直角坐标系,用空间向量法求解。
设 DE ?1,则 E(0,1, 0) , A(0, 0,1) , B(1, 2, 0) , AE ? (0,1, ?1), EB ? (1,1, 0) ,
设 n ? (x, y, z) 为平面 ABE 的法向量,
则 AE n ? 0 且 EB n ? 0 ,
即 y? z ? 0且x? y ? 0,
取 z ? ?1,则 x ? 1, y ? ?1,

即平面 ABE 的一个法向量为 n0 ? (1, ?1, ?1) ,(10 分)

又 m ? (0, 0,1) 为平面 DBE 的一个法向量,

二面角 A? BE ? D 是锐二面角,故其余弦值为 n0 m ? 1 ? 3 。(12 分) n0 m 3 3

20.【解析】(1) Sn ? 3an ? 3n?1 得 Sn?1 ? 3an ? 3n?1 ,

相减得 Sn?1 ? Sn ? 3an?1 ? 3an ? 3n?2 ? 3n?1 ,(2 分)

即 an?1

?

3 2

an

? 3n?1

,故 an?1

?

3 2

an

?

3n?1 。

故数列

???an?1

?

2 3

an

? ? ?

为首项是

9

、公比为

3

的等比数列。(4

分)

(2) an?1

?

3 2

an

?

3n?1



an?1 3n?1

?

1 ? an 2 3n

?

1,

an?1 3n?1

?2

?

1 2

?

? ??

an 3n

?

2

? ??



a1 3

?2

?

3 2

?2

?

?

1 2

,故

an 3n

?

2

?

?

1 2

?

? ??

1 2

n?1
? ??

?

?

? ??

1 2

n
? ? ?



所以 an

?

? ??? 2

?

? ??

1 2

?n ??

? ??? ? 3n

?

2 ? 3n

?

? ??

3 2

?n ??

。(8

分)

(3) Sn

?

? 3 ?2 ?3n
??

?

? ??

3 2

n
?

?

??

? ??

? 3n?1

?

3n?1

?

3?

? ??

3 2

n
? ??

?

3n?1

? ?1 ? ??

? ??

1 2

n
?

?

??

? ??



Sn 3n

?

3

? ?1 ??

?

? ??

1 2

n
? ? ?

? ? ??

,即比较

3

? ?1 ??

?

? ??

1 2

n
? ? ?

? ? ??



6n 2n ?

1

的大小关系,

3

? ?1 ??

?

? ??

1 2

?n ??

? ? ??

?

6n 2n ?1

?

3

? ? ?

2n ?1 2n

?

2n ? 2n ?1??

?

3?

2n ? (2n ?1) (2n ?1)2n



即比较 2n 与 2n ?1的大小。(10 分)

当 n ? 1, 2 时, 2n ? 2n ?1 ,当 n ? 3 时, 2n ? 2n ?1。

方法 1.数学归纳法:当 n ? 3 时, 23 ? 8, 2? 3 ?1 ? 7 , 8 ? 7 结论成立;

设 n ? k(k ? 3) 时结论成立,即 2k ? 2k ?1,则当 n ? k ?1时,

2k?1 ? 2 ? 2k ? 2(2k ?1) ? 2(k ?1) ? 2k ? 2(k ?1) ?1 ,即 n ? k ?1时结论也成立。

根据数学归纳法,对 n ? 3 ,不等式 2n ? 2n ?1成立。(12 分)

方法 2.二项式定理法:

当 n ? 3 时, 2n ? Cn0 ? Cn1 ?

? Cnn?1

? Cnn

?

Cn0

? Cn1

?

C n?1 n

?

2n ?1 。

故当 n

? 1, 2 时,

Sn 3n

?

6n ,当 n ? 3 时, 2n ?1

Sn 3n

?

6n 。(12 分) 2n ?1

21.【解析】(1) f '(x) ? 2x ? 2 ? a ? 2x2 ? 2x ? a ,若函数 f (x) 是定义域上的单调函数,

x

x

则只能 f '(x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,即 2x2 ? 2x ? a ? 0 在 (0, ??) 上恒成立恒成立,

令 g(x) ? x2 ? 2x ? a ,则函数 g(x) 图象的对称轴方程是 x ? 1 ,故只要 ? ? 4 ?8a ? 0 2
恒成立,即只要 a ? 1 。(5 分) 2
(2)有(1)知当 a ? 1 时, f '(x) ? 0 的点是导数不变号的点, 2
故 a ? 1 时,函数无极值点; 2

当a

?

1 2

时,

f

'(x)

?

0

的根是

x1

?

1?

1? 2

2a

,

x2

?

1?

1? 2a , 2

若 a ? 0 , 1? 2a ? 1,此时 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,且在 (0, x2 ) 上 f '(x) ? 0 ,

在 (x2, ??) 上 f '(x) ? 0 ,故函数 f (x) 有唯一的极小值点 x2 ? 1?

1? 2a ;(7 分) 2

当 0 ? a ? 1 时, 0 ? 2

1? 2a ? 1 ,此时 x1 ? 0, x2 ? 0 ,

f ' (x) 在 ?0, x1 ?,? x2, ??? 都大于 0 , f ' (x) 在 (x1, x2 ) 上小于 0 ,

此时 f (x) 有一个极大值点 x1 ? 1?

1? 2

2a

和一个极小值点

x2

?

1?

1? 2a .(11 分) 2

综上可知, a ? 0 时, f (x) 在 ?0, ??? 上有唯一的极小值点 x2 ? 1?

1? 2a ; 2

0?a?1 时 , 2

f (x)

有一个极大值点

1? x1 ?

1? 2a 2

和一个极小值点

x2 ? 1?

1? 2a ; 2

a ? 1 时,函数 f (x) 在 ?0, ??? 上无极值点。(12 分)
2

22.【解析】(1)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0,? 3),(0,3) 为焦点, 长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴 b ? 22 ? ( 3)2 ? 1 ,

故曲线 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1.(4 分) 4

(2)①设直线 l1 : y ? kx ? 3 , A(x1,y1),B(x2,y2 ) ,其坐标满足

? ?

x

2

?

?

y2 4

? 1,

?? y ? kx ? 3.

消去 y 并整理得 (k 2 ? 4)x2 ? 2 3kx ?1 ? 0 ,



x1

?

x2

?

?

2 k2

?3k4,x1x2

?

?

1 k2 ?

4

.(6

分)

以线段 AB 为直径的圆过能否过坐标原点,则 OA ? OB ,即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 .

而 y1y2 ? k2x1x2 ? 3k(x1 ? x2 ) ? 3,

于是

x1x2

?

y1 y2

?

?

1 k2 ?

4

?

k2 k2 ?

4

?

6k 2 k2 ?4

?

3

?

0



化简得 ?4k 2 ? 3 ? 0 ,所以 k ? ? 3 .(8 分) 2
②由①,

AB ?

1? k 2 x1 ? x2 ?

1? k2

(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ?

1? k2

4 k2 ?1 k2 ?4

?

4(k 2 ?1) k2 ?4



将上式中的 k

换为 ?

1 k



CD

?

4(k 2 4k 2

? 1) ?1



由于

AB ? CD,故四边形

ABCD 的面积为 S

?

1 2

AB

CD

?

8(1? k 2 )2 (k 2 ? 4)(4k 2 ?1)

,(10

分)

令 k 2 ?1 ? t ,则

S

?

(t

?

8t 2 3)(4t

?

3)

?

4t 2

8t 2 ? 9t

?9

?

?9

? ??

1 t

?2 ??

8

?

9 ???

1 t

? ??

?

4

?

?9 ???

1 t

?

8 1 2

?2 ??

?

25 4



而 1 ? (0,1) t

,故 4

?

?9 ???

1 t

?

1 2

?2 ??

?

25 4

?

25 4

,故

32 25

?

S

?

2,

当直线 l1 或 l2 的斜率有一个不存在时,另一个斜率为 0 ,

不难验证此时四边形 ABCD 的面积为 2 ,

故四边形

ABCD

面积的取值范围是

? ??

32 25

,

2???



(14 分)


相关文档

2009-2010学年度新课标高三下学期数学单元测试1-理科
2009度新课标高三下学期数学单元测试5理科
2009度新课标高三下学期数学单元测试2理科
2009-2010学年度新课标高三下学期数学单元测试4-理科
2009度新课标高三下学期数学单元测试1文科
2009度新课标高三下学期数学单元测试4文科
2009-2010学年度新课标高二下学期数学单元测试1-文科
2009度新课标高二下学期数学单元测试4理科
2009度新课标高二下学期数学单元测试2理科
2009度新课标高二下学期数学单元测试1文科
电脑版