北京市海淀区2011届高三一模数学(文)试题及答案

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海淀区高三年级第二学期期中练习 数
选择题

学 (文科)
(共 40 分)

2011.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项.
2 1、已知集合 A ? x ? R 0 ? x ? 3 , B ? x ? R x ? 4 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A.

? x x ? ?2 或 2 ? x ? 3?
2 3

B.

?x 2 ? x ? 3?

C.

?x 2 ? x ? 3?

D. R

2. 设 a ? 3 , b ? log 3 2, c ? cos ? ,则
0.5

A. c ? b ? a 3.函数 f ( x ) ?

B. c ? a ? b

C. a ? b ? c

D. b ? c ? a
开始

x ?1 图象的对称中心为 x
B. (0,1) D. (1,1)

A. (0, 0) C. (1,0)

输入x
n ?1 n ? n ?1 x ? 2x ? 1

4. 执行如图所示的程序框图,若输入 x 的值为 2,则输出的 x 值为 A. 25 B.24 C. 23 D.22
n≤ 3


5.从集合 A ? {?1,1, 2} 中随机选取一个数记为 k ,从集合 B ? {?2,1,2} 中随 机选取一个数记为 b ,则直线 y ? kx ? b 不经过第三象限的概率为 A.



2 9

B.

1 3

C.
x

4 9

5 D. 9

输出x 结束

6. 在 同 一 个 坐 标 系 中 画 出 函 数 y ? a , y ? sin ax 的 部 分 图 象 , 其 中

a ? 0且a ? 1 ,则下列所给图象中可能正确的是
y y

1

1 1
2?

O

x

O

1

2?

x

A
y

y

B

1

1 1
2? x 学而优教育 www.peiyouedu.cn

O

O

1

2?

x

C

D

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? x 2 ? ax ? 1, ? 7. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ?ax ? x ? 1, ?
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

x ? 1, x ? 1,

则“ ?2 ? a ? 0 ”是“ f ( x ) 在 R 上单调递增”的 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

8.若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 所截的弦长不小于 2,则 l 与下列曲线一定有公共点的是 A. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1 B. .

x2 ? y2 ? 1 2

C. y ? x 2

D. x 2 ? y 2 ? 1

非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 2 ? __________________. 9. 计算 1? i
10. 为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭 每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分 布直方图(如图所示) , 记甲、 乙、 丙所调查数据的标准差分别为 s1 ,s 2 ,s3 , 则它们的大小关系为 “ ? ”连接)
频率 组距
0.0008

. (用

频率 组距
0.0008

频率 组距
0.0008

0.0006 0.0004 0.0002

0.0006 0.0004
0.0002

0.0006 0.0004 0.0002

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500



O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元

O

1000 1500 2000 2500 3000 3500









11. 如图,在正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,点 P 是上底面 A1B1C1D1 内一动点,则三棱锥 1

P ? ABC 的主视图与左视图的面积的比值为_________.
A1

D1

C1

P
B1

[来源:Zxxk.Com]
左视

D

C

A

主视

B

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12. 已知函数 f ( x) ? xe x ,则 f ' ( x ) =________;函数 f ( x ) 图象在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 _______ 13. 已知向量 a ? ( x,2), b ? (1, y ) ,其中 x, y ? 0 .若 a ?b ? 4 ,则 y ? x 的取值范围为 .

14.如图,线段 AB =8,点 C 在线段 AB 上,且 AC =2, P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋转后重合于点 D .设 CP = x , △ CPD 的面积为 f ( x ) .则 f ( x ) 的定义 域为________; f ( x ) 的最大值为 ________.

D
A
C

P

B

三、 解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,已知 tan B ?

1 1 , tan C ? ,且 2 3

c ? 1 .[来源:Z#xx #k.Com]
(Ⅰ) 求 tan( B ? C ) ; (Ⅱ) 求 a 的值.

16. (本小题共 13 分) 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 2 且 Sn ? Sn?1 ? 2n ( n ? 2 , n ? N* ). [来源: 学科网] ( I )求 Sn ; ( II ) 是否存在等比数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , b2 ? a3,b3 ? a9 ?若存在, 则求出数列 {bn } 的通项 公式;若不存在,则说明理由.

17. (本小题共 13 分) 如 图 : 梯 形 A B C D 正 △ PAB 所 在 平 面 互 相 垂 直 , 其 中 AB // DC , 和

AD ? CD ?

1 AB ,且 O 为 AB 中点. 2

P

( I ) 求证: BC // 平面 POD ;
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A

O

B

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( II ) 求证: AC ? PD .

18. (本小题共 14 分 ) 已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln x (a ? 0, a ? R ) x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值和单调区间; (II) 若在区间 [1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方 程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其 中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点. 求 O 到直线距离的 l 最小值.

20. (本小题共 13 分) 已知每项均是正整数的数列 a1, a2 , a3 ,?, a100 ,其中等于 i 的项有 k i 个 (i ? 1, 2,3?) , 设 b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1,2,3?) , g (m) ? b1 ? b2 ? ?? bm ?100m ( m ? 1, 2,3?). (Ⅰ)设数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10, k5 ? ... ? k100 ? 0 ,求 g (1), g(2), g(3), g(4) ; (II) 若 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最 大的项为 50, 比较 g (m), g (m ? 1) 的大小; (Ⅲ)若 a1 ? a2 ? ? ? a100 ? 200 ,求函数 g (m) 的最小值.[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网]

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[来源:学科网]

海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学(文) 2011.4

答案及评分参考
选择题 (共 40 分)[来源:Zxxk.Com]

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)[来源:Z§xx§k.Com] 题号 答案 1 C 2 A 3 B 非选择题 4 C 5 A (共 110 分) 6 D 7 B 8 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目,第一空 3 分,第二空 2 分) 9. 1 ? i 12. (1 ? x )e x , y ? x 10. s1 > s2 > s3 13. [?4, 2] 11. 1 14. (2, 4), 2 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (共 13 分) 解: (I)因为 tan B ?

1 1 tan B ? tan C …………………3 分 , tan C ? , tan( B ? C ) ? 1 ? tan B tan C 2 3 1 1 ? 2 3 ?1. …………………6 分 代入得到, tan( B ? C ) ? 1 1 1? ? 2 3
…………………7 分 …………………9 分 …………………10 分

(II)因为 A ? 180? ? B ? C 所以 tan A ? tan[180? ? ( B ? C)] ? ? tan( B ? C) ? ?1 又 0? ? A ? 180? ,所以 A ? 135? . 因为 tan C ?

1 ? 0 ,且 0? ? C ? 180? ,所以 sin C ? 10 , 3 10

…………………11 分



a c ? ,得 a ? 5 . sin A sin C

…………………13 分[来

源:学§科§网]

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16. (共 13 分) 解: (I)因为 Sn ? Sn?1 ? 2n ,所以有 Sn ? Sn?1 ? 2n 对 n ? 2 , n ? N* 成立 ………2 分 即 an ? 2n 对 n ? 2 成立,又 a1 ? S1 ? 2 ? 1 , 所以 an ? 2n 对 n ? N* 成立 …………………3 分 所以 an?1 ? an ? 2 对 n ? N* 成立 ,所以 {an } 是等差数列, 所以有 Sn ? (II)存在. 源:Z|xx|k.Com] 由(I) an ? 2n , n ? N* 对成立 , 所以有 a3 ? 6, a9 ? 18 ,又 a1 ? 2 , 所以由 b1 ? a1, b2 ? a3,b3 ? a9 ,则 ………………9 分 …………………4 分 …………………6 分 …………………7 分[来

a1 ? an ? n ? n 2 ? n , n ? N* 2

b2 b3 ? ?3 b1 b2

…………………11 分

所以存在以 b1 ? 2 为首项,公比为 3 的等比数列 {bn } , 其通项公式为 bn ? 2 ? 3
n ?1

.

… … …………13 分

P
17. (共 13 分) 证明: (I) 因为 O 为 AB 中点, 所以 BO ?

1 AB, 2 1 AB , 2

…………………1 分

又 AB / /CD, CD ?

A
…………………2 分

O

B
C

所以有 CD ? BO, CD / / BO, 所以 ODCB 为平行四边形,所以 BC / /OD, 又 DO ? 平面 POD, BC ? 平面 POD, 所以 BC / / 平面 POD . (II)连接 OC .

D

…………………3 分

…………………5 分

P

因为 CD ? BO ? AO, CD / / AO, 所以 ADCO 为 平行四边形, 又 AD ? CD ,所以 ADCO 为菱形,
O

…………………6 分

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A

B
C

D

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所以 AC ? DO , 因为正三角形 PAB , O 为 AB 中点, 所以 PO ? AB ,

…………………7 分

…………………8 分

又因为平面 ABCD ? 平面 PAB ,平面 ABCD ? 平面 PAB ? AB , 所以 PO ? 平面 ABCD , 而 AC ? 平面 ABCD ,所以 PO ? AC ,[来源:Zxxk.Com] 又 PO ? DO ? O ,所以 AC ? 平面 POD . 又 PD ? 平面 POD ,所以 AC ? PD . 源:学科网] 18. (共 14 分) …………………12 分 …………………13 分[来 …………………10 分

1 a ax ? 1 ? ? , x2 x x2 x ?1 当 a ? 1 , f '( x ) ? 2 , x
解: (I)因为 f '( x ) ? ? 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 , 又 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,
f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

…………………2 分

…………………3 分

x
f '( x) f ( x)

(0,1)

1
0 极小值

(1, ??)

?
?

?
?
…………………5 分 …………………6 分

所 以 x ? 1 时, f ( x ) 的极小值为 1 .

f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ??) ,单调递减区间为 (0,1) ;
(II)解法一: 因为 f '( x ) ? ?

1 a ax ? 1 ? ? ,且 a ? 0 , x2 x x2 1 令 f '( x) ? 0 ,得到 x ? , a

若在区间 (0, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立, 其充要条件是 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值小于 0 即可. …………………7 分

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(1)当 x ?

1 ? 0 ,即 a ? 0 时, f '( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 成立, a

所以, f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递减,

1 1 ? a ln e ? ? a , e e 1 1 1 …………………9 分 由 ? a ? 0 ,得 a ? ? ,即 a ? (??, ? ) e e e 1 (2)当 x ? ? 0 ,即 a ? 0 时, a 1 ① 若 e ? ,则 f '( x) ? 0 对 x ? (0, e] 成立,所以 f ( x ) 在区间 (0, e] 上单调递减, a 1 1 所以, f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f ( e) ? ? a ln e ? ? a ? 0 , e e
故 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f ( e) ? 显然, f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值小于 0 不成立 ② 若0 ? …………………11 分

1 1 ? e ,即 a ? 时,则有 a e 1 x (0, ) a

1 a
0
极小值

1 ( , e) a

f '( x)
f ( x)

?
?

?
?
1 , a

所以 f ( x ) 在区间 (0, e] 上的最小值为 f ( ) ? a ? a ln 由 f ( ) ? a ? a ln

1 a

1 a

1 ? a (1 ? ln a ) ? 0 , a
…………………13 分 …………………14 分

得 1 ? ln a ? 0 ,解得 a ? e ,即 a ? (e, ??) . 综上,由(1)(2)可知: a ? ( ??, ? ) ? ( e, ?? ) 符合题意.

1 e

解法二:若在区间 (0, e] 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立, 即 因为 x0 ? 0 , 所以,只需 1 ? ax0 ln x0 ? 0

1 ? a ln x0 ? 0 , x0

…………………7 分

令 g ( x) ? 1 ? ax ln x ,只要 g ( x) ? 1 ? ax ln x 在区间 (0, e] 上的最小值小于 0 即可 因为 g '( x) ? a ln x ? a ? a(ln x ? 1) , 令 g '( x) ? a(ln x ? 1) ? 0 ,得 x ? (1)当 a ? 0 时:
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1 e

…………… ……9 分

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x
g '( x) [ 来
源:学+科+ 网]

1 (0, ) e

1 e

1 ( , e] [ 来 e
源:Zxxk.Com]

?

0

?

g ( x)
1 e

?

极大值

?

[



源:Z*xx*k.Com] 因为 x ? (0, ) 时, g ( x ) ? 1 ? ax ln x ? 0 ,而 g (e) ? 1 ? ae ln e ? 1 ? ae , 只要 1 ? ae ? 0 ,得 a ? ? (2)当 a ? 0 时:

1 1 ,即 a ? (??, ? ) e e

…………………11 分

x [来源:学
#科#网]

1 (0, ) [来源: e
学 + 科 + 网 Z+X+X+K]

1 e
0
极小值

1 ( , e] e

g '( x)

?
?

?
?
1 e 1 e 1 a ? 1? , e e

g ( x)

所以,当 x ? (0, e] 时, g ( x) 极小值即最小值为 g ( ) ? 1 ? a ? ln

a ? 0 , 得 a ? e ,即 a ? (e, ??) . e 1 综上,由(1)(2)可知,有 a ? ( ??, ? ) ? ( e, ?? ) . e
由1 ? 科*网 Z*X*X*K] 19. (共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知, e ?
2

…………………13 分 …………………14 分[来源:学*

a 2 ? b2 1 ? ,所以 3a 2 ? 4b2 , 2 a 4
1 9 ? 2 ?1 , 2 a 4b



…………………1 分 …………………2 分

又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

3 2



故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

…………………5 分

(Ⅱ) 当直线 l 有斜率时,设 y ? kx ? m 时,

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则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4
…………………6 分 [ 来

2 消 去 y 得 , ( 3? 4 2 ) 2 ? 8 mx? 4m ? 1 2 , k x k ? 0

源:Z.xx.k.Com]

? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 , ③…………7 分
设 A、B、 P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则: ( (

x0 ? x1 ? x2 ? ?

8km 6m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? …………8 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ,
2 2 x0 y0 ? ?1 . 4 3

由于点 P 在椭圆 C 上,所以

……… 9 分

16k 2 m2 12m2 从而 ? ? 1 ,化简得 4m2 ? 3 ? 4k 2 ,经检验满足③式. 2 2 2 2 (3 ? 4k ) (3 ? 4 k )
………10 分 又点 O 到直线 l 的距离为:

d?

|m| 1? k2

?

3 2 ?k 1 1 3 4 ? 1? ? 1? ? 2 4(1 ? k ) 4 2 1? k2
当且仅当 k ? 0 时等号成立

………11 分 …………12 分

[来源:学|科|网]

当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上, 从而 P 点为 (?2,0),(2,0) ,直线 l 为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1 ……13 分

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为 20. (共 13 分)

3 2

……14 分

解: (I) 因为数列 k1 ? 40, k2 ? 30, k3 ? 20, k4 ? 10 , 所以 b1 ? 40, b2 ? 70, b3 ? 90, b4 ? 100 ,

100 . 所以 g (1) ? ?60, g(2) ? ?90, g(3) ? ?100, g(4) ? ?
(II) 一方面, g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? 100 ,
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…………………3 分

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根据 b j 的含义知 bm?1 ? 100 , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) , 当且仅当 bm?1 ? 100 时取等号. 因为 a1, a2 , a3 ,?, a100 中最大的项为 50,所以当 m ? 50 时必有 bm ? 100 , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (49) ? g (50) ? g (51) ? ?? 即当 1 ? m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) ; 当 m ? 49 时,有 g (m) ? g (m ? 1) . …………………7 分 (III)设 M 为 ?a1, a2 ,?, a100? 中的最大值. 由(II)可以知道, g ( m) 的最小值为 g ( M ) . 下面计算 g ( M ) 的值. ① …………………5 分

g ( M ) ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bM ? 100M ? (b1 ? 100) ? (b2 ? 100) ? (b3 ? 100) ? ?? (bM ?1 ? 100) ? (?k2 ? k3 ? ? ? kM ) ? (?k3 ? k4 ? ? ? kM ) ? (?k4 ? k5 ? ? ? kM ) ? ? ? (?kM ) ? ?[k2 ? 2k3 ? ? ? (M ?1)kM ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? ? MkM ) ? (k1 ? k2 ? ? ? kM ) ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ) ? bM ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ?? a100 ) ? 100 ,
∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a100 ? 200 , ∴ g ( m) 最小值为 ?100 . ∴ g ( M ) ? ?100 , …………………13 分

说明:其它正确解法按相应步骤给分.

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