北师大版高中数学选修2-2第1章推理与证明全部讲学案


§1.1 归纳推理
序号 课型 1 授课 时间 备课人 班级 李红莉 审核人 姓名 葛伟

新授课

学习 目标 重点 难点

1.通过对已学知识的回顾,进一步体会合情推理这种基本的分析问题法, 认识归纳推理的基本方法与步骤,并把它们用于对问题的发现与解决中去。 2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法,通常归纳的个体数目越多,越具 有代表性, 那么推广的一般性命题也会越可靠, 它是一种发现一般性规律的重 要方法。 了解合情推理的含义,能利用归纳法进行简单的推理。 用归纳进行推理,做出猜想。 自主学习: 复备、笔记、 1.归纳推理定义: ____________________________________ 纠错

____________________________________________________ 称为归纳推理(简称归纳) . 2.归纳推理的特征: 归纳推理是由__________到___________, 由_______________到_______________的推理。 注意:利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。 2.归纳推理的特点: ① 归纳是依据个体的结果推断出整体的一般结论,故所得的 学习 结论超越了前提所包容的范围; 过程 ② 归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的 与方 现象,所以结论具有猜测的性质; 法 ③归纳的前提是个体的情况,所以归纳是以观察、经验或实验 为基础的。 ④利用归纳推理得出的结论不一定正确,欲知真假需证明。 3.归纳推理的一般步骤: ⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。 实验,观察概括,推广猜测一般性结论 说明:归纳推理的思维过程大致如下:

-1-

精讲互动: 例 1. ① 三角形的内角和是

180? ,凸四边形的内角和是 360? ,

凸五边形的内角和是

540?

由此我们猜想:凸边形的内角和是______________________.



2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ?1 ? , ? , ? ,? , 由 此 我 们 猜 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3

想: _________________________. 在以上各例的推理过程中,都有共同之处:根据一类事物中部 分事物具有某种属性, 推断该类事物中每一个事物都有这种属 性。我们将这种推理方式称为归纳推理。归纳推理是有部分到 整体,由个别到一般的推理。 例 2.在一个凸多面体中,试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面 数满足的关系。 。

例 3.如果面积是一定的, 什么样的平面图形周长最小, 试猜测 结论。

-2-

例 4 在数列{an}中,a1=1, an ?1 ? 2an ? 1 ,n∈N*。 (1) 求 a 2 , a3 , a 4 , a5 ; (2)归纳猜想通项公式 an ,这个猜想正确吗?请说明理由.

达标训练: 1.(2013 陕西)观察下列等式

?1 ? 1? ? 2 ?1

; (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ?1? 3 ??



(3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ?1? 3 ? 5

照此规律,第 n 个等式可为____________________________. 2. (2011 陕西)观察下列等式 1=1 ; 2+3+4=9 ; ?? 3+4+5+6+7=25 ; 4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律,第 n 个等式可为____________________________. 3. (2010 陕西)观察下列等式
13 ? 23 ? 32

;

13 ? 23 ? 33 ? 62

;

13 ? 23 ? 33 ? 43 ? 102

??

照此规律,第五个等式可为____________________________.

-3-

1.观察下列不等式: 1 3 1 1 5 , 1? 2 ? 1? 2 ? 2 ? , 2 2 2 3 3

1?

1 1 1 7 , …... ? ? ? 22 32 42 4

照此规律, 第五个不等式为______________________________. 2 观察下列不等式:
a ? b ? 1, a 2 ? b 2 ? 3, a 3 ? b 3 ? 4, a 4 ? b 4 ? 7, a 5 ? b 5 ? 11,......

则 a10 ? b 10 = 课 堂 检 测 A 28

( B 76

) C 123 D 199 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

3.杨辉三角的前 5 行

请试写出第 8 行, 并归纳、 猜想出一般规律。 从上面的等式中。 你能猜想出什么结论?

作业 课本第 7 页习题 1-1 布置 小 结 反 思

第 1、2、3.

-4-

§1.2 类比推理
序号 课型 2 授课 时间 备课人 班级 李红莉 审核人 姓名 葛伟

新授课

学习 目标

重点 难点

1.通过对已学知识的回顾,认识类比推理这一种合情推理的基本 法,并把它用于对问题的发现中去. 2.类比推理是从特殊到特殊的推理, 是寻找事物之间的共同或相似性质, 类比 的性质相似性越多, 相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关, 从而类比 得出的结论就越可靠. 3.正确认识合情推理在数学中的重要作用, 养成从小开始认真观察事物、 分析 问题、 发现事物之间的质的联系的良好个性品质, 善于发现问题, 探求新知识。 认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数学 的正确数学意识. 了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理. 用类比进行推理,做出猜想. 自主学习 复备、 笔记、 1. 类比推理的定义:___________________________________ 纠错 _____________________________________________________ ___________________________________________________.

简言之,类比推理是 的推理. 学习 注意:利用类比推理得出的结论不一定是正确的。 过程 与方 2. 合情推理的定义___________________________________. 3.类比推理的一般步骤: 法 ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出 一个猜想; ⑶ 检验猜想.即

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

-5-

精讲互动: 例 1.试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积 圆的性质 球的性质

圆心与弦(不是直径)的中点 球心与截面圆(不是大圆)的 的连线垂直于弦 圆点的连线垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等;与球心距离相等的两截面圆 与圆心距离不等的两弦不等,相等; 与球心距离不等的两截 距圆心较近的弦较长 面圆不等, 距球心较近的截面 圆较大 圆的切线垂直于过切点的半 球的切面垂直于过切点的半 径; 经过圆心且垂直于切线的 径; 经过球心且垂直于切面的 直线必经过切点 直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直 经过切点且垂直于切面的直 线必经过圆心 线必经过球心 例 2.已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值” ,将空 间与平面进行类比, 空间中什么样的图形可以对应正三角形?在 对应图形中有与上述定理相应的结论吗?

-6-

例 3.根据平面几何的勾股定理,试类比地猜测出空间中相应的 结论。

达标训练: 阅读以下求 1+2+3+??+n 的值的过程,因为
(n ? 1)2 ? n 2 ? 2n ? 1 ; n 2 ? (n ? 1)2 ? 2(n ? 1) ? 1

;

??

22 ?12 ? 2 ?1 ? 1

;

以上各式相加得 (n ? 1)2 ? 1 ? 2(1 ? 2 ? ...... ? n ) ? n 所以 1 ? 2 ? 3 ? ...... ? n ?
n 2 ? 2n ? n n (n ? 1) ? 。 2 2

类比以上过程,求 13 ? 23 ? 33 ? ...... ? n 3 。

-7-

在平面上, 若两个正三角形的边长的比为 1:2, 则它们的面积 比为 1:4,类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1:2 ,则它们的体积比为________________. 课 堂 检 测

作业 课本第 7 页习题 1-1 布置

第 4、5 题

归纳推理

类比推理

定义

由某类事物的部分对象 由两类对象具有某些类似 具有某些特征, 推出该类事物 特征和其中一类对象的某些已 的全部对象都具有这些特征 知特征,推出另一类对象也具 的推理, 或者由个别事实概括 有这些特征的推理 出一般结论的推理 由部分到整体、由个别到 一般的推理 1. 通过观察个别对象发现某 些相同性质; 2. 从已知的相同性质中推出 一个明确的一般性命题 (猜想) 由特殊到特殊的推理 1.找出两类对象之间的相 似性或一致性; 2.用一类对象的性质去推 测另一类对象的性质, 得出一个明确的命题 (猜想)

小 结 反 思

特点 一般 步骤

-8-

§2.1 综合法
序号 课型 3 授课 时间 备课人 班级 李红莉 审核人 姓名 葛伟

新授课

1.理解综合法的思维过程及其特点; 学习 2.掌握运用综合法证明数学问题的一般步骤,能运用综合法证明简单的数学 目标 问题。 重点 理解综合法的思维过程和特点; 难点 运用综合法证(解)题时,找出有效的推理“路线” ; 自主学习 复备、笔记、 1.综合法的定义 纠错 从命题的 出发,利用 、 、 及 的 ,通过 ,一步一步地接近要证明

,直到完成命题的证明,这样的思维方法称为

________________. 2.用综合法证明不等式的逻辑关系是: A?命题的条件或已有的定义、公理、定理等? ? 结论B 学习 ? 结论C ??? 命题的结论D 过程 3.综合法的特点 与方 (1)从“已知”看“可知”. 逐步推向“未知”, 由因导果, 法 逐步推理.实际上是寻找要证结论成立的必要条件.(2)用综合 法证明不等式,要求证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条 理清晰,形式简洁,能够表达推理的思维轨迹. 精讲互动: 例 1. 已知 a,b>0,求证 a (b 2 ? c 2 ) ? b(c 2 ? a 2 ) ? 4abc

-9-

例 2 设 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 1 ,求证:

1 1 1 ? ? ?8 a b ab

例 3.求证: ? 是函数

f ( x) ? sin( 2 x ?

?

) 4 的一个周期。

x?

例 4.已知: x,y,z 为互不相等的实数, 且
2 2 2 证: x y z ? 1.

1 1 1 ? y? ? z? , y z x 求

- 10 -

达标训练:
1. ( 韦 达 定 理 ) 已 知 x1 和 x 2 是 一 元 二 次 方 程

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0, b 2 ? 4ac ? 0) 的 两 个 根 。 求 证 :
b c x1 ? x 2 ? ? , x1 x 2 ? a a


2.设 a, b 是实数,求证:a 2 ? b 2 ?

2 (a ? b ) 2

1 1 1. 已知 a、b 是正数,且 a+b=1,求证:a+b≥4. 课 堂 检 测

- 11 -

2.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 A,B,C 成等差数列, a, b, c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形.

作业 课本第 12 页习题 1-2 第 2、3、4 题 布置 综合法的特点: ①综合法的证题过程是从“已知”看“可知” ,再由“已知(包括上一步 的结果) ”看“可知” ,??,最后推导出“未知”的“由因导果”的过程; ②由于已知条件有不同组合, 每个组合又有不同的中间结果出现, 这些中 间结果不是对解题都有用,因此如何找到有效的推理“路线”是运用综合法的 难点,换言之:运用综合法解题有一定的盲目性。 ③运用综合法解题,步骤严谨,逐层递进,条理清晰,宜于表达,是我们 在解题中的主要的表达方式。

小 结 反 思

- 12 -

§2.2 分析法
序号 课型 4 授课 时间 备课人 班级 李红莉 审核人 姓名 葛伟

新授课

学习 结合已学过的实例, 了解直接证明的方法——分析法, 了解分析法的思考过程 目标 与特点。 理解分析法的思维过程和特点; 重点 运用分析法证(解)题时,规范书写证明过程. 难点 自主学习 1.分析法的定义 从 出发,一步一步地探索保证前一个结论成立 的 为 、 ,直到归结为这个命题的 、 ,或者归结 复备、笔记、 纠错

等,把这样的思维方法称为分析法.

2.分析法的框图表示 学习 3.分析法有何特点 过程 (1)分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”, 与方 执果索因,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找它 法 的充分条件. (2)若命题表示为“若 A 则 D”则用分析法的思考顺序可 表示为:要证 D 成立,只需证明 C 成立;要证 C 成立,只需证 明 B 成立;??,最后得到一个明显成立的条件 A 或定理、公 理等. 4.综合法与分析法有什么区别? 综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找的是 必要条件,是由因索果;而分析法是从待求证的结论出发,逐 步靠拢已知.每步寻找的是充分条件,是执果索因.

- 13 -

精讲互动: 例 1.求证: 8 ? 7 ? 5 ? 10 .

例 2.已知: a, b 是不相等的正数.求证: a3 ? b 3 ? a 2b ? ab 2 .

例 3.求证:函数 f (x ) ? 2x 2 ? 12x ? 16 在区间 (3, ??) 上是增加 的.

- 14 -

达标训练: 1.求证: a ? a ? 1 ? a ? 2 ? a ? 3(其中a ? 3) .

2.证明:表面积相等的球和正方体,球的体积大于正方体的 体积.

求证 3 ? 7 ? 2 5 课 堂 检 测

作业 课本第 12 页习题 1-2 第 1、5、8 题 布置

- 15 -

小 结 反 思

1.用分析法证明不等式 (1)当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法解决,特别是对于条件 简单而结论复杂的题目往往更行之有效. 另外对于恒等式的证明也同样可以运 用. (2)用分析法书写证明过程时,格式要规范,一般为“欲证?,只需证?, 只需证?,由于?显然成立(已知,已证?),所以原结论成立.”其中的关联 词语不能省略 2.分析法的书写格式: 分析法论证“若 A 则 B”这个命题的模式是: 为了证明命题 B 为真, 这只需要证明命题 B1 为真,从而有?? 这只需要证明命题 B2 为真,从而又有?? 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真,故 B 必真

- 16 -

§2.3 综合法与分析法综合应用
序号 课型 5 授课 时间 备课人 班级 李红莉 审核人 姓名 葛伟

新授课

学习 通过综合法和分析法的学习,体会两种方法的相辅相成、辩证统一的关系。 目标 重点 难点 自主学习 1.综合法的定义 从命题的 及 的 ,通过 复备、笔记、 纠错 出发,利用 、 、

,一步一步地接近要证明

,直到完成命题的证明,这样的思维方法称为

________________. 2.用综合法证明不等式的逻辑关系是: A?命题的条件或已有的定义、公理、定理等? ? 结论B 学习 过程 ? 结论C ??? 命题的结论D 与方 法 3.综合法的特点 (1)从“已知”看“可知”. 逐步推向“未知”, 由因导果, 逐步推理.实际上是寻找要证结论成立的必要条件.(2)用综合 法证明不等式,要求证明步骤严谨,逐层递进,步步为营,条 理清晰,形式简洁,能够表达推理的思维轨迹. 4.分析法的定义 从 出发,一步一步地探索保证前一个结论成立 的 为 、 ,直到归结为这个命题的 、 ,或者归结

等,把这样的思维方法称为分析法.

- 17 -

5.分析法的框图表示

6.分析法有何特点 (1)分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”, 执果索因,逐步靠拢“已知”,其逐步推理实际上是要寻找它 的充分条件. (2)若命题表示为“若 A 则 D”则用分析法的思考顺序可 表示为:要证 D 成立,只需证明 C 成立;要证 C 成立,只需证 明 B 成立;??,最后得到一个明显成立的条件 A 或定理、公 理等. 7.综合法与分析法有什么区别与联系? 区别:综合法是从已知条件出发, 逐步推向未知, 每步寻找 的是必要条件, 是由因索果; 而分析法是从待求证的结论出发, 逐步靠拢已知.每步寻找的是充分条件,是执果索因. 联系:解决较为复杂问题的证明,如果单纯利用分析法和 综合法证明比较困难,这时常将两种方法结合起来使用,以达 到证题目的。由已知条件看能得到哪些明显的结论,看待证结 论需要这些结论中的哪些才能获证,常常是“分析找思路,综 合些过程”。 精讲互动: 例 1. 已 知 : a, b , c 都是正实数,且ab ? bc ? ca ? 1 . 求 证 :
a ?b ?c ? 3 .

- 18 -

例 2.如图,已知 BE,CF 分别为 ? ABC 的边 AC,AB 上的高,G 为 EF 的中点,H 为 BC 的中点.求证:HG ? EF.

达标训练:
如图所示,已知四边形 ABCD 为正方形,E,F 是 CD 边上的点,CE= CF=

1 CD, 2

1 1 CD.求证: ?DAE ? ?BAF . 4 2

- 19 -

如图,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E,过 E 作 SC 的垂线,垂足为 F,求证 AF⊥SC

课 堂 检 测

作业 课本第 12 页习题 1-2 第 9 题 布置

小 结 反 思

- 20 -

§3 反证法
序号 课型 学习 目标 重点 难点 6 授课 时间 备课人 班级 葛伟 审核人 姓名 李红莉

新授课

1.结合已经学过的数学实例,了解间接证明的一种基本方法──反证法; 2.了解反证法的思考过程与特点。 学习重点:了解反证法的思考过程与特点。 学习难点:正确理解、运用反证法。 自主学习: 复备、笔记、 反证法:是一种间接证法,它是先提出一个与命题的结论相反 纠错 的假设,然后,从这个假设出发,经过正确的推理, 导致矛盾,从而否定相反的假设,达到肯定原命题正 确的一种方法。 反证法可以分为:归谬反证法(结论的反面只有一种) 穷举反证法(结论的反面不只一种) 用反证法证明一个命题的步骤:

学习 过程 与 方法

(1)反设:___________________________ (2)归谬:___________________________ (3)结论:___________________________ 注意:1:反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握 一些常用的互为否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是; 存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不 等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一 个也没有;至少有 n 个/至多有(n 一 1)个;至多有一个/至少 有两个;唯一/至少有两个。 2:归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的

- 21 -

模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之 木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型:⑴与已知条 件矛盾;⑵与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;⑶与反设 矛盾;⑷自相矛盾。 精讲互动: 例 1、已知 a 是整数,2 能整除 a ,求证:2 能整除 a.
2

例 2、在同一平面内,两条直线 a,b 都和直线 c 垂直。求证: a 与 b 平行。

例 3、求证: 2 是无理数。

例 4、已知 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? 100 ,求证: a1,a 2,a3,a 4 中, 至少有一个数大于 25。

- 22 -

例 5、求证:1,2, 5 不可能是一个等差数列中的三项。

例 6、如图所示,直线 a 平行于平面 α,β 是过直线 a 的平面, 平面 α 与 β 相交于直线 b,求证:直线 a 平行于直线 b。

达标训练: 1、课本 14 页练习 1

2、课本 15 页练习 2

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1、 用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时,反设正确的是( ) ( A ) 假设三内角都不大于 60 度; (B) 假设三内角都大于 60 度; (C) 假设三内角至多有一个大于 60 度; (D) 假设三内角至多有两个大于 60 度。
3 3 2、 用反证法证明命题“如果 a ? b, 那么 a ? b ”时,假设

的内容应为_____________. 3、如果 a ? 1 为无理数,求证 a 是无理数. 课 堂 检 测

4.“过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆”. 讨论如何证 明这个命题?

作业 课本 15 页习题 1-3 第 1、3、5 题 布置 小 结 反 思

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§4 数学归纳法
序号 课型 7 授课 时间 备课人 班级 葛伟 审核人 姓名 李红莉

新授课

学习 目标 重点 难点

1. 使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质. 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤;会用“数学归纳法”证明简单的与自然 数有关的命题. 3. 培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和 创新能力,让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想. 重点:归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析 难点:数学归纳法中递推思想的理解 自主学习: 复备、笔 记、纠错 思考多米诺骨牌游戏的原理 关键:(1) 第一张牌被推倒; (2) 假如某一张牌倒下, 则它的后一张牌必定倒下. 于是, 我们可以下结论: 多米诺骨牌会全部倒下.

总结: 数学归纳法是用来证明____________________的数学命题的 一种方法 学习 基本步骤是: (1)_______________________________________________. 过程 与方 (2)___________________________________________________ 法 ____________________________. 根据(1)(2)可以断定__________________________________. 特别注意: (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数 n 有关的命题。 (2)在用数学归纳法证明中,两个基本步骤缺一不可。

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精讲互动: 例 1:证明:首项为 a1 ,公差为 d 的等差数列 ?a n ?的前 n 项和公式 为: S n ? na1 ?
n?n ? 1?d 2

例 2:已知数列 ?a n ?满足 a n ?1 ? 式并用数学归纳法证明。

1 , a1 ? 0 试猜想 ?a n ? 的通项公 2 ? an

? 例 3: 用数学归纳法证明:1 ? ? ? ? 1 ? n? ?其中? ? ?1, n是正整数?
n

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达标训练: 1.用数学归纳法证明
1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? 1 ? a n ?1 (n ? N * , a ? 1) 在验证 n ? 1 成立时 ,左 1? a
1 ? a ? a2

边所得的项为( ) A.1 B. 1+ a C.

D. 1 ? a ? a 2 ? a 3 ;

2.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除”第 二步的归纳假设应写成( ) A.假设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 正确,再推 n ? 2k ? 3 正确; B.假设 n ? 2k ? 1(k ? N * ) 正确,再推 n ? 2k ? 1 正确; C.假设 n ? k (k ? N * ) 正确,再推 n ? k ? 1 正确; D.假设 n ? k (k ? 1) 正确,再推 n ? k ? 2 正确;

3.用数学归纳法证明:“当 n ? N *时,1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 25 n ?1 是 31 的 倍数”时, n ? 1 时的原式是 是 ; 4.正数数列 ?an ? 中, Sn ? 1 (an ? 1 ) .
2 an

,从 k 到 k ? 1 时需添加的项

⑴ 求 a1、a2、a3 ;⑵ 猜想 an 的表达式并证明;

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1.用数学归纳法证明
12 ? 2 2 ? ? ? (n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 1) 2 ? ? ? 2 2 ? 12 ? n(2n 2 ? 1) 3

时, n=k 的假设到证明 n=k+1 时, 由 等式左边应添加的式子是 ( A. (k ? 1) 2 ? 2k 2 C. (k ? 1) 2 课 堂 检 测 B. (k ? 1) 2 ? k 2



1 D. (k ? 1)[2(k ? 1) 2 ? 1] 3

2.某个命题与正整数 n 有关,如果当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立, 那么可推得当 n ? k ? 1 时命题也成立. 现已知当 n ? 5 时该命题不 成立,那么可推得( ) B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=4 时该命题成立

A.当 n=6 时该命题不成 C.当 n=4 时该命题不成立

3.用数学归纳法证明对 n 为正偶数时某命题成立,若已假设
n ? k (k ? 2 为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证(



A. n ? k ? 1 时等式成立 C. n ? 2k ? 2 时等式成立 作业 习题 1-4 第 1 题 布置

B. n ? k ? 2 时等式成立 D. n ? 2(k ? 2) 时等式成立

小结 反思

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