宝安中学2013-2014上学期期中考试高二文科数学试题

2013-2014 宝安中学高二年级上学期期中考试 数学(文科)
一.选择题: (每小题只有一个选项,每小题 5 分,共计 50 分) 1 1.已知 a > 0 , b > 0 ,则不等式 a ? ? ?b 的解是( ). x 1 1 1 1 ?x?? A ? ?x? B a b a b 1 1 1 1 C ? ? x ? 0 ,或 x ? D x ? ? ,或 x ? b a b a
2.由公差为 d 的等差数列 a1、a2、a3…重新组成的数列 a1+a4, a2+a5, a3+a6…是( A.公差为 d 的等差数列 C.公差为 3d 的等差数列 B.公差为 2d 的等差数列 D.非等差数列 ) )

3. 在△ABC 中, A, C 的对边为 a,b,c, a ? 3 ,b ? 2 ,B ? 45? , 角 B, 若 则角 A= ( A.30° B.30°或 105° C.60° D.60°或 120°

4.已知数列 {a n } 是等比数列,则下列数列: ① {a 2n } ; ② {a n ? a n ?1 } ; ③ {lg a n } ; ) D 4 ) C. (??, ? 1] D. (??, ? 1] ? (0, ? ?) ④ {| a n |}

中仍成等比数列的个数为 ( A 1 B 2 C 3 5.不等式

x ?1 ? 2 的解集为( x
B. [?1, ? ?)

A. [?1, 0)

6.若等差数列 {an } 满足 d ? ?2 , S n 是数列前 n 的和,若 S10 ? S11 则 a1 为 ( ) A 18 B 20 C 22 D 24 )

7.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( A. 90
0

B. 120

0

C. 135

0

D. 150

0

8. 设 an=-n2+10n+11,则数列{an}从首项到第几项的和最大( ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项 D.第 12 项

9.等差数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,公差 d ? 0 ,若存在正整数 m(m ? 1) 使 a m ? S m ,

1

则当 n ? m 时 S n 与 a n 的大小关系为( ) A S n ? an
10 .下面是关于公差 d

B S n ? an

C S n ? an

D 不能确定

? 0 的等差数列 ?an ? 的四个命题:
p2 : 数列?nan ? 是递增数列; p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;
B. p3 , p4 C. p2 , p3 D. p1 , p4

p1 : 数列?an ? 是递增数列;

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为( )A. p1 , p2

二.填空题: (每小题 5 分,共计 20 分)
11.若等比数列的前 n 项和 Sn ? 3n ? a ,则 a ?
2

.

12.若关于 x 的不等式 x ? 4 x ? m 对任意 x ? [0,1] 恒成立,则 实数 m 的取值范围是 13.在△ABC 中,若 a ? b ? bc ? c , 则A ? _________。
2 2 2 * 14.已知数列 {a n } , {bn } 都是公差为 1 的等差数列,且 a1 ?b1 ? 5, a1 , b1 ? N ,设 c n ? a bn ,则数

列 {c n } 的前 10 项和等于

三.解答题
15.(本题满分 12 分)解不等式: | x ? 4 |? x ? 2
2

16. (本题满分 12 分)在 ?ABC 中,若 B ? 60 , 2b ? a ? c ,试判断 ?ABC 的形状
0

17. (本题满分 14 分)关于 x 的不等式 kx ? 6kx ? k ? 8 ? 0 的解集为空集,
2

求实数 k 的取值范围.

2

18. (本题满分 14 分)在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边长,若 a2+c2= 3 +1 a b2+ac 且 = ,求角 C 的大小. c 2

19(本题满分 14 分) .数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 1, a n ?1 ? 求(I) a2 , a3 , a4 的值及数列 {an } 的通项公式; (II) a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n 的值.

1 S n , n=1,2,3…. 3

20. (本题满分 14 分)已知数列 {a n } 的各项为正数,其前 n 项和 S n 满足S n ? ( 设 bn ? 10 ? an (n ? N ) (1)求证:数列 {a n } 是等差数列,并求 {a n } 的通项公式; (2)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 的最大值。 (3)求数列 bn (n ? N ) 的前 n 项和。

an ? 1 2 ) , 2

? ?

2013-2014 宝安中学高二年级上学期期中考试 数学(文科)参考答案
1—10 DBDBA BBCBD 12: m ? ?3 ;13: 120 ;14:85
?

11: ? 1;

?x 2 ? 4 ? x ? 2 ?x 2 ? x ? 6 ? 0 ?? 2 ? x ? 3 ? 15.∵原不等式 ? ? ?? 2 ?? ? x ? ?2或1 ? x ? 3. ? 2 ?x ? 4 ? ? x ? 2 ?x ? x ? 2 ? 0 ? x ? 1或x ? ?2 ? ?
? 原不等式的解集为: x ? ?2或1 ? x ? 3} .---------------12 分 {x

16. 解法 1:由正弦定理得 2sin B ? sin A ? sin C

? B ? 600 ,? A ? C ? 1200 , A ? 1200 ? C 代入上式得

3

2sin 600 ? sin(1200 ? C ) ? sin C 展开整理得

3 1 sin C ? cos C ? 1 2 2

?sin(C ? 300 ) ? 1,? 300 ? C ? 300 ? 2100 ? C ? 300 ? 900 ? C ? 600 , A ? 600 ,故 ?ABC 为正三角形。---------------12 分
解法 2:由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,将 B ? 600 , b ?
2 2 2

(

a?c 2 ) ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos 600 整理得 (a ? c)2 ? 0,? a ? c ,又 B ? 600 2

a?c 代入得 2

故三角形为等边三角形 17. 解:(1)当 k ? 0 时,原不等式化为 8<0,显然符合题意。---------------2 分 (2)当 k ? 0 时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足:

?k ? 0 ? 2 ?? ? (6k ) ? 4 ? k (8 ? k ) ? 0

---------------12 分

解得 0 ? k ? 1 综合(1)(2)得 k 的取值范围为 ?0,1? --------14 分 18.解:由 a2+c2=b2+ac 得 cos B ?
---------------3 分

a 2 ? c2 ? b2 1 ? ? ,? 0 ? B ? ? ? B ? 2ac 2 3

a sin A ? ? c sin C

sin(

2? 3 1 ? C) cos C ? sin C 3 1 1 3 ?1 3 2 ---------------10 分 ? 2 ? ? ? sin C sin C 2 tan C 2 2

? tan C ? 1,0 ? C ? ? ? C ?
19.解: (I)由 a1=1, an ?1 ?

?
4

--------------14 分

1 Sn ,n=1,2,3,……,得 3 1 1 1 1 1 4 1 1 16 , a2 ? S1 ? a1 ? ,a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? ,a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 3 3 3 3 3 9 3 3 27 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( Sn ? Sn ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 n? 2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3
n ?1 n≥ 2
;--------------7 分

? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ?3 ( 3) ?

(II)由(I)可知 a2 , a4 ,? , a2n 是首项为

4 2 1 ,公比为 ( ) 项数为 n 的等比数列,∴ 3 3
4

4 1 ? ( )2 n 1 3 ? 3 [( 4 )2 n ? 1] --------------14 分 a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a2n = ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 3
20. (1) ? a1 ? S1 ? (

a1 ? 1 2 ) ? a1 ? 1 2

------------1 分

1 n ? 1 a n ? S n ? S n?1 ? [( a n ? 1) 2 ? (a n?1 ? 1) 2 ] 4
? (a n ? an?1 )( an ? a n?1 ? 2) ? 0
------------3 分

? a n ? 0 ? a n ? a n?1 ? 2 则数列 {a n } 是等差数列,且 a n ? 2n ? 1 ------------5 分
(2) bn ? 10 ? an ? 11 ? 2n ? b5 ? 11 ? 2 ? 5 ? 1 ? 0, b6 ? 11 ? 12 ? ?1 ? 0 5 ? 9 ? 1? 2 ? 25 n ? 9 ? 11 ? 2n ? ? 10n ? n 2

b1 ? 9, b5 ? 1, bn的前5项和最大,即T5最大,T5 ?

2 当n ? 5时,bn ? 0,? b1 ? b2 ? ? ? bn ? b1 ? b2 ? ? ? b5 ? (b6 ? b7 ? ? ? bn ) ? ?(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2(b1 ? b2 ? ? ? b5 ) ? n 2 ? 10n ? 50 ?10n ? n 2 (n ? 5) ? 综上:1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 2 b ?n ? 10n ? 50 (n ? 5) ?
-----------14 分

? 3?当n ? 5时,bn ? 0,? b1 ? b2

? ? ? bn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

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