湖南省怀化市溆浦县江维中学高中数学课件:1.2.2 函数的表示法(1) (新人教A版必修1)_图文

第1课时

1.2.2 函数的表示法 第 1 课时 函数的表示法
【读一读学习要求,目标更明确】
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1.了解函数的三种表示法的各自优点,掌握用三种不同形式 表示函数; 2.提高在不同情境中用不同形式表示函数的能力.

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【看一看学法指导,学习更灵活】 学习函数的表示形式,不仅是为了研究函数的性质和应 用的需要,而且是为加深对函数概念的理解,让学生感受到 学习函数表示的必要性,能根据不同的需要选择恰当的方法 表示函数,从而提高分析问题与解决问题的能力.

填一填·知识要点、记下疑难点

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函数的三种表示法 (1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系; 数学表达式

图象 (2)图象法——用_________表示两个变量之间的对应关系; 表格 (3)列表法——列出_________来表示两个变量之间的对应关系.

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问题

若已知函数的类型,求函数的解析式通常用什么方 法?这种方法的一般步骤是怎样的?

答 若已知函数的类型,可用待定系数法求解.即由函数 类型设出函数解析式,再根据条件列出方程(或方程组),通 过解方程(组)求出待定的系数,进而求出函数解析式.

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例 1 某种笔记本的单价是 5 元, x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本 买 需要 y 元.试用函数的三种表示法表示函数 y=f(x).
解 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.用解析法可将 函数 y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.
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用列表法可将函数 y=f(x)表示为

笔记本数x

1

2

3

4

5

钱数y

5

10

15

20

25

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用图象法可将函数 y=f(x)表示为下图.

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小结: (1)解析法的优点:概括了变量间的关系,利用解析式可求任 一函数值. (2)图象法的优点: 直观形象地表示出函数值随自变量的变化 趋势,有利于通过图象来研究函数的性质. (3)列表法的优点: 不需计算便可以直接看出自变量对应的函 数值.

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例 2 已知 f(x)是一次函数, 3f(x+1)-f(x)=2x+9, f(x). 且 求



由题意,设函数 f(x)=ax+b(a≠0),

∵3f(x+1)-f(x)=2x+9, ∴3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9,

即 2ax+3a+2b=2x+9,

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?2a=2 ? 由恒等式性质,得? ?3a+2b=9 ?



∴a=1,b=3.

∴所求函数解析式为 f(x)=x+3.

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小结

本题已知函数类型,故可用待定系数法求解.即设出

函数关系式,代入已知条件,建立关于 x 的恒等式求解.

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跟踪训练 已知 f(x)是二次函数,且满足 f(0)=0, f(x+1)-f(x)=2x,求 f(x)的解析式.

解 由题意,设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵f(0)=0,∴c=0,又∵f(x+1)-f(x)=2x,
∴a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=2x,
即 2ax+a+b=2x,

∴a=1,b=-1,从而 f(x)=x2-x.

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例 3 已知 f(x+1)=x2+4x+1,求 f(x)的解析式.
解 设 x+1=t,则 x=t-1,
f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1,即 f(t)=t2+2t-2.
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∴所求函数解析式为 f(x)=x2+2x-2.
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小结

利用换元法、配凑法求函数解析式时要注意新元的 取值范围,即所求函数的定义域.

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跟踪训练 设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表
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达式是( B ) A.2x+1 C.2x-3 B.2x-1 D.2x+7

解析

∵g(x+2)=f(x),f(x)=2x+3,∴g(x+2)=2x+3.

令 t=x+2,则 x=t-2,∴g(t)=2(t-2)+3=2t-1. 即 g(x)=2x-1.

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1.如果二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1 对称,且
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过点(0,0),则此二次函数的解析式可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=(x-1)2+1

)

B.f(x)=-(x-1)2+1 D.f(x)=(x-1)2-1

答案
解析

D
由二次函数的图象开口向上且关于直线 x=1 对称,可

排除 A、B;又图象过点(0,0),可排除 C.D 项符合题意.

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2. 已知函数 f(x), g(x)分别由下表给出: 则满足 f(g(x))=g(f(x)) 的 x 值为________.
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x f(x) x

1 1 1

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2 3 2

3 1 3

4 3 4

g(x)
答案
解析

3

2

3

2

2,4
将 x=1,2,3,4 依次代入方程 f(g(x))=g(f(x))检验, 易得 x=2,4.

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1.如何作函数的图象 一般地,作函数图象主要有三步:列表、描点、连线.作 图象时一般应先确定函数的定义域, 再在定义域内化简函 数解析式,再列表描出图象,画图时要注意一些关键点, 如与坐标轴的交点,端点的虚、实问题等.

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2.如何求函数的解析式
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求函数的解析式的关键是理解对应关系 f 的本质与特点 (对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法,与用 什么字母表示无关),应用适当的方法,注意有的函数要 注明定义域.主要方法有:代入法、待定系数法、换元 法、解方程组法(消元法).


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