【中小学资料】2018版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法(一) 理

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第 7 讲 立体几何中的向量方法(一)

一、选择题 1.直线 l1,l2 相互垂直,则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )
A.s1=(1,1,2),s2=(2,-1,0) B.s1=(0,1,-1),s2=(2,0,0) C.s1=(1,1,1),s2=(2,2,-2) D.s1=(1,-1,1),s2=(-2,2,-2) 解析 两直线垂直,其方向向量垂直,只有选项 B 中的两个向量垂直.

答案 B

2.已知 a=???1,-23,52???,b=???-3,λ ,-125???满足 a∥b,则 λ 等于(

).

A.23

B.92

C.-92

D.-23

解析

由-13=-λ 32=-52125,可知 λ =92.

答案 B

3.平面 α 经过三点 A(-1,0,1),B(1,1,2),C(2,-1,0),则下列向量中与平面 α 的法

向量不垂直的是

( ).

A.???12,-1,-1???
C.(4,2,2)

B.(6,-2,-2) D.(-1,1,4)

解析 设平面 α 的法向量为 n,则 n⊥→AB,n⊥→AC,n⊥B→C,所有与→AB(或A→C、B→C)平行的 向量或可用A→B与A→C线性表示的向量都与 n 垂直,故选 D.

答案 D

4.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面

BED 的距离为

( ).

A.2

B. 3

C. 2

D.1

解析 连接 AC,交 BD 于点 O,连接 EO,过点 O 作 OH⊥AC1 于

点 H,因为 AB=2,所以 AC=2 2,又 CC1=2 2,所以 OH= 2 sin 45°=1.

答案 D 5.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,

λ ),

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若 a,b,c 三向量共面,则实数 λ 等于( ).

62 A. 7

63 B. 7

60 C. 7

解析 由题意得 c=ta+μ b =(2t-μ ,-t+4μ ,3t-2μ ),

65 D. 7

?? 7=2t-μ ∴?5=-t+4μ ,
??λ =3t-2μ

?t=373 ??∴ μ =177 ??λ =675

.

答案 D

6.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且A→M=12M→C1,N 为 B1B 的中点,则|M→N|为

( ).

A. 621a

B. 66a

C. 615a

D. 315a

解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D?xyz, 则 A(a,0,0),C1(0,a,a),N???a,a,a2???.
设 M(x,y,z),

∵点 M 在 AC1 上且→AM=12M→C1,

∴(x-a,y,z)=12(-x,a-y,a-z)

∴x=23a,y=a3,z=a3.

得 M???23a,3a,a3???,

→ ∴|MN|= 答案 A

???a-23a???2+???a-3a???2+???a2-a3???2= 621a.

二、填空题

7.若向量 a=(1,λ ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为89,则 λ =________.

解析

8 a·b 由已知得9=|a||b|=

2-λ 5+λ

+4 2·

, 9

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∴8 5+λ 2=3(6-λ ),解得 λ =-2 或 λ =525.

答案 -2 或525

8.在四面体 PABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,则点 P 到平面 ABC 的距离

为________.

解析 根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系 P-xyz,

则 P(0,0,0),A(a,0,0),B(0,a,0),C(0,0,a).过点 P

作 PH⊥平面 ABC,交平面 ABC 于点 H,则 PH 的长即为点 P 到

平面 ABC 的距离.

∵PA=PB=PC,

∴H 为△ABC 的外心.

又∵△ABC 为正三角形,

∴H 为△ABC 的重心,可得 H 点的坐标为???a3,a3,a3???.

∴PH=

???0-a3???2+???0-a3???2+???0-a3???2= 33a.

∴点 P 到平面 ABC 的距离为 33a.

答案 33a

9.平面 α 的一个法向量 n=(0,1,-1),如果直线 l⊥平面 α ,则直线 l 的单位方向向量 是 s=________. 解析 直线 l 的方向向量平行于平面 α 的法向量,故直线 l 的单位方向向量是 s=

±???0, 22,- 22???.

答案 ±???0, 22,- 22??? 10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动
点,O 为底面正方形 ABCD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中 点,点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP 互相平分,则
→→ 满足MQ=λ MN的实数 λ 的有____________个. 解析 建立如图的坐标系,设正方体的边长为 2,则 P(x,
y,2),O(1,1,0),∴OP 的中点坐标为???x+2 1,y+2 1,1???,

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又知 D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0),而 Q 在 MN 上,∴xQ+yQ=3, ∴x+y=1,即点 P 坐标满足 x+y=1.∴有 2 个符合题意的点 P,即对应有 2 个 λ . 答案 2

三、解答题 11.已知:a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:
a,b,c. 解 因为 a∥b,所以-x2=4y=-11,

解得 x=2,y=-4, 这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1). 又因为 b⊥c, 所以 b·c=0,即-6+8-z=0, 解得 z=2,于是 c=(3,-2,2).

12.如图所示,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 2,AF=1,M 是

线段 EF 的中点. 求证:(1)AM∥平面 BDE; (2)AM⊥平面 BDF.

证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AC∩BD=N,连接 NE.

则 N??? 22, 22,0???,E(0,0,1),

A( 2, 2,0),M??? 22, 22,1???

∴N→E=???- 22,- 22,1???.

→AM=???- 22,- 22,1???.

∴N→E=A→M且 NE 与 AM 不共线.∴NE∥AM.

又∵NE? 平面 BDE,AM?平面 BDE,

∴AM∥平面 BDE.

(2)由(1)知A→M=???-

2 2 ,-

22,1???,

∵D( 2,0,0),F( 2, 2,1),

∴D→F=(0, 2,1)

→→ ∴AM·DF=0,∴AM⊥DF.

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同理 AM⊥BF. 又 DF∩BF=F,∴AM⊥平面 BDF. 13.在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,PD=DC,E、F 分别是 AB、

PB 的中点.

(1)求证:EF⊥CD;

(2)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论.

(1)证明 如图,以 DA、DC、DP 所在直线分别为 x 轴,y 轴、

z 轴建立空间直角坐标系,设 AD=a,则 D(0,0,0)、A(a,0,0)、

B(a,a,0)、C(0,a,0)、E???a,a2,0???、P(0,0,a)、F???a2,a2,a2???.

→EF=???-a2,0,2a???,→DC=(0,a,0).

→→

→→

∵EF·DC=0,∴EF⊥DC,即 EF⊥CD.

(2)解 设 G(x,0,z),则F→G=???x-a2,-a2,z-a2???,

若使 GF⊥平面 PCB,则由

→FG·→CB=???x-a2,-2a,z-a2???·(a,0,0)=a???x-a2???=0,得 x=a2;

由F→G·C→P=???x-a2,-2a,z-a2???·(0,-a,a)

=a22+a???z-a2???=0,

得 z=0.

∴G 点坐标为???a2,0,0???,即 G 点为 AD 的中点.

14.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,

AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E 是 CD 的中点.

(1)证明:CD⊥平面 PAE;

(2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角

相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 解 如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设 PA =h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),
C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0), P(0,0,h).

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(1)易知CD=(-4,2,0),AE=(2,4,0),AP=(0,0,h).

→→

→→

因为CD·AE=-8+8+0=0,CD·AP=0,所以 CD⊥AE,CD⊥AP.而 AP,AE 是平面 PAE

内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE.

(2)由题设和(1)知,C→D·P→A分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向量.而 PB 与平面 PAE 所

成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,所以|cos〈C→D,P→B〉|=|cos〈P→A,P→B〉|,

即????|C→C→DD|··P→|BP→B|????=????|P→P→AA|··P→|BP→B|????.





由(1)知,CD=(-4,2,0),PA=(0,0,-h),

又P→B=(4,0,-h),

故???2 -51×6+106++0h2???=???h×0+01+6+h2h2???.

解得 h=8 5 5.

又梯形 ABCD 的面积为 S=12×(5+3)×4=16,

所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 V=13×S×PA=13×16×8 5 5=12185 5.

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