高中数学人教a版必修1学案:2.1.1指数与指数幂的运算


第二章 基本初等函数(Ⅰ) §2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算
自主学习 1.了解指数函数模型的实际背景,体会引入有理数指数幂的必要性. 2.理解有理数指数幂的含义,知道实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 1.如果______________________,那么 x 叫做 a 的 n 次方根. n 2.式子 a叫做________,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. n 3.(1)n∈N*时,( a)n=________. n n (2)n 为正奇数时, an=________;n 为正偶数时, an=________. 4.分数指数幂的定义: m (1)规定正数的正分数指数幂的意义是:a =__________(a>0,m、n∈N*,且 n>1); n m (2)规定正数的负分数指数幂的意义是:a- =______(a>0,m、n∈N*,且 n>1); n (3)0 的正分数指数幂等于________,0 的负分数指数幂________________. 5.有理数指数幂的运算性质: (1)aras=________(a>0,r、s∈Q);(2)(ar)s=________(a>0,r、s∈Q); (3)(ab)r=________(a>0,b>0,r∈Q). 对点讲练 根式与分数指数幂的互化 【例 1】 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中 a>0)的化简结果: 3 (1)a3· a2; (2) a a; (3) 3 3 1 1 - - a · a 3· ?a 5?- ?a- ?13. 2 2 2

m n 规律方法 此类问题应熟练应用 a = am (a>0,m,n∈N*,且 n>1).当所求根式含 n 有多重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简. 变式迁移 1 将下列根式化成分数指数幂的形式: (1) 1 3 5 x? x2?2 ; (2)( 4 2 2 b- )- (b>0). 3 3

利用幂的运算性质化简、求值 【例 2】 计算(或化简)下列各式: 2 + - (1)4 2 1· 23 2 2· 8- ; 3 1 ? 7?0 4 1 - (2)(0.064)- -?-8? +[(-2)3]- +16 0.75+|-0.01| ; 3 3 2 1 1 a+b-2a · b 2 2 a-b (3) - (a>0,b>0). 1 1 1 1 a +b a -b 2 2 2 2

规律方法 一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化 小数为分数进行运算,便于进行乘、除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.利用 1 乘法公式解决分数指数幂的化简求值问题,是简化运算的常用方法,熟练掌握 a = (a )2 2 13 b b b b (a>0),a=(a ) 以及 ab-a-b=(a +a- )· (a -a- )等变形. 3 2 2 2 2 7 1 4 3 - ?0+80.25× 2+( 2× 3)6- 变式迁移 2 求值:1.5- ×? 3 ? 6?

?-2?2. ? 3?3

灵活应用——整体代入法 1 1 x -y 2 2 【例 3】 已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求 的值. 1 1 x +y 2 2

规律方法 “整体代入”方法在条件求值中非常重要, 也是高中数学的一种重要的解题 思想、解题方法,它反映了我们“把握全局”的能力.解题过程中不宜求出 x、y 后再代入,

而应考虑把 x+y 及 xy 整体代入求值. 3 3 x +x- +2 2 2 1 1 变式迁移 3 已知 x +x- =3,求 的值. -1 2 2 x+x +3

1.理解好方根的概念,是进行根式的计算和化简的关键. 2.将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键. 3.正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用,只是底数的范围缩小为 a>0.(想 一想,为什么?) 课时作业 一、选择题 1.下列根式与分数指数幂互化中正确的是( 1 A.- x=(-x) (x≠0) 2

) 1 3 B.x- =- x(x≠0) 3

4 y3 x 3 1 6 C.( )- = ? ? (xy>0) D. y2=y (y<0) y 4 x 3 1 + + ?2n 1?2×? ?2n 1 2 2.计算 (n∈N*)的结果为( ) - 4n×8 2 1 1 - + A. 4 B.22n 5 C.2n2-2n+6 D.( )2n 7 6 2 3 3.( A.a 4 4 a)· (
6 2

a6)2 等于( B.a2

3

) C.a3

D.a4

5 - 4.把根式-2 ?a-b? 2改写成分数指数幂的形式为( ) 2 5 A.-2(a-b)- B.-2(a-b)- 5 2 2 2 5 5 C.-2(a- -b- ) D.-2(a- -b- ) 5 5 2 2 4 1 ? 1 1 1?2 - a b 的结果是( 5.化简(a b )÷ ) 3 2 ? 3 6 4? A.6a B.-a C.-9a D.9a 二、填空题

2 6.计算:64- 的值是________. 3 3 -x 7.化简 的结果是________. x - x y 8.设 5 =4,5 =2,则 52x y=________. 三、解答题 9.化简求值: 3 (1)( a-1)2+ ?1-a?2+ ?1-a?3; 3 -8 3 15 3 7 -3 - - a ÷ a a ÷ a 3 a 1; 2 1 1 3 - ?-2+256 -3-1+( 2-1)0. (3)(0.027)- -? 3 ? 7? 4 (2) a 3

10.(1)若 2x+2 x=3,求 8x+8 x 的值; 2 2 1 3 a +3 ab+9b a 3 3 3 8 17 (2)已知 a=- ,b= ,求 ÷ 的值. 27 71 4 1 3 3 a -27a b a-3 b 3 3
- -

第二章 基本初等函数(Ⅰ) § 2.1 指数函数 2.1.1 指数与指数幂的运算 答案
自学导引 1.xn=a(n>1,且 n∈N*) 2.根式 3.(1)a (2)a |a| n 4.(1) am 5.(1)ar s 对点讲练


1 (2) (3)0 没有意义 m a n rs (2)a (3)arbr

2 2 11 3 (1)a3· a2=a3· a =a3+ =a . 3 3 3 11 31 3 (2) a a=(a· a ) =(a ) =a . 22 22 4 【例 1】 解

3 3 1 -5 1 1 1 (3)原式=(a · a- ) · [(a )- · (a- )13] 2 23 2 2 2 1 5 13 1 =(a0) · (a · a- ) 3 2 2 2 1 =(a-4) =a-2. 2 1 1 1 变式迁移 1 解 (1)原式= = = 3 3 2 4 3 9 x· ?x ?2 x· x x 5 5 5 1 1 3 = = =x- . 91 3 5 ?x ? x 53 5 2 21 2 2 1 1 - ?=b . (2)原式=[(b- ) ]- =b- × ×? 34 3 3 4 ? 3? 9 2 【例 2】 解 (1)原式=(22) 2+1· 23-2 2· (23)- 3 =22 =22
2+2

· 23-2

2

· 2-2

=23=8. 1 1 (2)原式=[(0.4)3]- -1+(-2)-4+2-3+[(0.1)2] 3 2 1 1 143 1 =(0.4)- -1+ + +0.1= . 16 8 80 1 1 1 1 1 1 ?a +b ??a -b ? ?a -b ?2 2 2 2 2 2 2 (3)原式= - 1 1 1 1 a +b a -b 2 2 2 2 1 1 1 1 =a -b -(a -b )=0. 2 2 2 2 2?2 1 1 3 1 变式迁移 2 解 原式= ×1+2 ×2 +22×33-? 3?3×2 ? 3 4 4 1 ? ? ?2?3 2?1 ?2?1 =? ?3?3+2+108-?3?3=110. 1 1 1 1 x -y ?x -y ?2 2 2 2 2 【例 3】 解 = 1 1 1 1 1 1 x +y ?x +y ??x -y ? 2 2 2 2 2 2 1 ?x+y?-2?xy? 2 = . ① x-y
2+2+3-2 2-2

∵x+y=12,xy=9, ∴(x-y) =(x+y) -4xy
2 2



=122-4×9=108. ∵x<y,∴x-y=-6 3. 将②、③式代入式①得 1 1 1 x -y 12-2×9 2 2 2 3 = =- . 1 1 3 -6 3 x +y 2 2 ③

1 1 变式迁移 3 解 ∵x +x- =3, 2 2 1 12 ∴(x +x- ) =9,即 x+x-1+2=9, 2 2 ∴x+x-1=7,x+x-1+3=10. 3 3 1 1 ∵x +x- =(x )3+(x- )3 2 2 2 2 1 1 1 1 -1 =(x +x- )(x-x · x- +x ) 2 2 2 2 =3×(7-1)=18, 3 3 ∴x +x- +2=20, 2 2 3 3 x +x- +2 2 2 20 ∴ = =2. 1 - 10 x+x +3 课时作业 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 1 6. 16 2 2 1 解析 64- =(26)- =2-4= . 3 3 16 7.- -x 解析 由题意知 x<0, -x3 ∴ =- x 8.8 -x3 =- x2 -x.

解析 52x-y=(5x)2· (5y)-1=42· 2-1=8. 9.解 (1)由题意知,a>1, ∴原式=a-1+(a-1)+1-a=a-1. (2)原式= 3 = a2÷ 3 7 3 a a- ÷ 2 2 8 15 3 3 1 a- a ÷ a- a- 3 3 2 2

7 3 a ÷ a-2 3 2 7 1 -2 1 =a ÷ (a ) ÷ (a ) 3 32 3 2 7 2 =a ÷ a ÷ a- 3 6 3 2 7 2 1 =a - -(- )=a . 3 6 3 6 1 3 1 (3)原式=(0.33)- -(-7-1)-2+(44) - +1 3 4 3 10 1 = -49+64- +1=19. 3 3 10.解 (1)∵8x+8-x=(2x)3+(2-x)3 =(2x+2-x)[(2x)2-2x· 2-x+(2-x)2] =3[(2x+2-x)2-3· 2x· 2-x] =3×(32-3)=18. (2)∵a≠0,a-27b≠0

2 1 1 1 1 1 a +3a b +?3b ?2 a -3b 3 3 3 3 3 3 ∴原式= × 1 1 a ?a-27b? a 3 3 13 13 ?a ? -?3b ? 3 3 2 = =a- 2 3 a ?a-27b? 3 8 2 2 3 9 =(- )- =(- )-2=(- )2= . 27 3 3 2 4


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