3..1..4空间向量的正交分解及其坐标表示

3. 1.4 教学目标

空间向量的正交分解及其坐标表示

1.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量 的坐标运算。 2.会根据向量的坐标判断两个空间向量 平行。 重、难点 1.空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2.坐标判断两个空间向量平行。 教学过程 1.情景创设: 平面向量可用坐标表示,空间向量能用空间直角坐标表示吗? 2.建构数学: 如图:在空间直角坐标系 O ? xyz 中,分别取与 x 轴、y 轴、z 轴 方向相同的单位向量 i, j, k 作为基向量,对于空间任一向量 a ,由空 间 向 量 基 本 定 理 , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 <x , y , z ) , 使
? ? ? ? a ? xi ? y j ? zk

?? ?

?

;有序实数组 <x, y,z)叫做向量 a 的空间直角坐标系

?

? O ? xyz 中的坐标,记作 a =<x,y,z)。hm5a0icBXV

在空间直角坐标系 O - xyz 中,对于空间任意一 点 A<x , y , z),向量 OA 是确定的,容易得到
??? ? ? ? ? OA ? xi ? y j ? zk 。 ??? ?

因此,向量 OA 的坐标为 OA ? <x,y,z)。 这就 是说,当空间向量 a 的起点移至坐标原点时,其终点的坐 标就是向量 a 的坐标。 1 / 5

??? ?

??? ?

类似于平面向量的坐标运算,我们可以得到空间向量坐标运算 的法则。 设 a=< a1 , a2 , a3 ),b=< b1 , b2 , b3 ),则 a+b=< a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ), a-b=< a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ),
? a=< ? a1 , ? a2 , ? a3 ) ? ? R 。

空间向量平行的坐标表示为 a∥b<a≠0) ? b1 ? ? a1 , b2 ? ? a2 , b3 ? ? a3 (? ? R) 。 例题分析: 例 1:已知 a=<1,-3,8),b=<3,10,-4),求 a+b,a -b,3a。 例 2 : 已 知 空 间四 点 A< - 2 , 3 , 1 ) , B<2 , - 5 , 3 ) , C<10 ,0 ,10 ) 和 D<8 , 4, 9),求证:四边形 ABCD 是梯形。
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例 3:求点 A<2,-3,-1)关于 xOy 平面,zOx 平面及原点 O 的对称点。 练习:见学案 小结: 作业:见作业纸

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3.1.4 空间向量的正交分 解及其坐标表示 课前预习学案 预习目标:1、空间向量与有序数组之间的一一对应关系; 2.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。 预习内容: 1、空间直角坐标系: <1)若空间的一个基底的三个基
z

向量互相垂直,且长为 1 ,这个基底叫单位正交基底,
?? ? 用 {i, j, k} 表示;<2)在空间选定一点 O 和一个单位正交
A(x,y,z) k i x O j y

基底 {i, j, k} ,以点 O 为原点,分别以 i, j, k 的方向为正方 向建立三条数轴: x 轴、 y 轴、 z 轴,它 们都 叫 点,向量

?? ?

?? ?

.我们称建立了一个空间直角坐标系 O ? xyz ,点 O 叫原 都叫坐标向量. 叫坐标平面,分别称为

xOy 平面, yOz 平面, zOx 平面;hm5a0icBXV

2 、空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系 O ? xyz 中,对空 间任一点 A , ,使 ,有序实数组 ,

叫作向量 A 在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标,记作
x叫

,y叫

,z叫

.hm5a0icBXV

提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的 表格中 疑惑点 疑惑内容

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课内探究学案 学习目标:1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系; 2.能用坐标表示空间向量,掌握空间向量的坐标运算。 重点难点:空间向量的坐标表示 学习过程: 例 1 :已知 a=<1,-3,8),b=<3,10,-4),求 a+b,a -b,3a。 例 2 : 已 知 空 间四 点 A< - 2 , 3 , 1 ) , B<2 , - 5 , 3 ) , C<10 , 0 , 10 )和 D<8 , 4 , 9 ),求证:四边形 ABCD 是梯形。
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。 当堂检测: 1 求点 A<2,-3,-1)关于 xOy 平面,zOx 平面及原点 O 的对称 点 课后练习与提高: 1.一向量的终点在点 B(2,-1,7>,它在坐标轴上的射影顺次是 4,-4 和 7,则这向量的终点 A 的坐标是< A、(-2,3,0> (0,2,-2> 2.点(1,-3,2>关于点(-1,2,1>的对称点是< A、(-2,7,1> (1,2,5> 4 / 5 B、(-3,7,0> ) D、 B、(-1,3,5> )
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C、(3,-1,2>

D、

C、(1,-7,0>

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