江苏专用2018版高考数学专题复习专题8立体几何与空间向量第50练平行的判定与性质练习理


(江苏专用) 2018 版高考数学专题复习 专题 8 立体几何与空间向量 第 50 练 平行的判定与性质练习 理
训练目标 训练题型 解题策略 口,总结辅助线、辅助面的做法. 1.(2016·徐州模拟)如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD=PC,底面 ABCD 是直角梯形,AB⊥BC, 会应用定理、性质证明直线与平面平行、平面与平面平行. 证明空间几何体中直线与平面平行、平面与平面平行. (1)熟练掌握平行的有关定理、性质;(2)善于用分析法、逆推法寻找解题突破

AB∥CD,CD=2AB,点 M 是 CD 的中点.
(1)求证:AM∥平面 PBC; (2)求证:CD⊥PA.

2.已知两正方形 ABCD 与 ABEF 内的点 M,N 分别在对角线 AC,FB 上,且 AM∶MC=FN∶NB, 沿 AB 折起,使得∠DAF=90°. (1)证明:折叠后 MN∥平面 CBE; (2)若 AM∶MC=2∶3,在线段 AB 上是否存在一点 G,使平面 MGN∥平面 CBE?若存在,试确 定点 G 的位置;若不存在,请说明理由. 3.(2016·辽宁五校协作体上学期期中)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,

O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD,AB= 2,AA1=2.
(1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (3)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

4.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中

1

点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积.

2

答案精析 1.证明 (1)因为在直角梯形 ABCD 中,

AB∥CD,CD=2AB,点 M 是 CD 的中点,
所以 AB∥CM,且 AB=CM, 又 AB⊥BC,所以四边形 ABCM 是矩形, 所以 AM∥BC, 又因为 BC? 平面 PBC,AM?平面 PBC, 故 AM∥平面 PBC. (2)连结 PM,因为 PD=PC,点 M 是 CD 的中点,所以 CD⊥PM, 又因为四边形 ABCM 是矩形,所以 CD⊥AM, 因为 PM? 平面 PAM,AM? 平面 PAM,

PM∩MA=M,
所以 CD⊥平面 PAM. 又因为 PA? 平面 PAM,所以 CD⊥PA. 2. (1)证明 如图,设直线 AN 与直线 BE 交于点 H,连结 CH, 因为△ANF∽△HNB, 所以 =

FN AN . NB NH

又 = , 所以 =

AM FN MC NB

AN AM , NH MC

所以 MN∥CH. 又 MN?平面 CBE,CH? 平面 CBE, 所以 MN∥平面 CBE. (2)解 存在,过 M 作 MG⊥AB 于点 G,连结 GN,则 MG∥BC, 因为 MG?平面 CBE,所以 MG∥平面 CBE, 又 MN∥平面 CBE,MG∩MN=M, 所以平面 MGN∥平面 CBE. 所以点 G 在线段 AB 上,且 AG∶GB=AM∶MC=2∶3. 3.(1)证明 ∵底面 ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC. ∵A1O⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,∴A1O⊥BD.
3

∵A1O∩AC=O,A1O? 平面 A1AC,

AC? 平面 A1AC,
∴BD⊥平面 A1AC. ∵AA1? 平面 A1AC,∴AA1⊥BD. (2)证明 ∵A1B1∥AB,AB∥CD, ∴A1B1∥CD. ∵A1B1=CD, ∴四边形 A1B1CD 是平行四边形, ∴A1D∥B1C,同理 A1B∥D1C, ∵A1B? 平面 A1BD,A1D? 平面 A1BD,CD1? 平面 CD1B1,B1C? 平面 CD1B1, 且 A1B∩A1D=A1,CD1∩B1C=C, ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (3)解 ∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 在正方形 ABCD 中,AB= 2, 可得 AC=2. 在 Rt△A1OA 中,AA1=2,AO=1, ∴A1O= 3, ∴V 三棱柱 ABD-A1B1D1=S△ABD·A1O 1 2 = ×( 2) × 3= 3. 2 ∴三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积为 3. 4.(1)证明 如图,取 BC 的中点 G,连结 AG,EG.

1 因为 E,G 分别是 B1C,BC 的中点,所以 EG∥BB1 且 EG= BB1.在直三棱柱 ABC 2 1 -A1B1C1 中,AA1∥BB1 且 AA1=BB1,而 D 是 AA1 的中点,所以 AD∥BB1,且 AD= 2

BB1.
所以 EG∥AD 且 EG=AD,所以四边形 EGAD 是平行四边形,所以 DE∥AG, 又因为 DE?平面 ABC,AG? 平面 ABC, 所以 DE∥平面 ABC. (2)解 由 AG⊥BC,B1B⊥AG,

BC∩B1B=B,得 AG⊥平面 BCE.
因为 AD∥BB1,AD?平面 BCE,
4

BB1? 平面 BCE,
所以 AD∥平面 BCE, 所以点 D 到平面 BCE 的距离就是点 A 到平面 BCE 的距离 AG 且 AG=4. 1 1 又因为 S△BCE= BC·GE= ×6×3=9, 2 2 1 1 从而 VE-BCD=VD-BCE= S△BCE·AG= ×9×4=12. 3 3

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