2017_2018学年高中数学第三章三角恒等变形章末小结与测评课件北师大版必修4_图文

一、三角恒等变形公式 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1;商数关系:tanα= sin α . cos α (2)应用:①已知角α的一个三角函数值可以知一求二,注意依 求值及恒等式证明中有三个技巧:“1”的代换,sin2α+cos2α=1; 据三角函数值确定角α的终边所在的象限.②在三角函数式的化简、 切化弦;sin α±cos α平方整体代换. 2.和(差)角公式 (1)公式Cα-β,Cα+β的公式特点:同名相乘,符号相反;公式Sα -β,Sα+β的公式特点:异名相乘,符号相同;Tα±β的符号规律为 “分子同,分母反”. (2)和(差)角公式揭示了同名不同角的三角函数的运算规律,公 式成立的条件是相关三角函数有意义,尤其是正切函数. 3.二倍角公式 (1)分别令公式 Cα+β,Sα+β,Tα+β 中的 α=β,即得公式 C2α,S2α,T2α. (2)“二倍”关系是相对的,只要两个角满足比值为 2 即 可. 倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运 算规律. (3)公式变形 升幂公式:cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α,1+cos 2α =2cos2α,1-cos 2α=2sin2α. 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 降幂公式:cos α= ,sin α= . 2 2 4.半角公式 半角公式实际上是二倍角公式的变形, 应用公式求值时 α 要由 所在的象限确定相应三角函数值的符号. 2 二、公式的应用途径 (1)正用公式:从题设条件出发,顺着问题的线索,正用三角 公式,通过对信息的感知、加工、转换,运用已知条件进行推算逐 步达到目的. (2)逆用公式:逆向转换、逆用公式,换个角度思考问题,逆 向思维的运用往往会使解题思路茅塞顿开. (3)变形应用公式:思考问题时因势利导、融会贯通、灵活应 用变形结论.如 ①1-sin2α=cos2α,1-cos2α=sin2α; ②tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β), tan α+tan β 1-tan αtan β= ; tan?α+β? 1 sin 2α ③sin αcos α=2sin 2α,cos α=2sin α; 1-cos 2α 1+cos 2α 2 2 ④sin α= ,cos α= ; 2 2 ⑤2tan α=tan 2α(1-tan2α)等. 三、常见的三角恒等变形 (1)应用公式进行三角函数式的求值,包括给角求值和给值求 值和给值求角三种类型. (2)应用公式进行三角函数式的化简. (3)应用公式进行三角函数式的证明. 注意的问题 注意的问题 (1)“1”的代换 π 4 在使用公式进行三角恒等变换的过程中,“1”的代换技巧往 往使得变换过程“柳暗花明”.例如,1=sin2α+cos2α,1= tan ,1=cos2α+2sin2α,1=2cos2α-cos2α等. (2)辅助角公式 辅助角公式几乎高考必考,即 asin α+bcos α b 2 2 = a +b sin(α +φ)(tan φ=a). π 常见的有以下几个:sin α± cos α= 2sin(α± ), 4 π π 3sin α± cos α=2sin(α± ),sin α± 3cos α=2sin(α± ). 6 3 四、三角恒等变形技巧 常用的技巧有:从“角”入手,即角的变化;从 “名”入手,即函数名称的变化;从“幂”入手,即升 降幂的变化;从“形”入手,即函数式结构的变化. π 4 π 典例 1:(江苏高考)设 α 为锐角,若 cos(α+ )= ,则 sin(2α+ )的值为 6 5 12 ________. π 4 [解析] 因为 α 为锐角,cos(α+6)=5, π 3 π 24 π 7 所以 sin(α+6)=5,sin2(α+6)=25,cos2(α+6)=25, 所以 ? ? ? π? π? π? ? ? ? ? ? sin?2α+12?=sin?2?α+6?-4? ?= ? ? ? ? ? ? 2 17 17 2 2 ×25= 50 . [答案] 17 2 50 [借题发挥] 1.当已知条件中的角与所求角不同时, 需要通过“拆”“配”等方法实现角的 转化,一般是寻求它们的和、差、倍、半关系,再通过三角变换得出所要求 的结果. 2.常见的角的变换有:α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),2α-β=α α+β α-β 3π π π π π +(α-β),β= 2 - 2 ,( 4 +β)-(4-α)=2+(α+β),(α+4)+(β-4)=α +β,只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察,往往会发现角与 角之间的关系,从而简化解题过程. 1.已知 ?π ? ?π ? ? ? ? sin? -α?sin? +α? ?= ?4 ? ?4 ? π? 2? ? ? ?0<α< ?,求 sin 2α 的值. 2? 6? ?π ?π ?? ?π ? ?π ? ? ? ?? ? ? ? 解:∵sin?4-α?=sin?2-?4+α??=cos?4+α? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ 2 π π π π =sin -αsin +α=sin +αcos +α 6 4 4 4 4 ? 1 ? 1 ?π ? =2sin?2+2α?=2cos 2α, ? ? ∴cos 2α= 2 π 7 .∵0<α< ,∴0<2α<π,∴sin 2α= . 3 2 3 典例 2 :已知 tan α = 4 3 , cos(α + β ) =- 0°<β <90°,求 β . 11 ,0°<α <90°, 14 [解] sin α ∵0° <α<90° ,且 tan α=cos α=4 3,sin2α+cos2α=1, 1 4 3 ∴cos α=7,sin α= 7

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