江苏省东台市2017_2018学年高二数学11月月考试题文

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江苏省东台市 2017-2018 学年高二数学 11 月月考试题 文

一、填空题题 5 分共 70 分

1.命题“? x∈R,x2﹣x+1<0”的否定是



2.椭圆 + =1 的一个焦点为(0,1)则 m=



3.双曲线

的离心率为



4.准线方程 x=﹣1 的抛物线的标准方程为



5.以双曲线

=1 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为



6.在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点的距离为 3,则点 P 的横坐

标是



7.已知抛物线方程为

,则其准线方程为



8.已知函数 f(x)=

,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(0)的值为



9.函数 f(x)=x3﹣(a﹣1)x2+(a﹣3)x 的导函数 f'(x)是偶函数,则实数 a=



10.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=1,且对任意 x∈R,都有

,则不等式

的解集为



11.若函数 f(x)=ln(ax2+x)在区间(0,1)上单调递增,则实数 a 的取值范围为



12.若函数 f(x)=(x2﹣ax+a+1)ex(a∈N)在区间(1,3)只有 1 个极值点,则曲线 f(x)

在点(0,f(0))处切线的方程为



13.已知函数 f(x)=x2﹣2ex+t﹣1﹣ ,其中 e=2.71828…若 y=f(x)有两个相异的零点,

则 t 的取值范围为 14.设

. ,当 x∈(0,1)时取得极大值,当 x∈(1,2)时取得

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极小值,则 的取值范围为



二、解答题 15.(14 分)已知函数 f(x)=x3+x﹣16.
(1)求满足斜率为 4 的曲线的切线方程; (2)直线 l 为曲线 y=f(x)的切线,且经过原点,求直线 l 的方程.

16.(14 分)某河上有座抛物线形拱桥,当水面距顶 5m 时,水面宽为 8m,一木船宽 4m 高 2m, 载货后木船露在水面上的部分高为 m,问水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?

17.(14 分)已知函数 f(x)= +x 在 x=1 处的切线方程为 2x﹣y+b=0. (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)+ x2﹣kx,且 g(x)是其定义域上的增函数,求实数 k 的取值 范围.

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18.(16 分)如图所示,矩形 ABCD 为本市沿海的一块滩涂湿地,其中阴影区域有丹顶鹤活动, 曲线 AC 是以 AD 所在直线为对称轴的抛物线的一部分,其中 AB=1km,BC=2km,现准备开发一 个面积为 0.6km2 的湿地公园,要求不能破坏丹顶鹤活动区域.问:能否在 AB 边上取点 E、在 BC 边上取点 F,使得△BEF 区域满足该项目的用地要求?若能,请给出点 E、F 的选址方案; 若不能,请说明理由.
19.(16 分)设函数 f(x)=lnx﹣ ax2﹣bx. (1)若 x=1 是 f(x)的极大值点,求 a 的取值范围. (2)当 a=0,b=﹣1 时,函数 F(x)=f(x)﹣λ x2 有唯一零点,求正数 λ 的值.
20.(16 分)已知函数 f(x)=2lnx﹣3x2﹣11x. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≤(a﹣3)x2+(2a﹣13)x+1 恒成立,求整数 a 的最小值.
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2017-2018 学年度第一学期

2016 级数学(文科)11 月份检测试卷参考答案

一:填空题

1. ? x∈R,x2﹣x+1≥0 2. 3 3.

4. y2=4x 5.y2=16x

6. 2 7。y=1 8. 2 9. 1

10. (﹣1,1) 11. a≥﹣ .

12. x﹣y+6=0 13.

14. (﹣∞,﹣3)∪(2,+∞).

二:解答题

15:解:(1)设切点坐标为(x0,y0), 函数 f(x)=x3+x﹣16 的导数为 f′(x)=3x2+1,

由已知得 f′(x0)=k 切=4,即

,解得 x0=1 或﹣1,

切点为(1,﹣14)时,切线方程为:y+14=4(x﹣1),即 4x﹣y﹣18=0;

切点为(﹣1,﹣18)时,切线方程为:y+18=4(x+1),即 4x﹣y﹣14=0;…(7 分)

(2)设切点坐标为(x0,y0),

由已知得 f'(x0)=k 切=

,且



切线方程为:y﹣y0=k(x﹣x0),





将(0,0)代入得 x0=﹣2,y0=﹣26, 求得切线方程为:y+26=13(x+2),即 13x﹣y=0.…(14 分) 16:解:如图所示建立直角坐标系 xOy,设抛物线方程为 x2=﹣2py(p>0),过点(4,﹣5), ∴16=﹣2p(﹣5),∴2p= ,

∴抛物线方程为 x2=﹣ y,x=2 时,y=﹣ , ∴相距为 + =2 时不能通行.…(14 分)

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17:解:(Ⅰ)∵f(x)= +x,

∴f′(x)= +1, ∵f(x)在 x=1 处的切线方程为 2x﹣y+b=0, ∴ +1=2,2﹣1+b=0, ∴a=1,b=﹣1; (Ⅱ)f(x)=lnx+x,g(x)= x2﹣kx+lnx+x,

∴g′(x)=x﹣k+ +1, ∵g(x)在其定义域(0,+∞)上是增函数, ∴g′(x)≥0 在其定义域上恒成立, ∴x﹣k+ +1≥0 在其定义域上恒成立,

∴k≤x+ +1 在其定义域上恒成立,

而 x+ +1≥2

+1=3,当且仅当 x=1 时“=”成立,

∴k≤3.

18:解:△BEF 区域满足该项目的用地要求等价于△BEF 面积的最大值不小于 0.6 km2, 以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, 建立如图所示平面直角坐标系, 则 A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2), 设曲线 AC 所在的抛物线的方程为 x2=2py(p>0), 代入点 C(1,2)得 p= ,
得曲线 AC 的方程为 y=2x2(0≤x≤1), 欲使得△BEF 的面积最大,必有 EF 与抛物线弧 AC 相切, 设切点为 P(t,2t2),0≤t≤1, 由 y=2x2 得 y′=4x,故点 P(t,2t2)处切线的斜率为 4t, 切线的方程为 y﹣2t2=4t(x﹣t), 即 y=4tx﹣2t2,
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当 t=0 时显然不合题意,故 0<t≤1, 令 x=1 得 yP=4t﹣2t2,令 y=0 得 xK= t, 则 S△BEF= BE?BF= (1﹣ )(4t﹣2t2)= t3﹣2t2+2t, 设 f(t)= t3﹣2t2+2t,0<t≤1,

则 f′(t)= (3t﹣2)(t﹣2),

令 f′(t)>0 得 0<t< ,令 f′(t)<0 得 <t≤1,

故 f(t)在(0, )上递增,在( ,1]上递减,

故 f(t)max=f( )= ,

而 <0.6,故该方案所得△BEF 区域不能满足该项目的用地要求.

19:解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),

,由 f'(1)=0,得 b=1﹣a.



.…(2 分)

①若 a≥0,由 f'(x)=0,得 x=1. 当 0<x<1 时, f'(x)>0,此时 f(x)单调递增; 当 x>1 时,f'(x)<0,此时 f(x)单调递减. 所以 x=1 是 f(x)的极大值点.…(5 分) ②若 a<0,由 f'(x)=0,得 x=1,或 x= .

因为 x=1 是 f(x)的极大值点,所以 >1,解得﹣1<a<0.

综合①②:a 的取值范围是 a>﹣1.…(8 分) (Ⅱ)因为函数 F(x)=f(x)﹣λ x2 有唯一零点, 即λ x2﹣lnx﹣x=0 有唯一实数解, 设 g(x)=λ x2﹣lnx﹣x,



.令 g'(x)=0,2λ x2﹣x﹣1=0.

因为λ >0,所以△=1+8λ >0, 方程有两异号根设为 x1<0,x2>0. 因为 x>0,所以 x1 应舍去.

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当 x∈(0,x2)时,g'(x)<0,g(x)在(0,x2)上单调递减; 当 x∈(x2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在(x2,+∞)单调递增. 当 x=x2 时,g'(x2)=0,g(x)取最小值 g(x2).…(12 分) 因为 g(x)=0 有唯一解,所以 g(x2)=0,





因为λ >0,所以 2lnx2+x2﹣1=0(*) 设函数 h(x)=2lnx+x﹣1,因为当 x>0 时,

h(x)是增函数,所以 h(x)=0 至多有一解.

因为 h(1)=0,所以方程(*)的解为 x2=1, 代入方程组解得λ =1.…(16 分)

20:解:(1)∵f′(x)=

,f′(1)=﹣15,f(1)=﹣14,

∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为: y﹣14=﹣15(x﹣1),即 y=﹣15x+1; (2)令 g(x)=f(x)﹣(a﹣3)x2﹣(2a﹣13)x﹣1=2lnx﹣ax2+(2﹣2a)x﹣1,

∴g′(x)=



当 a≤0 时,∵x>0,∴g′(x)>0,则 g(x)是(0,+∞)上的递增函数. 又 g(1)=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a>0,∴不等式 f(x)≤(a﹣3)x2+(2a﹣13)x+1 不恒成立;

当 a>0 时,g′(x)=



令 g′(x)=0,得 x= ,∴当 x∈(0, )时,g′(x)>0;当 x∈( ,+∞)时,g′(x) <0. 因此,g(x)在(0, )上是增函数,在( ,+∞)上是减函数.

故函数 g(x)的最大值为 g( )=

≤0.

令 h(a)=



则 h(a)在(0,+∞)上是减函数, ∵h(1)=﹣2<0, ∴当 a≥1 时,h(a)<0,∴整数 a 的最小值为 1. …(16 分)
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