圆锥曲线中的切点弦及其方程_图文

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数学通讯 ——2 O l 1 年第1 、 2期 ( 上半月)  

?专论 荟 萃 ?  

圆锥 曲线 中的 切 点 弦及其 方 程 
林国夫  
( 浙 江 省 上 虞 市 春 晖 中学 ,3 1 2 3 5 3 )  

设点 P是 圆锥 曲线 c外一 点 , 过点 P作 圆锥  曲线 C 的两切线 , 切 点为 A, B, 我们将 圆锥 曲线 C   的弦 AB称为 与点 P对 应的 圆锥曲线 C的切点 弦.  



1 ,  
口 

+ 
口 

= 1 .  

由于 切 线 P A, P B 过 点 P(   。 , y 。 ) , 则 得 到  +  +  1 ,由此 我 们 可  + 

在 近年来 的高 考 和 竞 赛 中 , 有 关 切 点 弦 的 试 题 频  频 出现 , 而对 于求 切点 弦所在 直线 的方程 , 我 们 若 
处 理不 当 , 往 往会 引发繁 琐 的运算 . 为此 本文 将 介 

以发 现 A( x   , y 。 ) , B( x : , Y   )两 点均 在直 线 


绍 求 圆锥 曲线 的切 点弦 所在 直线 的 方程 的一 种 简  便 方法 , 并结合 例题 说 明切点 弦 方程 的应 用 , 供读  者 参考 .  
1   圆 锥 曲 线 中 切 点 弦 方 程 

6 o z y一 1上 , 故 直线 AB 的方程 为 

+  

一1 .  

结论 l  点P ( x 。 , y o ) 是椭圆 C :   +  
1 ( 口> b >O ) 外 一点 , 则与 点 P对应 的椭 圆C的切 


1 . 1   椭 圆 中的切点 弦方程 
2   2  

如图 1 , 设点 P( x 。 , Y 。 ) 是 椭 圆 c:   +  Y 一  
口  D一  

点弦 A B 的方程 为 

+ 

=1 .  

1 ( n> b >0 ) 外一 点 , 弦A B是 与点 P对 应 的椭 圆  

1 . 2   双 曲线 中 的切 点 弦 方 程 

C的切点 弦. 显 然直线 A B 的方程是 由点 P唯 一确  定, 故 不难想 象 , 直线 A B 可 以用 z 。 ,  。 表示. 那 么  直线 AB 的方程 具体又 该如何 求呢 ?  
y  J     l

利 用求 椭 圆 中切 点 弦 方程 的方 法 , 我们 同样  可 以得 到双 曲线 中的切 点 弦方 程 , 限 于篇 幅 , 请 读  者 自行 完成 求解 过程.   结论 2   如 图 2 , 点 
P( x 。 , Y o )是 双 曲线 C:   X -一 


y  J   l  

P  

‘ 、 
  .

\  p   一  
/o  
图2  

1 ( 口> 0 , b> o )外 一 

点, 则与 点 P对应 的双 曲线 C  

事实 上 , 设 两 切点  (  ,  。 ) , B ( z 。 ,  。 ) , 则我  们易求 得 椭 圆 C在 点 A, B处的切线斜率为 k 尸 ^  
=一  
口 

的切点弦A B的方程为 等 一  


, 忌 耶 一一 
l  

y2 ( 椭 圆方程x   2   T  
口。  



口。  2  

D。  

1 两 边 

? .  

对 z求导 , 得  + 
口 

D  

一o , 故 y l 一一 

口 v 

) , 则 

1 . 3   抛 物 线 中 的 切 点 弦 方 程 

如图 3 , 设 点 P( x 。 , 弘) 是 
抛物线 C:   。 一2   ( p> O ) 外 


y  J   I  

切线 P A, P B 的方 程为 Y一一  
: 一  

(  —X 1 ) +y t ,  

点, 弦A B 是与 点 P 对 应 的 

P/  
D 

~  
j  

墨 ( z —  )+ 
口 Y2  



即 

抛物线 C 的切点 弦. 设 两 切点  A( x 。 , y   ) , B( x 2 ,  2 ) , 则 可 求 
得 抛 物 线 C在 点 A , B 处 的 切 
1   Y  2  

口  ’  2  
2   b  

+ 

一堕

a 2    ̄  b 2,

’ 等 口 2   +   。   b一 2  口 等 2   + 譬 b 2 . ‘  
+百 Y l Y  
D 

图 3  

考虑到 点A , B 在椭圆 C 上, 故 萼+ 口   菩一1 D   , 萼 口    
十   一1 , 从 而切 线 P A, P B 的方 程 为 
D   口 

线 的斜 率分 别为 垒 ,   ( 将方程 y 2— 2 p x 左右 两  边对  求 导得  一  ) , 则过 点 A, B的 抛物线 的 

?

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切 线 方程 为 Y一 上 (  —z 1 ) +Y l , Y一 上 (  —z 2 )  
1   Y2  

① 直线 z 过点M , 且交 双 曲线 C于A , B两 点 ;   ② 过 点 A、 B 的双曲线 C的切线 互相 垂直 .   求 实数 m 的 取值范 围.   解  设 过点 A, B 的双 曲线 c的 两切 线 交 于  点 P(  。 , Y 。 ) , 则根 据结 论 2 , 得到 直 线 A B 的 方程 
:  ̄x o x— Y o Y一 1 , 由于直线 A B 过点 M (  , O ) , 则 


+Y 2 , 考虑 到 ; =2 p xt ,  ; 一2   2 , 则过 点 A, B的  切 线方 程 即为 p x~Y 1  +p s c 1 —0 , p x—Y 2 Y+p x   2  


0 .由 于 上 述 两 切 线 均 过 点 P( x 。 ,   。 ) ,则 有 

p x0一 Y a Y o + p xl一 0, p xo— Y z Y o+ p xz一 0,  

从 中我们 可 以发 现点 A( x   , Y   ) , B( x 。 , Y 。 )在直线 


Y 。  +p x 。 一 0上 , 故直线 A B 的方程 为 p s c —  结论 3   点 P( x 。 , Y 。 )是 抛 物 线 C: Y   一 

X 0m


1 , 故X o一 一 3

.  

Y o  + p xo一 0 , 即 y 0 y— p( x+ z 0 ) .  

故 点 P 的坐标 为 (   , Y 。 ) . 设 过 P 的双曲线 C   的切线 方程 为 Y= k ( x一  ) +Y 。 ( 斜 率必 存在 ) .   代入 方 程  一 Y 。 一1 , 消去 Y得 ( 1 —3 k 。 ) s c   一 

2 p x( P> 0 ) 外 一点 , 则 与点 P对应 的抛 物线 C 的  切 点弦 A B 的方 程 为 Y 。 Y— p( x+ 。 ) .   至此 , 我们 求 得 了 圆锥 曲线 中的切 点 弦方 程 ,  

事 实上 , 我们 利 用 类 似 的 方 法 还 可 以得 到 更 一 般  性 的结论 , 即点 P( x 。 , Y 。 ) 是 曲线 C: A x。 +  。 + 
C r y+ D x+ E y+F = 0 外一点, 则 与点 P对应 的  曲线 C的切点 弦方 程 为 As c 。 z+ B   。 Y+ C( x 。 Y+ 
)+ D .下 x- t -X o+ E .  

厶  厶 

6 k (   。 一  )  一3 ( 弘 一  ) 。 一3一 o ( 其中1 -3 k 。  
≠0 , 否则 切点 A, B不 同时存在 ) , 故 △一 l Z F ( y 。 一 

+ F一 0
. 

) 。 +1 —3 k 。 ]:  

2 p (  。 一3 ) k  



 

m  



+ 3 + 

2   圆 锥 曲 线 的 切 点 弦 方 程 的 应 用 

1— 0 , 此 关 于 k的 一 元 二 次 方 程 的 解 即 为 切 线  P A, P B 的斜率 , l 而愚 雎? k P B一一 1 , 故  9 — 3≠ 0  
且 
。 

为 了说 明 切 点 弦 方 程 的 应 用 , 下 面笔 者 列 举 

几例 , 供读 者体 会 和学 习.  


2  

. . 2  

例 1   已知椭 圆 c:   +  = = = 1 和 直线 z :  一  Y 一 4— 0 , 点 P在 直线 Z 上, 过 点 P作 椭 圆 C的两 



1 , 即 

 ̄3   1 t









—2 -y 3 ≤2 , 故 

切线 P A, P B, A, B为切 点. 求证 : 当点 P在 直线 z   上运 动时 , 直线 A B 恒过 一定 点.  
解  如 图 4 , 由于点 P在  直线 Z : z— Y一 4— 0上 , 设  P( x 。 , z 。 一4 ) , 则根 据结 论 1 ,   得直 线 A B 的 方 程 为2  ̄   0 . I+ 


所 求 的 实 数m 的 取 值 范 围 为 [ 挲, + 。 。 ) .  
例3   如图 6 , 已知 抛 物  线 C: z 。一 4 y和 定 点 M ( 4 ,   2 ) , 过点 M 的直 线交抛 物线 C  
于 点 A, B, 过 点 A, B 分 别 作 
一  

J  

  J l  

{  
,   i  

、 、 \  一  
~ O  

抛物 线 C 的切线 , 两切 线交 于  点 N, 若 / X A NB 的 面 积 为 
图 6  

‘ 士 

1 ,即 z 。 ( 4 z + 
图 4  

9 y ) 一3 6 (  + 1 )= 0 . 显然 当  点 P运 动 时 , 即z 。 变 化时 , 直线 A B恒过 直线 4 x+  

2 8 √ 7 , 求点 N 的坐 标.   解  设 点 N( x 。 , Y 。 ) , 则 根 据 结 论 3得 直线 
A B 方程 为 X   0   一 4?   , 即z 。 z一2   3 , 一2   。 一 

9   — o 和 直 线   一 一 1 的 交 点 ( 号 , 一 1 ) .  
故 当点 P在直 线 z 上 运动 时 , 直线 A B恒 过一 

0 , 由于直线 A B 过点 M ( 4 , 2 ) , 则 4   。 一4 —2 y 。 =  0 , 即Y o一 2 x 。 一2 , 故点 N( x 。 , 2 s c o 一2 ) , 直线 AB  
为  o z一 2 y一 4 x o+ 4— 0 .  

定 点 ( 导 , 一 1 ) .  
例 2   如图 5 , 已知双 曲  
J  

设 A( x l ,  1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 联 立 方 程 
,   一 4 y,  

线 C:   一y Z一 1 , 点 M(  ,  
0 ) (   >  ) 是  轴 正半 轴上 


定点. 若 存 在 同 时 满 足 下 

\一 /  A 。   、   M     /、 、 o  
图5  

l   z o z~ 2 y一 4 x o + 4— 0 ,   消去 Y 得z 。 ~2 s c o z+ 8 x 0 — 8— 0 , 则 A一 4 x  


3 2 X o + 3 2> 0, zl + z 2: = :2 x 0 ,   1?   2— 8 x o 一 

8 , 则点 N 到直 线 AB 的距离 
( 下转 第 4 3页 )  

列 两个 条件 的直线 Z :  

?

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数 学通 讯 — — 2 O 1 1 . 年第 1 、 z期 ( 上半 月)  

4 3  

因 为直线 P A 的方 程 为 Y 一 — 一 (  ~ 口 ) ,  


直线 1 的方程 为 : z— m. 设 点 P的坐 标为 ( X o , Y o )  

L O 

‘ ‘  

直线 P A  的方 程 为 y一 
所 以 M(  ,  ! 三 一 二  
XO 一 Ⅱ 

( z+口 ) ,  
) , M1 (  ,  
z0 。 r “ 

且  ≠ 。 , 则 茅 一  一 1 , 即   一   b z .  
因为直 线 P A 的 方 程 为  = — 一 (  一 口 ) ,  
) .  
Xo " - t -a  
Xo ’ — — a 

设 以 线 段 MM 为 直 径 的 圆 C 上 任 意 一 点  Q( z,  ) ,则 由 


直线 P A 的方程 为 Y一 — 一 (  十 口 ) ,  
所 以M (  , . ( m -a ) y o )


?  

一 0得 圆 c的方程 为 ( z  

Ml ( m,  

) .  

m)  + [  一 
令  — o并 注 意到 
山   o  

[ L  一   一 ■ 
_一  一 b 2

‘‘  

]一 0 j一 . ‘  
得 

设 以 线 段 MM。为 直 径 的 圆 C 上 任 意 一 点 

Q( z ,  ) , 则由蔺 . 丽  = : = 0 得圆 C的方程为(  
— m) 。 +[  一 


( z — m) 。 一 — ( m







 







) b 2

: O,  

2 7 o  

。 —



a 

- 1 I -



 

X o  

’一

 



]= o .  

a。  

令  — o并 注意 到 

一  b 2



因为m z >a z , 得(   —m +  
b   J  ̄ -a - 2 > 一o
,  



) ( z —  
( z— m ) 。 +— ( m


得 








2 ) b z

一 0,  

a 

因为  z  a 2 , 得(   —m+垒  至  
a 

) (  —  

可见 , 以线段 MM  为 直径 的 圆必经 过 两个 定 
 ̄   -a 2 点(  +— b%/ o )和 (   — 


b  ̄ -m 2 ) 一o
.  





a 

a 

如果 直线 z 变 为准 线 , 命题就化为 2 0 0 5年 天  津 市 的竞 赛题 .  


可见, 以线段 MM 为直 径 的 圆必 经过 两 个定 
% / / 点(   +b  ̄
— — —
— -  

m 2


 ̄翌 0 )和 (  一— b 5/ D   m 2 , 0 )
— —

. 

2  

.2  

定理 2   已知双 曲线  一  L 2一 l ( 口> 0 , b> 
a  c ,  

a 

口 

如果 直线 z 变为 Y轴 ,命题 就化 为 2 0 0 9年江 
西 省高考 试题 .   ( 收 稿 日期 : 2 0 1 0 —0 5—0 5 )  

O ) , 其实 轴 的两 个 端 点 为 A, A   , P 是 双 曲线 上 不  同于 A, A  的一个 动点 , 直线 P A,P A  分别 与直 

线z :   — m( I   m  I <口 ) 交于 M , M1 两点, 试证 明 :   以线 段 MM 为直径 的圆必经 过两个 定点 .  
证 明  由已 知 , 可设 Al ( 一a , 0 ) , A ( 口 , O ) ,  

( 上接 第 4 1页 )  


即( z : 一8 z 。 +8 ) 号一 2 8 号, 故 z : 一8 z 0 + 8— 

!   二  

二  
 ̄ / z 3 +4  
'  

±  

2 8 , 解得 z 。= 1 0或 一 2 , 从 而点 N 的坐 标 为 ( i 0 ,   1 8 )或 ( 一2 , 一6 ) .  



f   z   8 x 。 +8   l  
—— — — — — —= = = = 二= = = — — 一



 ̄ / z j +4   线段 A B 的长度 为 

l   A B   I 一 ̄ / j 丽

?  

『 = 二  

√ 1 + ( 詈  
故 △A NB 的面 积 

,  

s …一 号  
一  

?  
二 

?  
一2 8 4 7 ,  

经 检验 , 上述 点均 符合 条件 , 故所 求的点 N 的  坐标为 ( 1 0 , 1 8 )或 ( 一2 , 一6 ) .   从 上述 三 个 例 题 我 们 可 以 看 到 , 利用 我 们 推  得 的有关 圆锥 曲线 的切 点 弦 方程 的三个 结 论 可 以  快 速而方 便地 解 决 有 关 切 点 弦 的 问题 , 并 且 解 题  思 路清 晰 , 运算简洁. 鉴于近年来的高考、 各 级 模  拟 考试 和竞赛 中越 来越 多 地 出现 有关 切 点 弦 的问  题, 笔者 希望读 者对 此类 问题 引起 足够 的重视 .  
( 收稿 日期 : 2 0 1 0 —0 7 —2 O )  


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