高中数学人教A版选修2-2学案:第一章1.7定积分的简单应用-含解析

数学 定积分的简单应用 预习课本 P56~59,思考并完成下列问题 (1)利用定积分求平面图形的面积时,需要知道哪些条件? (2)两条曲线相交围成的平面图形能否用定积分求其面积? [新知初探] 1.定积分与平面图形面积的关系 (1)已知函数 f(x)在[a,b]上是连续函数,由直线 y=0,x=a,x=b 与曲线 y=f(x)围成 的曲边梯形的面积为 S. f(x)的符号 f(x)≥0 f(x)<0 平面图形的面积与定积分的关系 S=? ? f(x)dx a b S=-? ? f(x)dx a b (2)一般地,如图,如果在公共的积分区间[a,b]上有 f(x)>g(x), 那么直线 x=a,x=b 与曲线 y=f(x),y=g(x)围成的平面图形的面积为 S=? ? [f(x)-g(x)]dx. a b [点睛] 对于不规则平面图形面积的处理原则 定积分只能用于求曲边梯形的面积, 对于非规则的曲边梯形, 一般要将其分割或补形为 规则的曲边梯形,再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积,可直 接利用相关面积公式求解. 2.变速直线运动的路程 做变速直线运动的物体所经过的路程 s,等于其速度函数 v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间 数学 [a,b]上的定积分,即 s=? ? v(t)dt. a b 3.力做功 (1)恒力做功:一物体在恒力 F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相同 的方向移动了 s,则力 F 所做的功为 W=Fs. (2)变力做功:如果物体在变力 F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F(x)相同的 方向从 x=a 移动到 x=b(a<b),那么变力 F(x)所做的功为 W=? ? F(x)dx. a b [点睛] 变速直线运动物体的路程、位移与定积分的关系 如果做变速直线运动物体的速度-时间函数为 v=v(t),则物体在区间[a,b]上的位移 为定积分? ? v(t)dt;物体在区间[a,b]上的路程为? ? |v(t)|dt. a a b b [小试身手] 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) 3 (1)曲线 y=x3 与直线 x+y=2,y=0 围成的图形面积为? ? x dx+? ? (2-x)dx.( 0 1 2 (2)曲线 y=3-x2 与直线 y=-1 围成的图形面积为? ?-2 (4-x )dx.( 2 1 2 ) ) (3)速度是路程与时间的函数关系的导数.( ) 4 2 (4)一个物体在 2≤t≤4 时, 运动速度为 v(t)=t2-4t, 则它在这段时间内行驶的路程为? ? (t2-4t)dt.( ) (2)√ (3)√ (4)× ) 答案:(1)√ 3π? 2.曲线 y=cos x? ?0≤x≤ 2 ?与坐标轴所围成的图形面积是( A.2 5 C. 2 答案:B B.3 D.4 3.已知做自由落体运动的物体的速度为 v=gt,则物体从 t=0 到 t=t0 所走过的路程为 ( ) 1 A. gt2 3 0 1 C. gt2 2 0 答案:C 4.一列车沿直线轨道前进,刹车后列车速度 v(t)=27-0.9t,则列车从刹车到停车所前 进的路程为________. 答案:405 B. gt2 0 1 D. gt2 4 0 数学 利用定积分求平面图形的面积 [典例] 求抛物线 y2=2x 和直线 y=-x+4 所围成的图形的面积. 2 ? ?y =2x, [解 ] 先求抛物线和直线的交点,解方程组 ? 求出交点坐标为 A(2,2)和 ?y=-x+4, ? B(8,-4). 法一:选 x 为积分变量,变化区间为[0,8],将图形分割成两部分(如 图),则面积为 S=S1+S2=2? ? = 2 0 2xdx+? ? 8 2 ( 2x-x+4 dx ) 4 2 32 ?2 2 3 1 2 ?8=18. x + 3 20 ? 3 x2-2x +4x?2 法二: 选 y 作积分变量,则 y 的变化区间为[-4,2],如图得 为 y2 4-y- ?dy S=?2-4? ? 2? 所求的面积 ? y2 y3 4y- - ?2 =? ? 2 6 ?-4=18. 利用定积分求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形. (2)确定图形范围,通过方程组求出交点的横坐标,确定积分上限和积分下限. (3)确定被积函数及积分变量,确定时可以综合考察下列因素: ①被积函数的原函数易求;②较少的分割区域;③积分上限和积分下限比较简单. (4)写出平面图形的面积的定积分表达式. (5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 数学 [活学活用] 求曲线 y=ex,y=e x 及直线 x=1 所围成的图形的面积. - x ? ?y=e , 解: 如图,由? 解得交点为(0,1), -x, y = e ? ? 1 1 所求面积为 S=?1(ex-e-x)dx=(ex+e-x)0 =e+ -2. e ? 0 求变速直线运动的路程、位移 [典例] 有一动点 P 从原点出发沿 x 轴运动, 在时刻为 t 时的速度为 v(t)=8t-2t2(速度 的正方向与 x 轴正方向一致).求 (1)t=6 时,点 P 离开原点后运动的路程和点 P 的位移; (2)经过时间 t 后又返回原点时的 t 值. [解] (1)由 v(t)=8t-2t2≥0 得 0≤t≤4, 即当 0≤t≤4 时,P 点沿 x 轴正方向运动, 当 t>4 时,P 点向 x 轴负方向运动. 故 t=6 时,点 P 离开原点后运动的路程 2 2 s1=? ? (8t-2t )dt-? ? (8t-2t )dt 0 4 4 6 2 3?? 2 =? ?4t -3t ?? ?0 4 2 3?? 2 -? ?4t -3t ?? ?4 6 0 6 = 128 . 3 2 当

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