【新】高中数学第二章解析几何初步2圆与圆的方程第2课时圆的一般方程课件北师大版必修2_图文

第2课时 圆的一般方程

[核心必知] 1.圆的一般方程的定义 当 D2+E2-4F>0时,称二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F= 0为圆的一般方程.

2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形

(1)当D2+E2-4F>0时,方程表示以
以 为半径的圆.

为圆心,

(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点
(3)当D2+E2-4F<0时,方程 不表示任何图形 .



[问题思考]
1.方程x2+y2+2x-2y+3=0是圆的一般方程吗?为什么?

提示:此方程不表示圆的一般方程. ∵D2+E2-4F=22+(-2)2-4×3=-4<0. ∴此方程不表示任何图形. 2.方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆时需要具备什么 条件? 提示:需同时具备三个条件:①A=C≠0;②B=0; ③D2+E2-4AF>0.

讲一讲

1.判断下列方程是否表示圆,若是,化成标准方程. (1)x2+y2+2x+1=0; (2)x2+y2+2ay-1=0; (3)x2+y2+20x+121=0; (4)x2+y2+2ax=0.

练一练 1.求下列圆的圆心和半径.

(1)x2+y2-x+y=0;
(2)x2+y2+2ax-2ay+a2=0.(a≠0).

讲一讲 2.已知△ABC三个顶点的坐标为A(1,3),B(-1,-1), C(-3,5),求这个三角形外接圆的方程.

待定系数法是求圆的一般方程的常用方法,先设出圆的一般方
程,再根据条件列出方程组求出未知数D,E,F,当已知条件 与圆心和半径都无关时,一般采用设圆的一般方程的方法.

练一练
2.求过点A(2,-2),B(5,3),C(3,-1)的圆的方程.

已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取

值范围.
[错解] ∵点A在圆外, ∴a2+4-2a2-3×2+a2+a>0,∴a>2. [错因] 本题错解的根本原因在于没有把握住圆的一般式方

程的定义.二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时,
需D2+E2-4F>0,所以,本题除了点在圆外的条件以外, 还应注意方程表示圆这一隐含条件.

2.方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆,则m的范围是(

)

A.0<m<1 B.m>1 C.m<0 D.m<1

解析:方程x2+y2+4x-2y+5m=0表示圆,
须42+(-2)2-4×5m>0,即m<1. 答案:D

3.如果过A(2,1)的直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分,则l的 方程为( )

A.x+y-3=0
C.x-y-1=0

B.x+2y-4=0
D.x-2y=0

制作不易 尽请参考

4.以点A(2,0)为圆心,且经过点B(-1,1)的圆的一般方程是 ______________.

5.圆x2+y2-2x-4y-11=0关于点P(-2,1)对称的圆的方程 是________. 解析:由x2+y2-2x-4y-11=0得 (x-1)2+(y-2)2=16.

圆心(1,2)关于P(-2,1)的对称点为(-5,0)
所求圆的方程为(x+5)2+y2=16. 答案:(x+5)2+y2=16

6.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于A(0,-4), B(0,-2)两点,求圆C的一般方程.


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