2015年高考数学安徽理试题及答案word

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数学(理科)
一、选择题:本大题共 10 个小题;每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是 符合题目要求的。 1.设 i 是虚数单位,则复数 (A)第一象限 答案:B 解析: 因为

2i 在复平面内所对应的点位于 1? i

(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

2i 2i(1 ? i) ?2 ? 2i 2i ? ? ? ?1 ? i. ,所以复数 在复平面内所对应的点的坐标为 (?1,1) , 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 1? i

故在复平面内所对应的点位于第二象限,故选(B). 2.下列函数中,既是偶函数又存在零点的是 (A) y ? cos x 答案:A (B) y ? sin x (C) y ? ln x (D) y ? x2 ? 1

解析:选项(A)中的 y ? cos x 是偶函数,且由 y ? 0, 得 cos x ? 0 ,解得 x ?

? k? , k ? Z, 故函数存在 2 零点;选项(B)中的 y ? sin x 是奇函数;选项(C)中的 y ? ln x 的定义域为 (0, ??) ,所以 y ? ln x 不
具有奇偶性;选项(D)中的 y ? x2 ? 1 是偶函数,但方程 x2 ? 1 ? 0 无解,即函数 y ? x2 ? 1 不存在零点. 故选(A). 3.设 p :1 ? x ? 2 , q : 2 x ? 1 ,则 p 是 q 成立的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 答案:A (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

?

解析:由 q : 2 x ? 1 ,解得 x ? 0 ,所以 p ? q, q ?? p ,所以 p 是 q 的充分不必要条件,故选(A.) 4.下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( )

y ?1 ( A) x ? 4
2

2

x ? y2 ? 1 (B) 4

2

y ? x2 ? 1 (C) 4

2

x2 ?1 (D) y ? 4
2

答案:C 解析:因为选项(C)中, a ? 2, b ? 1 ,所以渐近线方程为 y ? ?2 x ,故选(C). 5.已知 m , n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,则下列命题正确的是( (A)若 ? , ? 垂直于同一平面,则 ? 与 ? 平行 (B)若 m , n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 (C)若 ? , ? 不平行,则在 ? 内不存在与 ? 平行的直线 (D)若 m , n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 答案:D )

解析:因为 ? , ? 垂直于同一平面,所以 ? , ? 可能平行或相交,故(A)错;因为 m, n 平行于同一平面,所 以

m, n 可以平行或相交或异面,故(B)错;因为 ? , ? 不平行,但在 ? 内可能存在与 ? 平行的直线,如 ? 中

平行于 ? , ? 交线的直线平行于 ? ,故(C)错;若假设 m, n 垂直于同一平面,则 m / / n ,其逆否命题即为(D) 选项,故(D)正确.

6.若样本数据 x1 , x2 ,??? , x10 的标准差为 8 ,则数据 2 x1 ? 1 , 2 x2 ? 1 ,??? , 2 x10 ? 1的标准差为( ( A) 8 答案:C (B) 15 (C) 16 (D) 32



解析:因为样本数据 x1 , x2 ,..., x10 的标准差为 8 ,所以样本数据 x1 , x2 ,..., x10 的方差为 64 , , 而样本数据

2 x1 ?1, 2 x2 ?1,..., 2 x10 ?1 的方差 D(2x ?1) ? 22 Dx ? 22 ? 64 ,所以标准差为 22 ? 64 ? 16 ,故选(C) .
7.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( ( A) 1 ? 3 ( C) 1 ? 2 2 (B) 2 ? 3 (D) 2 2
1 1 正(主)视图 1 1 2 2
P


2 2 1 1 侧(左)视图

答案:B 解析:由该几何体的三视图可知直观图如图所示,其中侧面 PAC ?

俯视图
A O C

底面 ABC ,且 ?PAC ≌ ?ABC ,由三视图中所给数据可知 PA ? PC ? AB ? BC ?

2,
B

取 AC 的 中 点 O , 连 结 PO, BO , 则 在 R t? P O B 中 , 因 为 PO ? BO ? 1 , 所 以 PB ?

2 ,所以

S ? 2?

3 1 2 2 ? ( 2) ? ? ( 2) ? 2 ? 2 ? 3.故选(B) 4 2

8、 ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,已知向量 a , b 满足 ?? ? 2a ,ΑC ? 2a ? b ,则下列结论正确的是 ( ) ( A) b ? 1 答案:D 解析:因为 AC ? AB ? BC ? 2a ? BC, 又 AC ? 2a ? b, 所以 BC ? b ,所以 b ? 2 ,故(A)错误;因为等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 , AB ? 2a , 所 以 (B) a ? b (C) a ? b ? 1 (D) ? 4a ? b ? ?ΒC

????

???? ?

???? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? AB ? 2 a ? 2 , 所 以 a ? 1 , 因 为

??? ? ???? 1 AB ? AC ? 2a ? (2a ? b) ? 4a 2 ? 2a ? b ? 2 ? 2 ? ? 2 , 所 以 a ? b ? ?1 , 故 (B),(C) 错 误 ; 又 因 为 2 ??? ? ??? ? 2 (4a ? b) ? BC ? (4a ? b) ? b ? 4a ? b ? b ? 4 ? (?1) ? 4 ? 0 ,所以 (4a ? b) ? BC ,故(D)正确;选(D).
9、函数 f ? x ? ?

ax ? b

? x ? c?

2

的图像如图所示,则下列结论成立的是(



( A) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 ( C) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 答案:C

(B) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 (D) a ? 0 , b ? 0 , c ? 0

解析:由题意可知 x ? ?c ,易知 ?c ? 0 ,所以 c ? 0 ;当 x ? 0 时,

f (0) ?

b b ? 0 ,所以 b ? 0 ;当 y ? 0 时, ax ? b ? 0 ,所以 x ? ? ? 0 , 2 c a

所以 a ? 0 ,故选(C). 10.已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? , ? , ? 均为正的常数)的最小正周期为 ? ,当 x ? 数 f ? x ? 取得最小值,则下列结论正确的是( (A) f ? 2? ? f ? ?2? ? f ? 0? (C) f ? ?2? ? f ? 0? ? f ? 2? 答案:A 解析: 因为 T ? 所以 ? ? ) (B) f ? 0? ? f ? 2? ? f ? ?2? (D) f ? 2? ? f ? 0? ? f ? ?2?

2? 时,函 3

2?

?

?

?? , 所以 ? ? 2 , 所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) , 当x?

? 2k? ,所以 f ( x) ? A sin(2 x ? ) ,当 2 x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? k? 时, f ( x) 取得最 6 6 6 2 6

?

?

?

2? 2? 3? 2? ?? ? ? 2 k? , 时, 3 3 2

?

大值,下面只需要判断 2, ?2, 0 与最近的最高点处对称轴的距离, 距离越大,值越小.当 k ? 0 时, x ?

?

6



0?

?
6

? 0.52 ,当 k ? 1 时, x ?

7? 5? 7? 5? , 2? , ?2 ? (? ? 1.66 ,当 k ? ?1 时, x ? ? ) ? 0.6 , 6 6 6 6

所以 f (2) ? f (?2) ? f (0) ,故选(A).
二、填空题:本大题共 5 小题。每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡的相应位置

1 7 ) 的展开式中 x5 的系数是 x 答案: 35
11. ( x ?
3

(用数字填写答案)

解析:由二项式通项公式得 Tr ?1 ? C7 ( x )
r

3 7?r

1 ( ) r ? C7r x 21? 4 r ,令 21 ? 4 r ? 5 ,得 r ? 4 ,所以 x5 的系数为 x

4 C7 ? 35 .

12.在极坐标中,圆 ? ? 8sin ? 上的点到直线 ? ? 答案:6

?
3

( ? ? R ) 距离的最大值是

解析:由 ? ? 8sin ? ,得 x 2 ? y 2 ? 8 y ,即 x2 ? ( y ? 4)2 ? 16 ,由 ? ?

?
3

,得 y ? 3x ,即 3x ? y ? 0 ,

圆上的点到直线的最大距离即为圆心到直线的距离加上半径,所以最大距离为 4 ? 13.执行如图所示的程序框图(算法流程图) ,输出的 n 为 答案:4 解 析 : 第 一 次 循 环 得 到

?4 3 ?1

? 6.

a?

3 ,n ? 2 2







7 a ?1.414 ? 1.5 ?1.414 ? 0.086 ? 0.005 ,第二次循环得到 a ? , n ? 3 ,此 5 17 ,n ? 4 , 时 a ?1.414 ? 1.4 ?1.414 ? 0.014 ? 0.005 ,第三次循环得到 a ? 12
此时 a ?1.414 ? 0.005 ,此时不满足判断条件,输出 n ? 4 14.已知数列 {an } 是递增的等比数列, a1 ? a4 ? 9, a2 a3 ? 8 ,则数列 {an } 的前 n 项和等于

答案: 2 ? 1
n

解析: 因为 a1 ? a4 ? 9, a2a3 ? a1a4 ? 8 , 及数列为递增的,可解得 ?
3

? a1 ? 1, 1 ? 2n ? 2n ? 1. . , 所以 q ? 2, Sn ? a ? 8. 1 ? 2 ? 4
(写

15. 设 x ? ax ? b ? 0 ,其中 a , b 均为实数,下列条件中,使得该三次方程仅有一个实根的是 出所有正确条件的编号) ① a ? ?3, b ? ?3 ;② a ? ?3, b ? 2 ;③ a ? ?3, b ? 2 ;④ a ? 0, b ? 2 ;⑤ a ? 1, b ? 2 . 答案: ①③④⑤

解析:令 f ( x) ? x3 ? ax ? b , f ?( x) ? 3x2 ? a ,当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 递增,必有一个实根,④ ⑤ 满 足 题 意 ; 当 a ? 0 时 , 由 于 选 项 当 中 a ? ?3 , 所 以 只 考 虑 a ? ?3 这 一 种 情 况 , 所 以 所以 f ( x)极大 ? f (?1) ? ?1 ? 3 ? b ? b ? 2, f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ?1)( x ? 1), f ( x)极小 ? f (1) ? 1 ? 3 ? b ?

b ? 2 ,要使方程有一根,则 f ( x)极大 ? 0 或 f ( x)极小 ? 0 ,所以 b ? ?2 或 b ? 2 ,①③满足;故填①③④
⑤.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.解答写在答题

卡上的指定区域内 16. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, ?A ? 的长。 16. 解 : 设 ?ABC 的 内 角
2 2 2

3? , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上, AD ? BD ,求 AD 4
所 对 边 的 长 分 别 是
2 2

A,B,C

a,b,c, 由 余 弦 定 理 得

中 , a ? b ? c ? 2bc cos ?BAC ? (3 2) ? 6 ? 2 ? 3 2 ? 6 ? cos

3? ? 18 ? 36 ? (?36) ? 90, , 所 以 4

a ? 3 1 .0
又由正弦定理得, sin B ?

b sin ?BAC 3 10 ? ? .; a 3 10 10
1 3 10 ? . 10 10

由题设知 0 ? B ?

?
4

, 所以 cos B ? 1 ? sin 2 B ? 1 ?

, D 2 , B由 正 弦 定 理 得 在 ?ABD 中 , 因 为 A D? B D , 所 以 ?A B D? ? B A 所 以 ?A B D?? ?

AD ?

AB? sin B 6sin B 3 ? ? ? 10. 17.(本小题满分 12 分)已知 2 件次品和 3 件正品混放 sin(? ? 2 B) 2sin B cos B cos B

在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检 测费用(单位:元),求 X 的分布列和均值(数学期望). 17.解:(1) 记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A, P( AA )?
1 A1 3 2 A3 ? . ; 2 A5 10

(2) X 的可能取值为 200,300,400

P( X ? 200) ?

1 1 2 A3 A2 1 3 3 ? C2 C3 A 2 2 ? , P ( X ? 300) ? ? , 2 3 A5 10 A5 10

P( X ? 400) ? 1 ? P( X ? 200) ? P( X ? 300) ? 1 ?
故 X 的分布列为 X P 200 300 400

1 3 6 ? ? .. 10 10 10

6 10 1 3 6 E ( X ) ? 200 ? ? 300 ? ? 400 ? ? 350 . 10 10 10
*

1 10

3 10

18.(本小题满分 12 分)设 n ? N , xn 是曲线 y ? x 2n? 2 ? 1 在点 (1, 2) 处的切线与 x 轴交点的横坐标. (1)求数列 {xn } 的通项公式;
2 2 2 T ? (2)记 Tn ? x1 ? x3 ??? x2 n?1 ,证明: n

1 . 4n

A1 E B1 F A
1 n ? . n ?1 n ?1

D1

18. (1) 解: y? ? ( x2n?2 ? 1)? ? (2n ? 2) x2n?1 , ,曲线 y ? x 2n? 2 ? 1 在 点 (1, 2) 处 的 切 线 斜 率 为 2n ? 2 , 从 而 切 线 方 程 为

y ? 2 ? (2n ? 2)( x ? 1).
令 y ? 0, 解得切线与 x 轴交点的横坐标 xn ? 1 ? (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知

D C

B

1 3 2n ? 1 2 Tn ? x12 x32 ? x2 n ?12 ? ( ) 2 ( ) 2 ? ( ). 2 4 2n 1 当 n ? 1 时, T1 ? . 4 2n ? 1 2 (2n ? 1)2 (2n ? 1)2 ? 1 2n ? 2 n ? 1 2 当 n ? 2 时,因为 x2 n?1 ? ( , ) ? ? ? ? , 2n (2n)2 (2n)2 2n n 1 2 1 2 n ?1 1 ? . 所以 Tn ? ( ) ? ? ? ? ? 2 2 3 n 4n 1 ? . 综上可得,对任意的 n ? N , 均有 Tn ? 4n E 19.(本小题满分 13 分)如图所示,在多面体 A 1B 1D 1DCBA 中,四边形 AA 1B 1B , ADD 1A 1 , ABCD 均为正方形, F. 为 B1D1 的中点,过 A 1于 1 , D, E 的平面交 CD
(1)证明: EF / / B1C ; (2)求二面角 E ? A1D ? B1 的余弦值. (1 ) 证明: 由正方形的性质可知 A 1B 1 ? AB ? DC, 所以四边形 A 1B 1CD 为平行四边形. 1B 1 // AB // DC, 且 A 从而 B1C // A1D. 。又 A1D ? 平面 A1DE, B1C ? 平面 A1DE, 于是 B1C // 平面 A 1DE . 又 B1C ? 平面 B1CD1 , ,平面 A1DE ? 平面 B1CD1 ? EF , 所以 EF // B1C. ..

(2)解:因为四边形 AA 1B 1B, ADD 1A 1 , ABCD 均为正方形,所以

AA1 ? AB, AA1 ? AD, AB ? AD, 且 AA1 ? AB ? AD, ??? ? ??? ? ???? y 轴和 z 轴单位正向量建立 以 A 为原点,分别以 AB, AD, AA 1 为 x 轴,
如图所示的空间直角坐标系, 可得点的坐标

A(0,0,0), B(1,0,0), D(0,1,0), A1 (0,0,1), B1 (1,0,1), D1 (0,1,1),. 而 E 点为 B1D1 的中点, 所以 E 点的坐标为 (0.5,0.5,1). 设面 A 1DE 的法向量为 n 1 ? (r 1 , s1 , t1 ), 而该面上向量 ???? ???? ? ???? ???? ? A1E ? (0.5,0.5,0), A1D ? (0,1, ?1), 由 n1 ? A1E, n1 ? A1D 得 r1 , s1 , t1 应满足方程组
?0.5r1 ? 0.5s1 ? 0, (?1,1,1). 为其一组解,所以可取 n1 ? (?1,1,1). 设面 A1B1CD 的法向量为 n2 ? (r2 , s2 , t2 ), ? ? s1 ? t1 ? 0, ???? ? ???? ? 而该面上向量 A 1B 1 ? (1,0,0), A 1D ? (0,1, ?1), 由此同理
可得 n2 ? (0,1,1), 所以结合图形知二面角 E ? A1D ? B1 的余弦值为

| n1 ?n2 | 2 6 ? ? . | n1 |? | n2 | 3 3? 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 O 为坐标原点,点 A 的坐标为 ( a, 0) ,点 a 2 b2 5 B 的坐标为 (0, b) ,点 M 在线段 AB 上,满足 | BM |? 2 | MA | ,直线 OM 的斜率为 . 10 (1)求 E 的离心率 e ; 7 (2)设点 C 的坐标为 (0, ?b) , N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 ,求 E 的方程. 2
20.(本小题满分 13 分)设椭圆 E 的方程为 20. 解 :(1) 由 点 A 的 坐 标 为 ( a, 0) , 点 B 的 坐 标 为 (0, b) , 点 M 在 线 段 AB 上 , 满 足 | BM |? 2 | MA |, 知

???? ? ???? ??? ? 2a b b 5 5 BM ? 2MA ,即点 M 分线段 BA 的比为 2,所以点 M ( , ) ;又直线 OM 的斜率为 ? ,所以 ,即 3 3 2a 10 10

a ? 5b ,由 a 2 ? b2 ? c2 得 e 2 ?

c2 4 2 5 ? ,e? . 2 a 5 5
a b x y 5b ?b ,? ) , 即 N ( , ) , 而 直线 AB 的 方 程为 ? ? 1 , 即 2 2 a b 2 2

(2) 因 为 N 为 线 段 AC 的 中 点 ,, 所 以 N (

x ? 5 y ? 5b ;
设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ( x1 , ), 则线段 NS 的中点 T 的坐标为 (

7 2

x 5 1 7 b ? 1 , ? b ? ). 又 4 2 4 4

点 T 在直线 AB 上,且 kNS ? k AB

? 5 x 1 7 b? 1 ? b? ? 2 ? 4 4 ? 1, ? 4 b 5b ? ? 解得 b ? 3. ,所以 a ? 3 5, ,故椭 ? ?1. 从而有 ? 7 1 ? b ? 2 2 ? 5, ? ?x ? 5 b 1 ? ? 2

圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 45 9

21. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b . (1)讨论函数 f (sin x) 在 ( ?

? ?

, ) 内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值; 2 2

(2)记 f0 ( x) ? x2 ? a0 x ? b0 ,求函数 | f (sin x) ? f0 (sin x) | 在 [ ? (3)在(2)中.取 a0 ? b0 ? 0 ,求 z ? b ? 21.解: (1)

? ?

, ] 上的最大值 D; 2 2

a2 满足条件 D ? 1 时的最大值. 4

f (sin x) ? sin 2 x ? a sin x ? b ? sin x(sin x ? a) ? b, ?
?

?
2

?x?

?
2

. [ f (sin x)]? ? 2(sin x ? a) cos x,

?
2

?x?

?
2

.

因为 ?

?
2

?x?

?
2

, 所以 cos x ? 0, ?2 ? 2sin x ? 2.

①当 a ? ?2, b ? R 时, 函数 f (sin x) 在 ( ?

? ?

, ) 内是单调递增的,无极值; 2 2

②当 ?2 ? a ? 2 , b ? R 时,函数 f (sin x) 在 ( ? 函数 f (sin x) 单调递减;当 x0 ? x ?

? ?

?
2

, ) 内存在唯一的 x0 , 使得 2sin x0 ? a. 当 ? ? x ? x0 时 2 2 2

?

时,函数 f (sin x) 单调递增。因此 ?2 ? a ? 2 , b ? R 时,函数

a a2 f (sin x) 在 x0 处有极小值, f (sin x0 ) ? f ( ) ? b ? . ; 2 4 ? ? ③当 a ? 2 , b ? R 时, 函数 f (sin x) 在 ( ? , ) 内是单调递减的,无极值;; 2 2
(2) 当 ?

?

2

?x?

?

2

时, | f (sin x) ? f0 (sin x) |?| (a0 ? a)sin x ? b ? b0 |?| a0 ? a | ? | b ? b0 |, ,

当 (a0 ? a)(b ? b0 ) ? 0 时,取 x ?

?
2

,等号成立,当 (a0 ? a)(b ? b0 ) ? 0 时,取 x ? ?

?
2

, 等号成立。由此

可知, | f (sin x) ? f0 (sin x) | 在 [ ?

, ] 上的最大值为 D ?| a ? a0 | ? | b ? b0 | . . 2 2 a2 2 ? 1. (3) D ? 1 即为 | a | ? | b |? 1 时,此时 0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 1, 从而 z ? b ? 4
取 a ? 0, b ? 1, 则 | a | ? | b |? 1 ,并且 z ? b ?

? ?

a2 ? 1. 4

a2 由此可知, z ? b ? 满足条件 D ? 1 时的最大值为 1. 4


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