安徽省太和一中2014届高三第一次摸底考试数学试卷

安徽省太和一中 2014 届高三第一次摸底考试数学试卷
一.选择题(50 分)
1.已知?, ? ?[? ? , ? ], 且? sin? ? ? sin ? ? 0, 则下列结论正确的是( D ) 22
A.? 3 ? ? 3 B.? ? ? ? 0 C.| ? |?| ? | D.| ? |?| ? |

2. 已知圆 O 的半径为 2,PA,PB 为该圆的两条切线,A,B 为两切点,设 ?APO ? ?. 那么 2S?PAB ? cot 2?

的最小值为( D )A. ?16 ? 4 2 B. ?12 ? 4 2 C. ?16 ? 8 2 D. ?12 ? 8 2

3. 函数 f (x) 的定义域为 D ,若存在闭区间[a,b] ? D ,使得函数 f (x) 满足:① f (x) 在[a,b] 内是单

调函数;② f (x) 在[a,b] 上的值域为[2a, 2b] ,则称区间[a,b] 为 y ? f (x) 的“倍值区间”.下列

函数中存在“倍值区间”的有 ( D )

① f (x) ? x2 (x ? 0) ;

② f (x) ? ex (x ? R) ;

③ f (x) ? 4x (x ? 0) ; x2 ?1



f

(x)

?

log a (a x

?

1)(a 8

?

0, a

? 1)

(A)①②③④ (B)①②④ (C)①③④ (D)①③

4.

数列{an} 满足 a1

? 1 ,a2

? 1 ,an?2

? (1? sin2

n? 2 )an

? 4 cos2

n? 2

,则 a9 , a10 的大小关系为(

C



(A) a9 ? a10 (B) a9 ? a10 (C) a9 ? a10 (D)大小关系不确定

5. 已知映射 f : P(m, n) ? P/ ( m, n)?m ? 0, n ? 0? .设点 A?1,3?,B?2, 2? ,点 M 是线段 AB 上一动

点, f : M ? M / .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M / 所经过

的路线长度为( C )A. ? 3

B. ? 4

C. ? 6

D. ? 12

6.

在直三棱柱

ABC—A

1

B

1

C

1

中,?BAC

?

? 2

,

AB

?

AC ?

AA1

? 1, D和F 分别为棱 AC、AB 上的动点(不

包括端点),若 C1F ? B1D, 则线段 DF 长度的取值范围为( C )

A.[ 2 , 3 ] 22

B.[ 3 ,1) 3

C. [ 2 ,1) 2

D.[ 2 , 2 ] 32

?x ? y ? 2 ? 0

7.



x,y

满足约束条件

??4 ??x

x? y ?0

?

4

?

0

,若目标函数

z

?

ax

?

by(a

?

0,

b

?

0)

的最大值为

6,则

?? y ? 0

log

3

(1 a

?

2) b

的最小值为(

A

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A.1

B.3

C.2

D. 4

8. 用 max( a1, a2 ,?, an ), min( a1, a2 ,?, an ) 分别表示 a1, a2 ,?, an 中的最大与最小者,有下列结论:

① max(a,b) ? max(c, d) ? max(a ? b,c ? d, a ? c,b ? d);

② min(a,b) ? min(c, d) ? min(a ? c, a ? d,b ? c,b ? d);

③若 max(a,b) ? max(c, d), 则 a ? c,b ? d; ④若 min(a,b) ? min(c, d),则 a ? c,b ? d.

其中正确结论的个数是( B )

A.0

B.1

C.2

D.3

?

?

??

9. 已知两个非零向量 a ? (m ?1, n ?1) 和b ? (m ? 3, n ? 3), 若 cos ? a,b ?? 0 ,则 m ? n

的取值范围是( D )

A. [ 2,3 2]

B. [2,6]

C. ( 2,3 2 )

D. (2,6)

10.

设函数

f (x) ?

?x

? ?

f

?[x], x (x ?1),

?0 x?

, 0

其中

[

x]

表示不超过

x

的最大整数,如

[?1,2]

=-2,[1.2]

=1,

[1]

=1,

若直线 y= kx ? k(k ? 0) 与函数 y= f (x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是( D )

A. (1 , 1] 43

B. (0, 1 ] 4

二.填空题(50 分)

C.[1 , 1] 43

D.[1 , 1) 43

11. 已 知 函 数 f (x) ?| x2 ? 2x ?1 | , 若 a ? b ? ?1 , 且 f (a) ? f (b) , 则 ab ? a ? b 的 取 值 范 围



. (-1,1)

12.

已知

F

是椭圆

C:

x2 a2

?

y2 b2

?1

(a ? b ? 0) 的 右 焦 点 , 点 P 在 椭 圆 C 上 , 线 段 PF 与 圆

x2 ?

y2 ? 1

?

?

b2相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为

4

.5 3

13. 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x)满足f (x ? 2) ? 3 f (x),当x ?[0,2]时, f (x) ? x2 ? 2x , 则

x ?[?4,?2]时, f (x) 的最小值是

.- 1 9

14. 已知O→P1=(cosθ,sinθ),O→P2=(3-cosθ,4-sinθ),若O→P1∥O→P2,则 cos2θ= 15. 如图,在面积为 1 的正 ?A1B1C1 内作正 ?A2B2C2 ,使 A1 A2 ? 2 A2B1 ,

.-275
A1

B1B2 ? 2B2C1 , C1C2 ? 2C2 A1 ,依此类推,在正 ?A2B2C2 内再作正 ?A3 B3C3 ,……。记正 ?Ai BiCi 的面积为 ai (i ?1, 2, , n) ,

C2

C3

B3

A2

则 a1+a2+……+an=

31 (1? )
2 3n

A3

B1

B2

C1

第 15 题

三.解答题(75 分)

?

?

16. (本小题满分 12 分)已知:直线l 与抛物线 y 2 ? 4x 交于 A,B 两点,O 为坐标远点,且 OA? OB ? ?4 .

(1) 求证:直线l 恒过定点;

(2) 若 4 6 ?| AB |? 4 30 ,求直线l 的斜率 k 的取值范围.

解:(1)若直线 l 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=kx+b, L 与抛物线的交点坐标为 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,由

?

?

OA? OB ?

?4 得

x1 x2

?

y1 y2

? ?4 , 即

y12 y2 2 16

?

y1 y2

?

?4,

所以

y1 y2

?

?8 ; 又由

?y ? kx? b

? ?

y

2

?

4x



ky2

?

4y

?

4b

?

0(k

?

0) ,则

y1 y2

?

4b k

?

?8 ,即 b

?

?2k



则 l 的方程为 y ? k(x ? 2) ,因此直线l 过定点(2,0);----------------------------------4 分

若直线 l 与 x 轴垂直,易得 x1 ? x2 ? 2 ,l 的方程为 x ? 2 ,因此直线l 过定点(2,0)

综上,因此直线l 恒过定点(2,0)。----------------------------------------------------------------6 分

(3)

由(1)得 |

AB

|2 ?

1? k2 k2

( 16 k2

? 32), 因为 4

6 ?| AB |? 4

30 ,所以

6

?

1? k2 k2

1 ( k2

?

2)

?

30, 解之,得 k ?[?1,? 1] ?[1 ,1] -----------------------12 22



17. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? ln x ? x2 ? ax(a ? R).

(I)求函数 f (x) 的单调区间.

(II)若 f (x) ? 2x 2 , 求 a 的取值范围.

解:(Ⅰ) f (x) 的定义域为 (0, ??) .…………………1 分

f ?(x) ? 1 ? x2 ? a = 2x2 ? ax ? 1 ( x ? 0),

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x

x

设 g(x) ? 2x2 ? ax ?1,只需讨论 g(x) 在 (0, ??) 上的符号.…………………2 分

(1)若 a ? 0 ,即 a ? 0,由 g(x) 过定点 (0,1) ,知 g(x) 在 (0, ??) 上恒正,故 f ?(x) ? 0 , f (x) 在(0, 4
+ ? )上为增函数.…………………3 分

(2)若 a ? 0 ,当 a2 ? 8 ? 0 时,即 0 ? a ? 2 2 时,知 g(x) ? 0(当 x ? 2 时,取“=”),故 f ?(x) ? 0 ,

4

2

f (x) 在(0,+ ? )上为增函数;……………………4 分

当 a2 ? 8 ? 0 时,由 2x2 ? ax ? 1 ? 0, 得 x ? a ? a2 ? 8 , 4

当 0 ? x ? a ? a2 ? 8 或 x ? a ? a2 ? 8 时, g?(x) ? 0 ,即 f ?(x) ? 0 ,

4

4

当 a ? a2 ? 8 ? x ? a ? a2 ? 8 时, g?(x) ? 0 ,即 f ?(x) ? 0 .

4

4

则 f (x) 在 ( a ? a2 ? 8 , a ? a2 ? 8 ) 上为减函数,在 (0, a ? a2 ? 8 ) ,

4

4

4

( a ? a2 ? 8 , ??) 上为增函数.………………5 分 4
综上可得:当 a ? 2 2 时,函数 f (x)的单调增区间(0,+ ? );

当 a ? 2 2 时,函数 f (x)的单调增区间为 (0, a ? a2 ? 8 ) , ( a ? a2 ? 8 , ??) ;

4

4

函数 f (x)的单调减区间为 ( a ?

a2 ? 8 a ? ,

a2 ? 8 ) .…………………6 分

4

4

(Ⅱ)由条件可得 ln x ? x2 ? ax ? (0 x ? 0) ,

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则当 x ? 0时, a ? ln x ? x 恒成立,………………8 分 x

令 h(x) ? ln x ? x(x ? 0) ,则 h?(x) ? 1 ? x2 ? ln x , …………………9 分

x

x

方法一:令 k(x) ? 1 ? x2 ? ln x(x ? 0) , 则当 x ? 0时, k?(x) ? ?2x ? 1 ? 0 ,所以 k(x) 在(0,+ ? )上 为减函数.
x 又 h?(1) ? 0 ,

所以在(0,1)上, h?(x) ? 0 ;在(1,+ ? )上, h?(x) ? 0 .………10 分

所以 h(x) 在(0,1)上为增函数;在(1,+ ? )上为减函数.

所以 h(x)max ? h(1) ? ?1,所以 a ? ?1. ……………12 分 方法二:当 0 ? x ?1时,1? x2 ? 0, ? ln x ? 0, h?(x) ? 0 ;

当 x ?1时,1? x2 ? 0, ? ln x ? 0, h?(x) ? 0 .……………10 分

所以 h(x) 在(0,1)上为增函数;在(1,+ ? )上为减函数. 所以 h(x)max ? h(1) ? ?1,所以 a ? ?1. ………………12 分

18. (本小题满分 12 分)在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中,设有 A、B、C 三道必答 题,分值依次为 20 分、30 分、50 分.竞赛规定:若参赛选手连续两道题答题错误,则必答题总分
记为零分;否则各题得分之和记为必答题总分已知某选手回答 A、B、C 三道题正确的概率分别为 1 、 2
1 、 1 ,且回答各题时相互之间没有影响 34
(I) 若此选手可以自由选择答题顺序,求其必答题总分为 50 分的概率;

(Ⅱ) 若此选手按 A、B、C 的顺序答题,求其必答题总分? 的分布列和数学期望.

解:(Ⅰ)记总分得 50 分为事件 D,记 A,B 答对,C 答错为事件 D1,记 A,B 答错,C 答对为事件 D2,则

D=D1+D2,且 D1,D2 互斥.……………1 分



P( D1 )

?

1 2

?

1 3

? (1?

1) 4

?

1 8

,………………3



P(D2 ) ?

1 ? (1? 1) ? 1 ? 2 34

A22 A33

?

1 .…………………5 分 36

所以

P(D)

?

P(D1

?

D2

)

?

P( D1 )

?

P(D2

)

?

1 8

?

1 36

?

11 72

.

所以此选手可自由选择答题顺序,必答题总分为 50 分的概率为 11 .……………6 分 72

(Ⅱ)? 可能的取值是100,80,70,50,30,0 .……………7 分

? ? 100 表示 A,B,C 三题均答对,

则 P(? ? 100) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,……………8 分 2 3 4 24

同理, P(? ? 80) ? (1? 1) ? 1 ? 1 ? 1 , 2 3 4 24

P(? ? 70) ? 1 ? (1? 1) ? 1 ? 1 ,

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2 3 4 12

P(? ? 50) ? 1 ? 1 ? (1? 1) ? 1 , 23 4 8

P(? ? 30) ? (1? 1) ? 1 ? (1? 1) ? 1 , 23 4 8

P(? ? 0) ? 1 ? (1? 1) ? (1? 1) ? (1? 1) ? (1? 1) ? 7 ,

2

3

4

2

3 12

所以,? 的分布列为

?

100

80

70

50

30

0

P

1

1

1

1

1

7

24

24

12

8

8

12

……………10 分

所以? 的数学期望

E? ? 100 ? 1 ? 80 ? 1 ? 70 ? 1 ? 50 ? 1 ? 30 ? 1 ? 70 .……………12 分

24

24

12

8

83

19.

(本小题满分 12 分)已知数列{an } 中, a1

? 1, an?1

?

(1 ?

1 n2 )an

?

1 3n?1

,n? N*.

(I)

求证:当 n ? 2且n ? N *时,a n ? 3;

(II) 求证: an ? e3, n ? N * (e 为自然对数的底数,参考数据 ln 3 ? 1.1, ln 4 ? 1.4) .

(I)证明:方法一:

∵ a1

?1?

0 ,由 an?1

?

(1 ?

1 n2 )an

?

1 3n?1

得 a2

?

0,

于是易得 an ? 0 .………………2 分

又 an?1

? an

?

an n2

?

1 3n?1

? 0(n ? N* ) ,即 an?1

? an (n ? N* )

又∵ a2 ? 3 ,∴ an ? a2 ? 3 ( n ? 2).…………………4 分
方法二:数学归纳法
(1)当 n ? 2 时, an ? a2 ? 3 ? 3 ,命题成立.………………1 分

(2)假设当 n ? k ( n ? 2)时命题成立,即 ak ? 3 , 当 n ? k ?1时,

ak ?1

?

(1

?

1 k2

)ak

?1 3k ?1

? ak

? ak k2

?1 3k ?1

? ak

?3

∴ n ? k ?1时命题成立.………………3 分

由(1)(2)可知,当 n ? 2时, an ? 3 .…………………4 分

(II)证明:由(I)知

an?1

?

(1 ?

1 n2

)an

?

1 3n?1

?

(1?

1 n2

)an

?

an 3n?1

1 ? (1?
n2

?

1 3n?1

)an

,……………5



两边取自然对数得: ln

an?1

?

ln

an

?

ln(1 ?

1 n2

?

1 )
3n?1

.………………6



令 f (x) ? ln(1? x) ? x(x ? 0) ,

则当 x ? 0时, f ?(x) ? 1 ?1 ? ? x ? 0 恒成立, 1? x 1? x

∴ f (x) 为[0,? ?) 上的减函数,∴ f (x) ? f (0) ? 0

∴ ln(1 ? x) ? x 在 x ? 0时恒成立,………………7 分

ln an?1

? ln an

?1 n2

?1 3n?1

?

ln

an

?

1 n(n ?1)

?

1 3n?1

?

ln

an

?

1 n ?1

?

1 n

?

1 3n?1

即 ln

an?1

? ln

an

?

1 n ?1

?

1 n

?

1 3n?1

(n

?

2 ),………………9



故, ln an

? ln an?1

?

1 n?2

?

1? n ?1

1 3n?2



ln a ? ln a ? n 1? 3 ? n ?1 2 ? 31 n?1

n?2

n?3

, ww .k@s@5@ u.com

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……………………………

ln

a3

?

ln

a2

?1?

1 2

?

1 ,以上各式相加得: 3

ln an

? ln a2

?1?

1? n ?1

1 [1 ? (1)n?2 ] 33
1? 1

?1?

1 2

?

3 2

,( n

?

3 )…………10



3

又∵ a2

?

3 ,∴ ln an

?

3 2

? ln 3 ?

3 ,∴ an

?

e3 (n

?

3 ),………………11



又∵ a1 ? 1 ? e 3 , a2 ? 3 ? e 3 ,

∴ an ? e3 ( n ? N* ).…………………12 分

20. (本小题满分 13 分)如图,四棱柱 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,A 1 D ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为
1 的正方形, 侧棱 AA 1 =2. (1)求证:C 1 D∥平面 ABB 1 A 1 ; (2)求直线BD 1 与平面 A 1 C 1 D 所成角的正弦值; (3)求二面角 D—A 1 C 1 一 A 的余弦值.

20

21. (本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? (a ? 3b ? 9)ln(x ? 3) ? 1 x2 ? (b ? 3)x . 2
(1)当 a ? 0 且 a ? 1, f ?(1) ? 0 时,试用含 a 的式子表示 b ,并讨论 f (x) 的单调区间;

(2)若 f ?(x) 有零点, f ?(3) ? 1 ,且对函数定义域内一切满足| x |? 2 的实数 x 有 f ?(x) ? 0 . 6
①求 f (x) 的表达式;

②当 x ? (?3, 2) 时,求函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? f ?(x) 的图象的交点坐标.

解:(1) f ?(x) ? x2 ? bx ? a (x ? ?3) , 由 f ?(1) ? 0 ? b ? ?a ?1,故 f ?(x) ? (x ?1)(x ? a)

x?3

x?3

0 ? a ?1时 由 f ?(x) ? 0 得 f (x) 的单调增区间是 (?3, a) , (1, ??)

由 f ?(x) ? 0 得 f (x) 单调减区间是 (a,1)

同理 a ?1时, f (x) 的单调增区间 (?3,1) , (a, ??) ,单调减区间为 (1, a) ……5 分

(2)①由(1)及 f ?(3) ? 1 ? a ? ?3b ? 8 6

(i)

又由| x |? 2 (x ? ?3) 有 f ?(x) ? 0 知 f ?(x) 的零点在[?2, 2] 内,设 g(x) ? x2 ? bx ? a ,

?
则 ?g(2) ? 0
? ?g(?2) ? 0

?a ? ?4 ? 2b ,结合(i)解得 b ? ?4 , a ? 4 ∴ f (x) ? 25ln(x ? 3) ? 1 x2 ? 7x

? ??a ? 2b ? 4

2

? ??2

?

?

b

?

2

???4 ? b ? 4

?

2

②又设?(x) ?

f

(x)?

f? (x),先求 ?(x)

与x

轴在 (?3, 2)的交点∵ ??(x) ?

(x ? 2)2 x?3

?

(

x

25 ? 3)2

?1,



?3 ? x ? 2 得 0 ? (x ? 3)2 ? 25 ;故??(x) ?0 ,?(x) 在 (?3, 2) 单调递增,又?(?2) ?16 ?16 ? 0 ,故?(x) 与

x 轴有唯一交点 (?2, 0) 。即 f (x) 与 f ?(x) 的图象在区间 (?3, 2) 上的唯一交点坐标为 (?2,16) 为所求 .


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