安徽省太和一中2014届高三第一次摸底考试数学试卷


安徽省太和一中 2014 届高三第一次摸底考试数学试卷
一.选择题(50 分) 1.已知 ? , ? ? [ ? A. ? 3 ? ? 3

? ?

, ], 且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0, 则下列结论正确的是( D ) 2 2
C. | ? |?| ? | D. | ? |?| ? |

B. ? ? ? ? 0

2. 已知圆 O 的半径为 2, PB 为该圆的两条切线, B 为两切点, ?APO ? ? . 那么 2S?PAB ? cot 2? PA, A, 设 的最小值为( D )A. ?16 ? 4 2 B. ?12 ? 4 2 C. ?16 ? 8 2 D. ?12 ? 8 2

3. 函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a, b] ? D ,使得函数 f ( x ) 满足:①f ( x ) 在 [ a, b] 内是单调 函数;②f ( x ) 在 [ a, b] 上的值域为 [2a, 2b] ,则称区间 [ a, b] 为 y ? f ( x) 的“倍值区间” .下列函 数中存在“倍值区间”的有 ① f ( x) ? x 2 ( x ? 0) ; ③ f ( x) ? ( D ) ② f ( x) ? e x ( x ?R) ; ④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)
x

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

1 8

(A)①②③④

(B)①②④

(C)①③④
2

(D)①③ )

4. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,a2 ? 1 ,an ? 2 ? (1 ? sin (A) a9 ? a10 (B) a9 ? a10

n? n? )an ? 4 cos 2 , a9 , a10 的大小关系为 C 则 ( 2 2
(D)大小关系不确定

(C) a9 ? a10

5. 已知映射 f : P(m, n) ? P / ( m , n ) ? m ? 0, n ? 0 ? .设点 A?1,3? , B ? 2,2? ,点 M 是线段 AB 上一动 点, f : M ? M .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M 所经过
/
/

的路线长度为(

C )A.

? 3

B.

6. 在直三棱柱 ABC—A 1 B 1 C 1 中,?BAC ?

?
2

? 4

C.

? 6

D.

? 12

AB (不 , AB ? AC ? AA1 ? 1, D和F 分别为棱 AC、 上的动点

包括端点) ,若 C1F ? B1D, 则线段 DF 长度的取值范围为( C )

A. [

2 3 , ] 2 2

B. [

3 ,1) 3

C. [

2 ,1) 2

D. [

2 2 , ] 3 2

?x ? y ? 2 ? 0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? 7. 设 x,y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最大值为 6,则 ?x ? 0 ?y ? 0 ? 1 2 log 3 ( ? ) 的最小值为( A ) A.1 B.3 C.2 D. 4 a b
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8. 用 max( 1 , a2 ,?, an ), min(a1 , a2 ,?, an ) 分别表示 a1 , a2 ,?, an 中的最大与最小者,有下列结论: a

① max( , b) ? max( , d ) ? max( ? b, c ? d , a ? c, b ? d ); a c a ② min(a, b) ? min(c, d ) ? min(a ? c, a ? d , b ? c, b ? d );

c ③若 max(a, b) ? max( , d ), 则 a ? c, b ? d ;
其中正确结论的个数是( B A.0
?

④若 min(a, b) ? min(c, d ), 则 a ? c, b ? d .

) C.2
?

B.1

D.3
? ?

9. 已知两个非零向量 a ? (m ? 1, n ? 1) 和 b ? (m ? 3, n ? 3), 若 cos ? a , b ?? 0 ,则 m ? n 的取值范围是( D ) A. [ 2 ,3 2 ] 10. 设函数 f ( x) ? ? B. [2,6] C. ( 2 ,3 2 ) D. ( 2,6)

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [?1,2] =-2, [1.2] =1, [1] =1, ? f ( x ? 1), x ? 0

若直线 y= kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f (x) 的图象恰有三个不同的交点,则 k 的取值范围是( D ) A. ( , ] 二.填空题(50 分) 11. 已 知 函 数 f ( x) ?| x 2 ? 2 x ? 1 | , 若 a ? b ? ?1 , 且 f (a) ? f (b) , 则 ab ? a ? b 的 取 值 范 围
是 .

1 1 4 3

B. ( 0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

(-1,1)
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
(a ? b ? 0) 的 右 焦 点 , 点 P 在 椭 圆 C 上 , 线 段 PF 与 圆

12. 已 知 F 是 椭 圆 C :

x2 ? y2 ?
13.

? ? 1 2 b 相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为 4



5 3

定 义 在

R

上 的 函 数 f ( x)满足f ( x ? 2) ? 3 f ( x),当x ? [0,2]时, f ( x) ? x 2 ? 2x , 则 .-

x ? [?4,?2]时, f ( x) 的最小值是

1 9
7 .-25
A1

→ → → → 14. 已知OP1=(cosθ,sinθ),OP2=(3-cosθ,4-sinθ),若OP1∥OP2,则 cos2θ= 15. 如图,在面积为 1 的正 ?A1B1C1 内作正 ?A2 B2C2 ,使 A1 A2 ? 2 A2 B1 ,

?????

?????

????? ????? ????? ? ????? B1B2 ? 2B2C1 , C1C2 ? 2C2 A1 ,依此类推,在正 ?A2 B2C2 内再作正

C2 C3 A2 A3 B1 B3

?A3 B3C3 ,……。记正 ?Ai Bi Ci 的面积为 ai (i ? 1,2,??, n) ,
则 a1+a2+……+an=

3 1 (1 ? n ) 2 3

第 15 题

B2

C1

三.解答题(75 分)

16. (本小题满分 12 分) 已知: 直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A,B 两点, 为坐标远点, OA ? OB ? ?4 . O 且 (1) 求证:直线 l 恒过定点; (2) 若 4 6 ?| AB |? 4 30 ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 解: (1)若直线 l 与 x 轴不垂直,设其方程为 y=kx+b, L 与抛物线的交点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由
2 2 ? y ? kx ? b y1 y 2 OA ? OB ? ?4 得 x1 x2 ? y1 y 2 ? ?4 , 即 得 ? y1 y 2 ? ?4, 所 以 y1 y 2 ? ?8 ; 又 由 ? 2 16 ? y ? 4x
? ?

?

?

ky 2 ? 4 y ? 4b ? 0(k ? 0) ,则 y1 y 2 ?

4b ? ?8 ,即 b ? ?2k , k

则 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,因此直线 l 过定点(2,0) ;----------------------------------4 分 若直线 l 与 x 轴垂直,易得 x1 ? x2 ? 2 ,l 的方程为 x ? 2 ,因此直线 l 过定点(2,0) 综上,因此直线 l 恒过定点(2,0) 。----------------------------------------------------------------6 分 (3) 由(1)得 | AB | ?
2

1 ? k 2 16 ( ? 32), 因为 4 6 ?| AB |? 4 30 ,所以 k2 k2

6?

1 1 1? k 2 1 ( 2 ? 2) ? 30, 解之,得 k ? [ ?1,? ] ? [ ,1] -----------------------12 分 2 2 2 k k

17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x 2 ? ax(a ? R). (I)求函数 f (x) 的单调区间. (II)若 f ( x) ? 2 x , 求 a 的取值范围.
2

解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) .???????1 分

f ?( x) ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? x2 ? a = ( x ? 0) , x x
2

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设 g ( x) ? 2x ? ax ? 1 ,只需讨论 g ( x) 在 (0, ??) 上的符号.???????2 分 (1)若

+ ? )上为增函数.???????3 分 (2) 若

a ? 0 ,即 a ? 0 ,由 g ( x) 过定点 (0,1) ,知 g ( x) 在 (0, ??) 上恒正,故 f ?( x) ? 0 , f ( x) 在(0, 4

a 2 ? 0 , a 2 ? 8 ? 0 时, 0 ? a ? 2 2 时, g ( x) ? 0(当 x ? 当 即 知 时, “=”, f ?( x) ? 0 , 取 )故 4 2

f ( x) 在(0,+ ? )上为增函数;????????4 分

当 a ? 8 ? 0 时,由 2x2 ? ax ? 1 ? 0, 得 x ?
2

a ? a2 ? 8 , 4

当0 ? x ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或x ? 时, g ?( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 , 4 4



a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 时, g ?( x) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 . ?x? 4 4 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 上为减函数,在 (0, ), 4 4 4

则 f ( x) 在 (

(

a ? a2 ? 8 , ??) 上为增函数.??????5 分 4

综上可得:当 a ? 2 2 时,函数 f ( x) 的单调增区间(0,+ ? );

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 当 a ? 2 2 时,函数 f ( x) 的单调增区间为 (0, ),( , ??) ; 4 4
函数 f ( x) 的单调减区间为 (

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) .???????6 分 4 4
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(Ⅱ)由条件可得 ln x ? x2 ? ax ? (x ? 0) , 0 则当 x ? 0 时, a ? 令 h( x ) ?

ln x ? x 恒成立,??????8 分 x

ln x 1 ? x 2 ? ln x ? x( x ? 0) ,则 h?( x) ? , ???????9 分 x x
2

方法一:令 k ( x) ? 1 ? x ? ln x( x ? 0) , 则当 x ? 0 时, k ?( x ) ? ?2 x ? 又 h?(1) ? 0 , 所以在(0,1)上, h ?( x) ? 0 ;在(1,+ ? )上, h ?( x) ? 0 .???10 分 所以 h( x) 在(0,1)上为增函数;在(1,+ ? )上为减函数. 所以 h( x)max ? h(1) ? ?1 ,所以 a ? ?1. ?????12 分
2 方法二:当 0 ? x ? 1 时, 1 ? x ? 0, ? ln x ? 0, h ?( x) ? 0 ;

1 ? 0 ,所以 k ( x) 在(0,+ ? )上 为减函数. x

当 x ? 1 时, 1 ? x ? 0, ? ln x ? 0, h ?( x) ? 0 .?????10 分
2

所以 h( x) 在(0,1)上为增函数;在(1,+ ? )上为减函数. 所以 h( x)max ? h(1) ? ?1 ,所以 a ? ?1. ??????12 分 18. (本小题满分 12 分)在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中,设有 A、B、C 三道必答 题,分值依次为 20 分、30 分、50 分.竞赛规定:若参赛选手连续两道题答题错误,则必答题总分 记为零分; 否则各题得分之和记为必答题总分已知某选手回答 A、 C 三道题正确的概率分别为 B、

1 、 2

1 1 、 ,且回答各题时相互之间没有影响 3 4
(I) 若此选手可以自由选择答题顺序,求其必答题总分为 50 分的概率; (Ⅱ) 若此选手按 A、B、C 的顺序答题,求其必答题总分 ? 的分布列和数学期望. 解: (Ⅰ)记总分得 50 分为事件 D,记 A,B 答对,C 答错为事件 D1,记 A,B 答错,C 答对为事件 D2,则 D=D1+D2,且 D1,D2 互斥.?????1 分 又 P( D1 ) ?

1 1 1 1 ? ? (1 ? ) ? ,??????3 分 2 3 4 8

P( D2 ) ?

1 1 1 A2 1 .???????5 分 ? (1 ? ) ? ? 2 ? 3 2 3 4 A3 36
1 1 11 ? ? . 8 36 72 11 .?????6 分 72

所以 P( D) ? P( D1 ? D2 ) ? P( D1 ) ? P( D2 ) ?

所以此选手可自由选择答题顺序,必答题总分为 50 分的概率为 (Ⅱ) ? 可能的取值是 100 80,70,50,30,0 .?????7 分 ,

? ? 100表示 A,B,C 三题均答对,
1 1 1 1 ? ? ? ,?????8 分 2 3 4 24 1 1 1 1 同理, P(? ? 80) ? (1 ? ) ? ? ? , 2 3 4 24 1 1 1 1 P (? ? 70) ? ? (1 ? ) ? ? , 2 3 4 12 1 1 1 1 P(? ? 50) ? ? ? (1 ? ) ? , 2 3 4 8 1 1 1 1 P(? ? 30) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? , 2 3 4 8 1 1 1 1 1 7 P(? ? 0) ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? , 2 3 4 2 3 12
则 P(? ? 100 ) ?
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所以, ? 的分布列为

?

100

80

70

50

30

0

P

1 24

1 24

1 12

1 8

1 8

7 12

?????10 分 所以 ? 的数学期望

E? ? 100 ?

1 1 1 1 1 70 ? 80 ? ? 70 ? ? 50 ? ? 30 ? ? .?????12 分 24 24 12 8 8 3 1 1 )a n ? n ?1 , n ? N * . 2 n 3

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 中, a1 ? 1, a n ?1 ? (1 ? (I) (II) 求证:当 n ? 2且n ? N *时,a
n

? 3;

求证: an ? e3 , n ? N * (e 为自然对数的底数,参考数据 ln 3 ? 1.1, ln 4 ? 1.4 ) .

(I)证明:方法一: ∵ a1 ? 1 ? 0 ,由 a n ?1 ? (1 ?

1 1 )a n ? n ?1 得 a 2 ? 0 , 2 n 3

于是易得 an ? 0 .??????2 分 又 an ?1 ? an ?

an 1 ? n ?1 ? 0(n ? N* ) ,即 an?1 ? an (n ? N* ) 2 n 3

又∵ a2 ? 3 ,∴ an ? a2 ? 3 ( n ? 2 ).???????4 分 方法二:数学归纳法 (1)当 n ? 2 时, an ? a2 ? 3 ? 3 ,命题成立.??????1 分 (2)假设当 n ? k ( n ? 2 )时命题成立,即 ak ? 3 , 当 n ? k ? 1 时,

a k ?1 ? (1 ?

a 1 1 1 )a k ? k ?1 ? a k ? k ? k ?1 ? a k ? 3 2 2 k 3 k 3

∴ n ? k ? 1 时命题成立.??????3 分 由(1) (2)可知,当 n ? 2 时, an ? 3 .???????4 分 (II)证明:由(I)知

a 1 1 1 1 1 )a n ? n ?1 ? (1 ? 2 )an ? nn1 ? (1 ? 2 ? n ?1 )an ,?????5 分 ? 2 n 3 n 3 n 3 1 1 两边取自然对数得: ln a n ?1 ? ln a n ? ln(1 ? 2 ? n ?1 ) .??????6 分 n 3 a n ?1 ? (1 ?

1 令 f ( x) ? ln( ? x) ? x( x ? 0) ,
则当 x ? 0 时, f ?( x) ?

1 ?x ?1 ? ? 0 恒成立, 1? x 1? x

∴ f (x) 为 [0, ?) 上的减函数,∴ f ( x) ? f (0) ? 0 ? ∴ ln(1 ? x) ? x 在 x ? 0 时恒成立,??????7 分

ln an?1 ? ln an ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? n ?1 ? n ?1 ? ln an ? ? n ?1 ? ln a n ? 2 n ?1 n 3 n(n ? 1) 3 n 3

1 1 1 ? ? n ?1 ( n ? 2 ) ,??????9 分 n ?1 n 3 1 1 1 ? ? n?2 , 故, ln a n ? ln a n ?1 ? n ? 2 n ?1 3 1 1 1 ln a n ?1 ? ln a n ? 2 ? ? ? n ?3 , n?3 n?2 3
即 ln an?1 ? ln an ?
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???????????

1 1 ? ,以上各式相加得: 2 3 1 1 [1 ? ( )n?2 ] 1 1 3 3 ( ln an ? ln a2 ? 1 ? ?3 ? 1 ? ? , n ? 3 )????10 分 1 n ?1 2 2 1? 3 3 又∵ a2 ? 3 ,∴ ln a n ? ? ln 3 ? 3 ,∴ a n ? e 3 ( n ? 3 ) ,??????11 分 2 ln a3 ? ln a 2 ? 1 ?
又∵ a1 ? 1 ? e , a2 ? 3 ? e ,
3 3

∴ a n ? e 3 ( n ? N ).???????12 分
*

20. (本小题满分 13 分)如图,四棱柱 ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中,A 1 D ? 平面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, 侧棱 AA 1 =2. (1)求证:C 1 D∥平面 ABB 1 A 1 ; (2)求直线BD 1 与平面 A 1 C 1 D 所成角的正弦值; (3)求二面角 D—A 1 C 1 一 A 的余弦值.

20

1 2 x ? (b ? 3) x . 2 (1)当 a ? 0 且 a ? 1 , f ?(1) ? 0 时,试用含 a 的式子表示 b ,并讨论 f ( x ) 的单调区间; 1 (2)若 f ?( x ) 有零点, f ?(3) ? ,且对函数定义域内一切满足 | x |? 2 的实数 x 有 f ?( x) ? 0 . 6 ①求 f ( x ) 的表达式; ②当 x ? (?3, 2) 时,求函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? f ?( x) 的图象的交点坐标.
21. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? (a ? 3b ? 9)ln( x ? 3) ?

x 2 ? bx ? a ( x ? 1)( x ? a) ( x ? ?3) , 由 f ?(1) ? 0 ? b ? ?a ?1 ,故 f ?( x) ? x?3 x?3 0 ? a ? 1时 由 f ?( x) ? 0 得 f ( x ) 的单调增区间是 (?3, a) , (1, ??) 由 f ?( x) ? 0 得 f ( x ) 单调减区间是 (a,1) 同理 a ? 1 时, f ( x ) 的单调增区间 (?3,1) , (a, ??) ,单调减区间为 (1, a ) ??5 分 1 (2)①由(1)及 f ?(3) ? ? a ? ?3b ? 8 (i) 6 2 又由 | x |? 2 ( x ? ?3) 有 f ?( x) ? 0 知 f ?( x ) 的零点在 [?2, 2] 内,设 g ( x) ? x ? bx ? a ,
解: (1) f ?( x) ? 则 ? g (2) ? 0 ?
? ? a ? ?4 ? 2b ,结合(i)解得 b ? ? g ( ?2) ? 0 ? ? a ? 2b ? 4 ? ? ?4 ? b ? 4 b ? ??2 ? ? ? 2 ? 2

1 ? ?4 , a ? 4 ∴ f ( x) ? 25ln( x ? 3) ? x 2 ? 7 x 2

②又设 ? ( x ) ? f ( x ) ? f ? ( x ),先求 ? ( x) 与 x 轴在 (?3, 2)的交点∵ ? ?( x) ?

( x ? 2)2 25 ? ?1 , 由 x ? 3 ( x ? 3)2 ?3 ? x ? 2 得 0 ? ( x ? 3)2 ? 25 ; ? ?( x) ? ,? ( x) 在 (?3, 2) 单调递增, ? (?2) ? 16 ? 16 ? 0 , ? ( x) 与 0 故 又 故 x 轴有唯一交点 (?2, 0) 。即 f ( x) 与 f ?( x ) 的图象在区间 (?3, 2) 上的唯一交点坐标为 (?2,16) 为所求 .


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