山东省潍坊市寿光现代中学2011届高三质量检测(数学文)

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潍坊市寿光现代中学 2011 届高三阶段检测

数 学 试 题(文)
时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M= {0,1, 2} ,N= { x | x = a 2 , a ∈ M } ,则集合 M ∩ N= A. {0} 2.下列说法错误的是 .. A.已知命题 p 为“ ?x ∈ [0, +∞),(log3 2) x ≤ 1 ” ,则 ?p 是真命题 B.若 p ∨ q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题 C. x >2 是 x >1 充分不必要条件 D. “全等三角形的面积相等”的否命题是假命题 3.下列各式中,值为 A. sin 75° cos 75°
tan15° 1 ? tan 2 15° 1 4.函数 f ( x) = 的图象是 1+ | x |

( D. {0, 2} (



B. {0,1}

C. {1, 2}



2 的是 2

( B. 2 cos 2 D.



π
8

?1

C.

1 ? cos( ?240°) 2





5. α 为三角形的一个内角, tan α = ? A. ?
12 13

5 ,则 cos α = 12

( D.
12 13



B. ?

5 13

C.

5 13

6.为了得到函数 y = sin(2 x ? A.向左平移 C.向右平移

π
3

) 的图象,只需把函数 y = sin(2 x +

π
6

) 的图象





π
4

个单位 个单位

B.向左平移 D.向右平移

π
2

个单位 个单位

π
4

π
2

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7.设 ω > 0 ,函数 y = sin(ω x + 小值是 A.
2 3

π
3

) + 2 的图象向右平移

4π 个单位后与原图象重合,则 ω 的最 3

( B.
4 3



C.

3 2

D.3 (
2π 2π , ] 3 3

8.函数 y = 3 sin x + cos x 的一个单调递减区间是 A. [?



π π , ] 2 2

B. [?π , 0]

C. [?

π 4π D. [ , ] 3 3
( )

9.如图表示函数 f ( x) = A sin(ω x + ? ) (其中 A > 0,| ? |< A. sin( x + ) 6 C. sin(2 x ? ) 3

π
2

)的图象,则 f ( x) =

π

B. sin( x + ) 3
x π D. sin( ? ) 2 3

π

π

? a, ( a ≤ b) 10.已知 a * b = ? ,则 f ( x) = x 2 *[(6 ? x) * (2 x + 15)] 的最大值为 b, ( a > b ) ?





B.9 C.16 1 1 11.函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) = ,则 f ( x) 的最小值是 x |x| A.2 B. 2 2 C.

A.4

D.25 ( )

2 2 2 D. 3 3 12.偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) = f ( x + 1) ,且在 x ∈ [0,1] 时, f ( x) = ? x + 1 ,则关于 x 的方程 1 f ( x) = ( ) x ,在 x ∈ [1,3] 上解的个数是 10

( C.3 D.4



A.1

B.2

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

π ? 1 ?sin(π x + ),( x ≤ 0) 13.已知函数 f ( x) = ? ,则 f [ f ( )] = 6 2 ?log x, ( x > 0) ? 2
14.曲线 C : f ( x) = sin x + e x + 2 在 x = 0 处的切线方为 15.函数 y = 2sin x ? 1 + lg(1 ? x 2 ) 的定义域是 .





16.已知函数 y = f ( x) 的图像关于点(-1,0)对称,且当 x ∈ (0, +∞) 时, f ( x) =
x ∈ (?∞, ?2) 时, f ( x) =

1 ,则当 x



三、解答题(共 6 个大题,共 74 分,写出必要的文字说明、证明过程、演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 已知 ?

π

1 < x < 0,sin x + cos x = . 2 5

(Ⅰ)求 sin x ? cos x 的值;
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3sin 2

(Ⅱ)求

x x x x ? 2sin cos + cos 2 2 2 2 2 的值. tan x + cot x

18. (本题满分 12 分) 已知: f ( x) = 2 3 cos 2 x + sin 2 x ? 3 + 1( x ∈ R). 求: (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)若 x ∈ [?

π π

, ] 时,求 f ( x) 的值域。 4 4

19. (本题满分 12 分) 16 x ? 7 1 已知集合 A = {x | < 0}, B = {x || x ? m 2 |≥ } ,命题 P : x ∈ A , x?2 4 命题 Q : x ∈ B ,并且命题 P 是命题 Q 的充分条件,求实数 m 的取值范围。 20. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = ax3 ? 6ax 2 + b, x ∈ [ ?1, 2] 的最大值为 3,最小值为-29,求实数 a 、 b 的值。

21. (本题满分 12 分) 已知二次函数 y = f ( x) 的图象如图所示. (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [t , t + 2] 上的最大值 h(t ) ; 22. (本小题满分 14 分)
a ( a > 0), 设 F ( x) = f ( x) + g ( x). x (Ⅰ)求函数 F ( x) 的单调区间;

已知函数 f ( x) = ln x, g ( x) =

(Ⅱ)若以函数 y = F ( x)( x ∈ (0,3]) 的图象上任意一点 P ( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)是否存在实数 m ,使得函数 y = g (

1 2

2a ) + m ? 1 的图象与函数 y = f (1 + x 2 ) 的图象恰 x +1
2

有四个不同的交点?若存在,求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由。

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参考答案
1-12 BABCA,CCDBB,DB 13. ?
1 2

14. 2 x ? y + 3 = 0

π 15. [ ,1) 6

16.

1 . x+2

1 1 17.解: (1)由 sin x + cos x = ,平方得 sin 2 x + 2sin x cos x + cos 2 x = , 5 25

即 2sin x cos x = ? 又∵ ?

24 . 25

∵ (sin x ? cos x) 2 = 1 ? 2sin x cos x =

49 . 25

π
2

< x < 0,∴ sin x < 0, cos x > 0,sin x ? cos x < 0,

7 故 sin x ? cos x = ? . ……………………6 分 5

3sin 2

(2)

x x x x x ? 2sin cos + cos 2 2sin 2 ? sin x + 1 2 2 2 2= 2 sin x cos x tan x + cot x + cos x sin x

= sin x cos x(2 ? cos x ? sin x) = (?
12 1 108 ) × (2 ? ) = ? ……………………12 分 25 5 125

18.解: f ( x) = sin 2 x + 3(2cos 2 x ? 1) + 1 = sin 2 x + 3 cos 2 x + 1 = 2sin(2 x +

π
3

) + 1 ……………………4 分 2π = π ……………………5 分 2

(Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期为 T = (Ⅱ)由 2kπ ?
∴ kπ ?

π
2

≤ 2x +

π
3

≤ 2kπ +

π
2

,得 2kπ ?

5π π ≤ 2 x ≤ 2kπ + 6 6

5π π ≤ x ≤ kπ + , ( k ∈ Z ) 12 12

5π π? ? ∴ 函数 f ( x) 的单调增区间为 ? kπ ? , kπ + ? , (k ∈ Z ). ……………………9 分 12 12 ? ? π ? π 5π ? ? π π? (Ⅲ)因为 x ∈ ? ? , ? ,∴ 2 x + ∈ ? ? , ? , 3 ? 6 6 ? ? 4 4? ? 1 ? ) ∈ ? ? ,1? ∴ f ( x) ∈ [ 0,3]. ……………………12 分 3 ? 2 ? 7 19.解: A = {x | < x < 2} ……………………3 分 16 ∴ sin(2 x +

π

由 | x ? m 2 |≥

1 1 1 ,解得 x ≤ m 2 ? 或 x ≥ m 2 + 4 4 4

1 1? ? ∴ B = ? x | x ≤ m 2 ? 或 x ≥ m 2 + ? ……………………7 分 4 4? ? ∵ 命题 P 是命题 q 的充分条件,∴ A ? B ……………………9 分

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1 1 7 ∴ 2 ≤ m2 ? 或 m2 + ≤ 4 4 16

3 3 3 3 解得实数 m 的取值范围是 (?∞, ? ] ∪ [? , ] ∪ [ , +∞) ……………………12 分 2 4 4 2 20.解:求出 f ′( x) = 0 在[-1,2]上的解,研究函数 f ( x) 的增减性:

令 f ′( x) = 3ax 2 ? 12ax = 3a( x 2 ? 4 x) = 0 ,……………………2 分 显然 a ≠ 0 ,否则 f ( x) = b 为常数,矛盾,
∴ x = 0.

若 a > 0 ,列表如下:
x f ′( x) f ( x)

(-1,0) + 增函数

0 0 最大值 3

(0,2) 减函数

由表可知,当 x = 0 时 f ( x) 取得最大值,∴ b = 3 ,又 f ′(0) = ?29 ,则 f (2) < f (0) ,这不可 能, ∴ f (2) = 8a ? 24a + 3 = ?16a + 3 = ?29,∴ a = 2 ;……………………8 分 若 a < 0 ,同理可得 a = ?2, b = ?29. ……………………12 分 21.解: (Ⅰ)设二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c(a ≠ 0)
? ?c = 0 ? a = ?1 ? ? ? 2 (Ⅰ)由图象知: ? a ? 8 + b ? 8 + c = 0 解之得: ?b = 8 , ? ?c = 0 2 ? ? 4ac ? b = 16, ? 4a ?
∴ 函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) = ? x 2 + 8 x ……………………6 分

(Ⅱ)∵ f ( x) = ?( x ? 4) 2 + 16 ,
∴ 当 t > 4 时, f ( x) 的最大值是 f (t ) = ?(t ? 4) 2 + 16 ;

当 t ≤ 4 ≤ t + 2 ,即 2 ≤ t ≤ 4 时, f (t ) 的最大值是 f (4) = 16 ; 当 t + 2 < 4 ,即 t < 2 时,
f ( x) 的最大值是 f (t + 2) = ?(t ? 2) 2 + 16.

??(t ? 2) 2 + 16; t < 2; ? ∴ h(t ) = ?16, 2 ≤ t ≤ 4; ……………………12 分 ? 2 ??(t ? 4) + 16, t > 4

22.解: F ( x) = f ( x) + g ( x) = ln x +

a ( x > 0) , x

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1 a x?a ? = 2 ( x > 0) ∵ x > 0 , x x2 x 由 F ′( x) > 0 得 x > a . ∴ F ( x) 在 (a, +∞) 上单调递增, 由 F ′( x) < 0 ,得 0 < x < a , ∴ F ( x) 在 (0, a ) 上单调递减. ∴ F ( x) 的单调递增区间为 (a, +∞) ,单调递减区间为 (0, a ) .……………………4 分 x ?a 1 x?a (2) F ′( x) = 2 (0 < x ≤ 3), k = F ′( x0 ) = 0 2 ≤ (0 < x0 ≤ 3) x x0 2 F ′( x) =

1 2 1 0 1 1 恒成立,即 a ≥ ? x0 + x0 在 (0,3] 恒成立,当 x0 = 1 时, ? x2 + x0 取最大值 ,∴ a ≥ 即 a 2 2 2 2

的最小值为

1 .……………………8 分 2 2a 1 1 ) + m ? 1 = x 2 + m ? 的图象与 y = f (1 + x 2 ) x +1 2 2
2

(3)若 y = g (

1 1 = ln( x 2 + 1) 的图象恰有四个不同的交点,即 x 2 + m ? = ln( x 2 + 1) 有四个不同的根, 2 2

亦即
m = ln( x 2 + 1) ? 1 2 1 x + 有四个不同的根。……………………10 分 2 2

令 G ( x) = ln( x 2 + 1) ?

1 2 1 2x 2 x ? x3 ? x ? x( x + 1)( x ? 1) x + 则 G ′( x) = 2 ?x= = 2 2 x +1 x2 + 1 x2 + 1 当 x 变化时, G ( x), G ′( x) 的变化情况如下表: x (?∞, ?1) (1, +∞) (-1, (0, 0) 1) G ′( x) + + G ( x)

1 由表格知: G( x )极 小 值 = G (0) = , G( x )极 大 值 = G (1) = G (?1) = ln 2 > 0. 2 1 1 ∴ 当 m ∈ ( , ln 2) 时 , y = G ( x) 与 y = m 恰 有 四 个 不 同 的 交 点 , 即 当 m ∈ ( , ln 2) 时 2 2 y = g( 2a 1 1 ) + m ? 1 = x 2 + m ? 的图象与 x +1 2 2
2

y = f (1 + x 2 ) = ln(1 + x 2 ) 的 图 象 恰 有 四 个 不 同 的 交 点 . … … … … … … … … 14 分

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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