2015江苏省苏州市第五中学高三数学二轮专题复习:第10讲向量及应用

专题
一 基础知识

第 10 讲:向量及应用

姓名:

1.向量的代数运算(加法与减法、实数与向量的积、平面向量的数量积、向量的坐标运算)
2.向量的几何运算(向量加法、减法的几何意义、向量垂直、向量平行) 3.向量的应用(向量的工具性、与三角函数、解析几何综合)
二 基础达标

1.若向量 a ? (cos? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,则下列命题一定正确的是( )

(1) a ∥ b ; (2) a ? b ; (3) a 与 b 的夹角为? ? ? ; (4) (a ? b) ? (a ? b)
2.一质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态。已知 F1, F2 成 1200,且 F1,F2 的大小都是 2,则 F3 的大小为

3.已知向量 OA, OB,OC ,满足条件 | OA |?| OB |?| OC |? 2 ,且 OA ? OB ? OC ? 0 ,判

断△ABC 的形状。

4.已知 a=(2cos α,2sin α), b=(3cos β,3sin β),若 a、b 的夹角为 60°,则直线 xcos α- ysin α+21=0 与圆(x-cos β)2+(y+sin β)2=12的位置关系是
5. 已知直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, ?ADC ? 90 ,AD=2,BC=1,P 是腰 DC 上的动点,则

| PA ? 3PB | 的最小值为

.

6.已知 P(1,cos x),Q(cos x,1),x∈[-π4,π4]. (1)求向量O→P和O→Q的夹角 θ 的余弦值 f(x); (2)求 cos θ 的最值.
三 探究提高

1.如图,在 ?OAB 中,已知 P 是线段 AB 上的一点,OP ? xOA ? yOB.

(1)若 BP ? PA ,求 x, y 的值;

(2)若 BP ? 3PA,| OA |? 4,| OB |? 2 ,且 OA 与 OB 的夹角为 60°时,求 OP ? AB 的值;

(3)若| OA |? 4,| OB |? 2,且OA与OB的夹角为60? ,求向量 OA ? tOB 的模的最小值,这 里 t ? R.

2.给定两个长度为 2 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 1200,如图所示,点 C 在以 0 为圆心的圆弧上变动。若 OC ? xOA ? yOB ,其中 x, y ? R ,求 x ? y 的最大值。

3.如图,在 Rt ?ABC 中,已知 BC ? a,若长为2a的线段PQ以点A为中点, 问:PQ与BC

的夹角? 取何值时, BP ? CQ 的值最大?并求这个最大值.

C

Q

A B
P

思考题.已知椭圆: x2 ? y2 ? 1, A、B 为椭圆的左、右顶点,设 p 为直线 x ? 4 上不同于点 4
(4,0)的任意一点,若直线 AP 与椭圆交于异于 A 的点 M。 证明:△MBP 为钝角三角形
四 学后反思

检测案——

第十讲:向量及应用

姓名:

1.已知平面向量?, ?, ? ?1, ? ? 2,? ? (? ? 2? ), 则 2a ? ? 的值是



D

C

2.如图, AB 是半圆 O 的直径, C, D 是弧 AB 三等分点,

A MON
M , N 是线段 AB 的三等分点,若 OA ? 6 ,则 MD ? NC 的值是 。

B

3.已知两点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 证明:以线段 AB 为直径的圆的方程为 (x ? x1)(x ? x2 ) ? ( y ? y1)( y ? y2 ) ? 0
4.已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得 AB ? AC ? m AM 成 立,则 m = 。

5.?ABC的三条边长分别 a,b,c,以A为圆心, r 为半径作圆,问直径 PQ 的两个端点 P,

Q 位于何处时, BP ? CQ 有最大值?并求出最大值.

P A

Q B
C

课外训练

1.若向量 a=(1,2),b=(1,-1),则 2a ? b 与 a ? b 的夹角

2.已知向量 a ? e,| e |?1,对任意 t ? R ,恒有| a ? te |?| a ? e | ,向

量 e 与 a ? e 的夹角为

.

3.在△ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=2,则 OA ? (OB ? OC) 的最小值是 。

→→→ 4.如图,O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠AOC=120°,向量OA,OB,OC的模
分别为 2,1,3. →→→
(1)求|OA+OB+OC|; → →→
(2)若OC=mOA+nOB,求实数 m,n 的值.

5.设向量 a ? (4cos?,sin?),b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ). (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值;(2)求| b ? c | 的最大值; (3)若 tan? tan ? ? 16 ,求证: a // b .

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