第五届全国高中数学青教师观摩与评比活动:《指数函数的图象与性质》教案与说课稿

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普通高中课程标准实验教科书 数学必修 1 《指数函数及其性质》教学设计 授课教师: 学校:

学科:数学

课题:指数函数的图象与性质

教学目标 通过教学,使学生掌握指数函数的定义,会画指数函数的图象,掌握指数函数的性质,并会简 单应用。 通过函数的作图,由学生观察,归纳出函数所具有的性质,提高学生观察、归纳的能力。 通过例题与练习,使学生会利用指数函数的图象与性质解决比较大小、求定义域、作图等问题。 通过教学,使学生进一步了解学习一种新函数的方法。 教学重点与难点 重点:指数函数的定义、图象与性质。 难点:弄清底数 a 对函数数值变化的影响,指数函数图像和性质的发现过程,能应用指数函数的 图象与性质解决问题。 教学过程 教学 环节 (一) 创 设 情 境 , 引 入 新 课 教师活动 学生活动 设计意图 从生物学 中及古数 学中的问 题创设情 景引课, 实 例简单而 又能激发 学生的兴 趣, 达到激 趣引学的 目的。 再结 合章前的 两种形式 的关系式, 丰富的实 例, 便于通 过研究函 数式的特 点引入新 课。

1) 课件演示细胞的分裂过程。 提出问题: “第 x 次分裂, 观 察 并 积 极 细胞的个数 y 与分裂次数 x 之间的关系是怎样的?” 思考,建立细 胞个数 y 与分 2) “一尺之棰,日取其半,万世不竭” 。木椎截取 x 次 裂次数 x 的函 后,剩余量 y 与 x 有怎样的函数对应关系? 数关系。 (可列表引导得出:1→ 2 ;2→ 2 ;…;x→ 2 ) 答: 细胞个数 y 与 x 的函数关系式是 y=2x,
0 1 x

1 ( )x 学生观察四 木棰的剩余量 y 与 x 的函数对应关系是 y= 2 。
3)章前中 GDP 年平均增长问题的解析式 y=1.073x 4)生物机体碳 14 衰减问题的解析式 个关系式说 其特点

1 ( ) Y= 2

t 5730

引导学生观察式子的特点与我们学过的函数有什么不 同?然后给出课题。

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(一)利用课件给出指数函数的定义,引导学生分析: 一.指数函数的定义: 师生互动,共 (二) 一般地,形如 y=ax(a>0 且 a≠1)的函数叫做指数函数。 同 完 成 性 质 发 定义域取全体实数。 特点的认识 现 与理解。 问 思考 1:为什么定义中要规定底数 a>0,且 a≠1? 题, 思考 2:下列函数是否是指数函数: (1)y=0.2x (2)y=(-2)x (3)y=1x (4)y=(1/3)x 深 化 (5)y=2x+1 概 念 小结:指数函数的特点是 (1)y=ax 的形式 (2)底数 a>0 且 a≠1

学生自主 思考, 完成 题目思考 1 和 2,师 生互动, 共 同完成对 指数函数 的定义理 解与剖析。

设置了以下三个问题, (1)怎样得到指数函数的图像? (2)指数函数图像的特点(3)通过图像,你能发现指 数函数的那些性质?以这三个问题为载体,带领学生进 入本节课的发现问题,动手操作来画图。

1 ( )x 1 要求学生.画出 y=2x 与 y= 2 的图像
2.教师演示几何画板画出的底数取值不同时图像的不同 情况。 (三) 动 学生画出图 象,师生共同 评价。 教师几何画

学生通过 自己动手 画图, 观看 教师几何 画板演示 图, 之后学

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手 操

3.学生观察图像来画出底数分别为 a 大于 1 和 a 在 0 到 1 之间两种情况下的指数函数的 作, 草图。

画 出 图 像

板演示画图 后,学生画出 草图对于两 种情况下的 草图。

生画出草 图, 几种形 式的画图 识图获得 充分的感 性认识, 为 学生探究 性质做好 准备。

(1) 观察图像, 四人小组为单位发现指数函数的性质。 (2)小组派代表来展示发现的性质。 (3)师生共同归纳整理发现的性质

指数函数 y=ax 图像特征 (1)这些图像都位于 x 轴 上方 (四) 观 察 图 像, 探 究 性 质 (2) 这些图像都 过点(0,1) (3) 自左向右看,图像Ⅰ 逐渐上升,图像Ⅱ逐渐 下降 (4) 图像Ⅰ在第一象限内 的纵坐标都大于 1, 在第 二象限内的纵坐标都小 于 1; 图象Ⅱ正好相反。

指数函数 y=ax 的性质 (1)x 取任何实数时,ax >0 即定义域为 R,值域为(0,+∞) (2)无论 a 为任何正数, 总有 a0=1 四人小组合 作学习,探究 性质。

(3)当 a>1 时, y=ax 是增函数; 师生互动总 当 0<a<1 时, y=ax 是减函数 结性质。 (4) 当 a>1 时, 若 x>0,则 ax>1 若 x<0,则 0< ax <1 当 0<a<1 时 若 x<0,则 ax >1 若 x>0,则 0< ax <1

学生独立完 成表格的填 写。

让学生由 初中的 “看 图说话” 的 水平, 提升 到高中的 严格推理 的层面上 来。

问题:通过前面的学习,你认为如何把握指数函数的图 像和性质? 引导学生通过图像特征, 将指数函数的底数 a 分成两类, 得出两类指数函数的代表图像。教师给出指数函数的图 像和性质表。

难点突破: 采用学生 合作交流 的方法, 引 导学生通 过数形结 合, 利用两 个底数特

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a>1

0<a<1

殊的指数 函数的图 像将本节 课难点突 破。

图象

(1)定义域:R (2)值域为(0,+∞) 性 质 (3) 过点(0,1) ,即 x =0 时,y =1 (4)在R上是增函数 (5)当 x>0 时,y>1 当 x<0 时,0< y <1 (4)在R上是减函数 (5)当 x<0 时,y >1 当 x>0 时,0<y <1 以表格的 形式归纳 总结指数 函数的性 质, 以展示 研究函数 的一般方 法: 研究定 义域;值 域; 单调性 等。

教师点拨:

1)单调性的说明能否由图像语言结合文字语言翻译为 符号语言?

师生共同梳 理小组同学 的发现。

2)教师点拨当底数不同函数值的变化不同来说明可以 用来比较函数值的大小。

便于学生 更加深刻 清晰的理 解指数函 数的单调 性, 为学生 后面利用 单调性比 较大小做 了很好的 铺垫。 学生互为 补充完成 图像的特 点的思考, 进一步得 出函数的 图形及解

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析式的特 点。

1 ( )x 3)观察将 y=2x 与 y= 2 的图像
同时展示于一个坐标系,观察图像有何特点? 能否由一个图像来得出另一个图像? 结论: 对称性: (1)y=ax 单个图像不具备对称性, (2)底数互为倒数的两个指数函数图像在同一坐标系 下关于 y 轴对称。从形式上可变为 y=ax 与 y=a-x

为学生画 图像时, 利用对称 性画图提 供了方法 和思路。 同 时提升学 生对性质 的理解。

你能根据指数函数的定义解决课本练习题吗? 练习 1 在同一坐标系中, 画出 y= y=(1/3)x 和 y=(3)x 函数 的图象。 练习 2 求下列函数的定义域: (1) y=(3)x (2) y=(1/2)x ① y=(3) y=(1/2) 教师提出问 题,学生独立 思考互相补 充共同总结。

x?2

1 x

例 1, 已知指数函数 f ( x) ? a x (a ? 0 , 且a ? 1) 的图象经点 (3, ? ) , 求 f (0) , f (1) , f (?3) 分析:你能说出确定一个指数函数需要几个条件吗? 活动: 师:投影出例题(题目见教科书)并引导学生分析,当函 数图象过某点时,该点的坐标满足该函数解析式,即当
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时, (五) 强 化 训 练, 巩 固 双 基 例2 比较大小;

.师板书其过程。

生:独立思 考,尝试解决 课本练习 1,

明确底数 是确定 指数函数 的要素.

(1)1.7 ,1.7
2.5 ?0.1 0.3

3

(2)0.8 , 0.8 (3)1.7 , 0.9

?0.2

3.1

本课你学到了哪些知识? 掌握了哪些方法? 领会了哪些思想? 还有哪些困惑?

生:思考, 叙述 解决例 1 的步 骤和过程,并 自己动手算 出结果。

应用是加 深理解概 念最有效 的途径, 紧 扣教材应 当成为教 与学的立 足点。 课件 演示结合 教师板书 规范了解 题过程, 培 养了基本 技能。

1.课后练习题 59 页习题 2.1A 组 5,6 题 2.小组同学继续探究指数函数的性质; ①完成:指数函数的性质的探究报告。 ②思考:除了由图像发现性质,能否通过解 析式的演绎推理的方法来得到指数函数的性质。 学生思考后 来说方法,教
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启发引导 学生用函 数思想解 决比较大

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3、探究签合同问题 A 先生从今天开始每天给你 10 万元,而你承担如下任务: 第一天给 A 先生 1 元,第二天给 A 先生 2 元,,第三天给 A 先生 4 元,第四天给 A 先生 8 元,依次下去,…,A 先生要和 你签定 15 天的合同,你同意吗?又 A 先生要和你签定 30 天的合同,你能签这个合同吗?

师 出 示 规 范 小的问题, 的解题格式。 是 指 数 函 数图像与 性质的巩 固和应用。

生:思考、小 组讨论,推举 代表叙述,其 他同学补充; 师:根据学生 回答的情况 进行评价和 补充. (六) 归 纳 总 结, 拓 展 深 化 组织小结、 完善内容, 鼓励学生 反思课堂 全程, 通过 对知识的 产生、发 展、 应用的 体验和探 索; 促使个 体认知结 构的完善

(七) 布 置 作 业, 提
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探究报告, 将会引发 学生继续 探究指数 函数的相 关的性质, 更进一步 的思考和 研究之中。 签合同问 题, 又将激 发学生兴 趣, 增强学

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201 0 年 9 月 14

高 升 华

日 指 数 函 数 的图象与性质教学设计 授课教师:张燕

生应用意 识。 从而达 到知识在 课堂以外 的延伸。

普通高中课程标准实验教科书 数学必修 1 《指数函数及其性质》 教学设计说明

授课教师: 指数函数及其性质教学设计说明 新课标指出: 学生是教学的主体,教师的教应本着从学生的认知规律出发,以学生活动为主 线,在原有知识的基础上,建构新的知识体系。我将以此为基础对教学设计加以说明。 数学本质: 探究指数函数的性质从“数”的角度用解析式不易解决,转而由“形”——图象突破,体会数 形结合的思想。通过分类讨论,通过研究两个具体的指数函数引导学生通过观察图象发现指 数函数的图象规律,从而归纳指数函数的一般性质,经历一个由特殊到一般的探究过程。引 导学生探究出指数函数的一般性质,从而对指数函数进行较为系统的研究。 教材的地位和作用: 本节课是全日制普通高中标准实验教课书《数学必修 1》第二章 2.1 .2 节的内容,研究指数函 数的定义,图像及性质。是在学生已经较系统地学习了函数的概念,将指数扩充到实数范围 之后学习的一个重要的基本初等函数。它既是对函数的概念进一步深化,又是今后学习对数 函数与幂函数 的基础。因此,在教材中占有极其重要的地位,起着承上启下的作用。 此外, 《指数函数》的知识与我们的日常生产、生活和科学研究有着紧密的联系,尤其体现在 细胞分裂、贷款利率的计算和考古中的年代测算等方面,因此学习这部分知识还有着广泛的 现实意义。 三、教学目标分析: 根据本节课的内容特点以及学生对抽象的指数函数及其图象缺乏感性认识的实际情况,确定
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在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和由图象得出的性质为本节教学重点。本 节课的难点是指数函数图像和性质的发现过程。 为此,特制定以下的教学目标: 1)知识目标(直接性目标) :理解指数函数的定义,掌握指数函数的图像、性质及其简单 应用、能根据单调性解决基本的比较大小的问题. 2)能力目标(发展性目标) :通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力,体会数形 结合和分类讨论思想,增强学生识图用图的能力 。 3)情感目标(可持续性目标) : 通过学习,使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关 系,用联系的观点看问题。体会研究函数由特殊到一般再到特殊的研究学习过程;体验研究 函数的一般思维方法。引导学生发现数学中的对称美、简洁美。善于探索的思维品质。 教学问题诊断分析: 学生知识储备: 通过初中学段的学习和高中对集合、函数等知识的系统学习,学生对函数和图象的关系已经 构建了一定的认知结构。 学情分析: 由于我所教学生数学的理解能力、运算能力、思维能力等方面有一部分是较好的,但整体是 水平参差不齐。高一这个年龄段的学生思维活跃,求知欲强,能够勇于表现自我,展现自我, 愿意合作交流。但在思维习惯上与方法上还有待教师引导。 可能存在的问题与策略: 问题 1. 学生能够从具体的问题中抽象出数学的模型但对于指数函数的定义中底数的取值范围和指数 函数形式的判断有困难。 教学策略: 类比着二次函数,对于底数的范围的取值,引导学生回顾指数幂中当指数为全体实数时,底 数怎样取值才能一直有意义,以问题的形式引发学生思考底数能否取负数、正数、 0、1?从 而得到底数的范围。 学生对: 1)y=-3x 2)y=31/x 3) y=31+x 4) y=(-3)x 5) y=3-x=(1/3) x 几种形式的函数的判断,加强对指数函数形解析式的理解和辨别: 问题 2. 学生初中阶段就接触过函数,但对于学生而言,指数函数是完全陌生的函数。学生列表时, 数值的选取上可能会少取或是数值的选取不能照顾到全体实数,画图时,又容易受以前学过 的函数图像的影响,把指数函数的图像画成已经学过的图像的形象。 教学策略:在列表格时自变量的取值以及如何画出指数函数的图像的问题上,采用启发 式教学法,类比学过的函数图形的画法,引导学生画图,画完图后,又利用实物投影仪展示 一位同学的图像,由全班同学进行提出意见纠错来补充画图的不足。 另外为了让学生增强识图、用图的能力可以让学生根据观察到的指数函数的图像,来画出底 数不同取值范围内的的草图,以便于探究性质。 问题 3. 函数定义给出后,底数 a 如何分类讨论的情况学生难以做到,如果处理不好,这对于指数函数
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质探究时的分类讨论有很重要的意义。 教学策略:在定义中对于底数的取值范围的讨论后,得出了底数 a>0 且 a≠1。此时,在数轴 上把 a 的范围表示出来,这样学生很容易从数轴上的区间图看出底数分为两类情况进行讨论。 这样为指数函数质探究时的分类讨论埋下了伏笔。 问题 4 . 通过两个具体的特殊的指数函数图像,来探究得出指数函数的性质。如何使学生能经历从特 殊到一般的过程,这种由特殊到一般再到特殊的思想的领会,如何完成? 教学策略:教师利用几何画板分别画出了底数大于 1 的和底数在 0 到 1 之间的若干个不同的 指数函数的图像,展现不同的底数的变化时图像的不同情况,从而让学生经历由特殊到一般 的过程。 问题 5. 指数函数是学生在学习了函数基本概念和性质以后接触到得第一个具体函数,学生可能找不 到研究问题的方法和方向. 教学策略:在这部分的安排上,我更注意学生思维习惯的养成,即应从哪些方面,哪些角度 去探索一个具体函数。 问题 6. 学生得到的性质特点可能是杂乱的,如何梳理突出主要的性质? 教学策略:在学生识图、用图、合作探究的过程后,利用两个表格的填写,让学生感受由图 象特征来得到函数的性质的过程。表格主要呈现五个方面的性质与特点。

五、教法分析: 为充分贯彻新课程理念,使教学过程真正成为学生学习过程,让学生体验数学发现和创造的 历程,本节课拟采用直观教学法、启发发现法、课堂讨论法等教学方法。以多媒体演示为载 体,启发学生观察思考,分析讨论为主,教师适当引导点拨,以动手操作、合作交流,自主 探究的方式来让学生始终处在教学活动的中心。 六、预期效果分析: 1、教学环节环环相扣,层层深入,并充分体现教师与学生的交流互动,在教师的整体调控下, 学生通过动手操作,动眼观察,动脑思考,亲身经历了知识的生成和发展过程,使学生对知 识的理解逐步深入。 2、简单实例的引入,顺利完成了知识的迁移,从得出指数函数的模型,符合学生认知规律的 最近发展区。 3、 而作业中完成指数函数性质的探究报告,弥补课堂时间有限探究和展示的局限性, 带领学生进入对指数函数更进一步的思考和研究之中,从而达到知识在课堂以外的延伸。 4、在整个教学过程中,由于学生是自觉主动地发现结果,对所学知识应该能够较快接 受。因此,我认为可以达到预定的教学目标。

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