【2013丰台二模】北京市丰台区2013届高三下学期统一练习(二)文科数学Word版含答案

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二)

数学(文科)

第一部分(选择题 共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项.

1. 复数 i(3 ? 4i) 的虚部为

(A)3

(B) 3i

(C)4

(D) 4i

2. 若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的

(A)充要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分而不必要条件

(D)既不充分又不必要条件

3. 设向量 a=(4,x),b=(2,-1),且 a?b,则 x 的值是

(A)8 (B)?8

(C)2

4. 双曲线 x2 ? y2 ? 1的离心率为 23

(D) -2

13 (A) 2

13 (B) 3

10 (C) 2

10 (D) 3

5. 下列四个函数中,最小正周期为? ,且图象关于直线 x ? ? 对称的是
12

(A) y ? sin( x ? ? ) 23

(B) y ? sin( x ? ? ) 23

(C) y ? sin(2x ? ? ) 3

(D) y ? sin(2x ? ? ) 3

6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面

积为

(A)24

(B) 20+4 2

(C)28

(D)24+ 4 2

?0 ? x ? 2, 7. 在 平 面 区 域 ??0 ? y ? 2 内 任 取 一 点 P(x, y) , 若
(x, y) 满足 x ? y ? b 的概率大于 1 ,则 b 的取值范
8 围是

(A) (??,1) (B) (0,1) (C) (1, 4) (D) (1, ??) 8. 已知偶函数 f(x)(x∈R),当 x ? (?2, 0] 时,f(x)=-x(2+x),当 x ?[2, ??) 时,f(x)=(x-2)(a-x)

( a ? R ).

关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m ? R )的 3 个命题如下: ① 当 a=2,m=0 时,直线 l 与图象 G 恰有 3 个公共点; ② 当 a=3,m= 1 时,直线 l 与图象 G 恰有 6 个公共点; 4 ③ ?m ? (1, ??), ?a ? (4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离相

等.

其中正确命题的序号是

(A) ①②

(B) ①③

(C) ②③

(D) ①②③

第二部分(非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. 过点 P(0, 2) 且与直线 2x ? y ? 0 平行的直线方程为

.

10. 已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得 (x, y) 的一组数据如下: (0,1), (1, 2), (2, 4), (3,5) ,

其回归方程为 y? ? 1.4x ? a ,则 a 的值等于

.

11. 等差数列{an}中,a3=5,a5=3,则该数列的前 10 项和 S10 的值是_______.

12. 若 tan(? ? x) ? 2 ,则 tan 2x 的值是

.

13. 若函数 f (x) ? ax (a ? 0, a ? 1) 在[-2,1]上的最大值为 4,最小值为 m,则 m 的值是
____.
14. 已知直线 x=2,x=4 与函数 y ? log2 x 的图象交于 A,B 两点,与函数 y ? log4 x 的图象交于
C,D 两点,则直线 AB,CD 的交点坐标是_________.

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15. 本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin2 (B ? C) ? 3 sin 2A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

16.(本小题 13 分)高三某班 20 名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二组

学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图). (Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差; (Ⅱ)从身高超过 180cm 的五位同学中随机选出两位同学参 加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率.

第一组

第二组

15 9 9 8 8 16 6 9 5 5 1 1 0 17 2 3 4 7
2 1 18 2 3 5

17. (本小题 13 分)如图,多面体 EDABC 中,AC,BC,CE 两两
垂直,AD//CE, ED ? DC , AD ? 1 CE ,M 为 BE 中点.
2 (Ⅰ)求证:DM//平面 ABC;
(Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD.
18. (本小题 13 分)已知函数
f (x) ? a ln x ? (a ?1)x ? 1 x2 (a ? 0) . 2
(Ⅰ)若直线 l 与曲线 y ? f (x) 相切,切点是 P(2,0),求直线 l 的方程;
(Ⅱ)讨论 f (x) 的单调性.
19.(本小题 14 分)已知椭圆 C: x2 ? y2 ? 1,其短轴的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 4
分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m, 1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ)证明直线 EF 与 y 轴交点的位置与 m 无 关.

20. (本小题 14 分)已知等差数列?an? 的通项公式为 an=3n-2,等比数列?bn? 中,
? ? b1 ? a1,b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? x x ? an , n ? N * , B ? ?x x ?bn , n ? N *? ,U ? A ? B ,把集合 U
中的元素按从小到大依次排列,构成数列?cn? . (Ⅰ)求数列?bn? 的通项公式; (Ⅱ)求数列?cn? 的前 50 项和 S50 ; (Ⅲ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列?dn? ,写出数列?dn? 的通项公式,
并说明理由.

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二)

数学(文科)

一、选择题选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

C

A

C

D

B

D

D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. 2x-y+2=0; 10.0.9; 11.25; 12. 4 ; 13. 1 或 1 ; 14. (0,0).

3

16 2

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15. 本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin2 (B ? C) ? 3 sin 2A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

解: (Ⅰ)? 2sin2 (B ? C) ? 3 sin 2A.

?2sin2 A ? 2 3 sin Acos A ,

……………………….2 分

sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 , ……………………….4 分

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.

…………………….6 分

(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB ? AC ? cos 60? , BC ? 7, AC ? 5,

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5AB, ? AB2 ? 5AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),………….10 分

? S?ABC

?

1 2

AB ?

AC

? sin 60?

?

1 2

?5?8?

3 ? 10 2

3

.

…………………….13 分

16.(本小题 13 分)高三某班 20 名男生在一次体检中被平均分成两个小组,第一组和第二组

学生身高(单位:cm)的统计数据用茎叶图表示(如图). (Ⅰ)求第一组学生身高的平均值和方差; (Ⅱ)从身高超过 180cm 的五位同学中随机选出两位同学参 加校篮球队集训,求这两位同学在同一小组的概率. 解: (Ⅰ)

第一组

第二组

15 9 9 8 8 16 6 9 5 5 1 1 0 17 2 3 4 7
2 1 18 2 3 5

x1

?

1 10

(168

? 168

? 169

? 170

? 171 ? 171 ? 175

? 175

? 181 ? 182)

?

173cm

,

………………………….3 分

? ? S12

?

1 10

???168

?

173?2

? ?168 ?173?2

?

169 ?1732

?

...

?

?181

?173?2

?

?182

?173?2

? ?

?

23.6cm2

;

………………………….6 分

答: 第一组学生身高的平均值为 173cm,方差为 23.6 cm2 。

(Ⅱ)设“甲、乙在同一小组”为事件 A,

………………………….7 分

身高在 180 以上的学生别记为 a,b,c,d,e,其中 a,b 属于第一组,c,d,e 属于第二组。

从五位同学中随机选出两位的结果是如下 10 种:

(a,b);(a,c); (a,d);(a,e);(b,c);(b,d);(b,e);(c,d);(c,e);(d,e).

其中两位同学在同一小组的 4 种结果是:(a,b); (c,d);(c,e);(d,e) .

……….11 分

? P( A) ? 4 ? 2 . 10 5
答: 甲乙两位同学在同一小组的概率为 2 . 5

………………………….13 分

17. (本小题 13 分)如图,多面体 EDABC 中,AC,BC,CE 两两垂直,AD//CE, ED ? DC ,

AD ? 1 CE ,M 为 BE 中点. 2

(Ⅰ)求证:DM//平面 ABC;

(Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BCD.

解:(Ⅰ)设 N 为 BC 中点,连结 MN,AN,

?M 为 BE 中点,
?MN//EC,且 MN= 1 EC, 2
? AD//EC,且 AD= 1 EC, 2
?四边形 ANMD 为平行四边形,

……………………….3 分

? AN //DM ? DM ? 平面 ABC,AN ? 平面 ABC, ? DM//平面 ABC; ……………………….6 分

(Ⅱ)? BC ? AC, BC ? CE , AC ? CE ? C ,? BC ? 平面 ACED,

? DE ? 平面 ACED,? BC ? DE, ∵DE ? DC, 又? DE ? BC, BC ? DC ? C ,? DE ? 平面 BCD. ? DE ? 平面 BDE,?平面 BDE ? 平面 BCD.

……………………….9 分
……………………….12 分 ……………………….13 分

19. (本小题 13 分)设函数 f (x) ? a ln x ? (a ?1)x ? 1 x2 (a ? 0) . 2
(Ⅰ)若直线 l 与曲线 y ? f (x) 相切,切点是 P(2,0),求直线 l 的方程;

(Ⅱ)讨论 f (x) 的单调性.

解:(Ⅰ)∵P(2,0)在函数 f(x)的图象上,?f(2)=0 ? a ln 2 ? 2(a ? 1) ? 2 ? 0 ,即 (ln 2 ? 2)a ? 0, ,
ln 2 ? 2 ? 0,?a ? 0 .
?f(x)= 1 x2 ? x ,? f ?(x) ? x ?1 , 2
? f ?(2) ? 1,

?直线 l 的方程为 y=x-2,即 x-y-2=0 .

(Ⅱ) f (x) 的定义域为{x | x ? 0},

f ?(x) ? a ? (a ?1) ? x ? (x ?1)(x ? a) ,

x

x

由 f ?(x) ? 0 得 x ? 1,或x ? a ,

……………………….2 分
……………………….4 分 ……………………….5 分
……………………….6 分 ………………………7 分

①当 a ? 1时, f ?(x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,当且仅当 x=1 时, f ?(x) ? 0 ,

? f (x) 的单调递增区间是(0,+?);

………………………8 分

②当 a=0 时,, f ?(x) ? 0 ? x ? 1, f ?(x) ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,

? f (x) 的单调递增区间是(1,+?), f (x) 的单调递减区间是(0,1);……9 分

③当 0 ? a ? 1时, f ?(x) ? 0 ? 0 ? x ? a,或x ? 1, f ?(x) ? 0 ? a ? x ? 1,

? f (x) 的单调递增区间是(0,a)和(1,+?), f (x) 的单调递减区间是(a,1);
………………………11 分
④当 a ? 1时, f ?(x) ? 0 ? 0 ? x ? 1,或x ? a , f ?(x) ? 0 ? 1 ? x ? a ,

? f (x) 的单调递增区间是(0,1)和(a,+?), f (x) 的单调递减区间是(1,a).

19.(本小题 14 分)已知椭圆 C: x2 ? y2 ? 1,其短轴的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 4

分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m, 1 ) 满 2
足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ)证明直线 EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关. 解 :( Ⅰ ) 依 题 意 知

a ? 2 , c ? 3 ,?e ? 3 ; ………… 3 分
2

(Ⅱ)? A(0,1), B(0,?1) ,M (m, 1 ),且 m ? 0 , 2

………………………4 分

?直线

AM

的斜率为

k1=

?

1 2m

,直线

BM

斜率为

k2=

3 2m

,

?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= 3 x ? 1 ,

2m

2m

……………6 分

? ? 由

? ? ? ?y

x2 ? 4 ??

y2 1

? 1, x ? 1,



m2 ?1

x2 ? 4mx ? 0 ,

? 2m

?

x

?

0,

x

?

4m m2 ?1,

?

E

? ? ?

4m m2 ?1,

m2 m2

?1 ?1

? ? ?

,

………………………8 分

? ? 由

? ? ? ?

x2 4 y?

?y 3

2 ? 1, x ?1,



m2 ? 9

x2 ?12mx ? 0 ,

? 2m

?

x

?

0,

x

?

12m m2 ? 9

,

?F

? ? ?

12m m2 ? 9

,

9 ? m2 m2 ? 9

? ?



?

………………………10 分

(Ⅲ)据已知, m ? 0, m2 ? 3 ,

?直线 EF 的斜率 k

?

m2 1?

?1 m2

?

9 9

? ?

m2 m2

4m 1? m2

?

12m 9 ? m2

?

(m2 ? 3)(m2 ? 3) ?4m(m2 ? 3)

?

? m2 ? 3 , 4m

…………………12 分

?直线 EF 的方程为

y

?

m2 m2

?1 ?1

?

?

m2 ? 4m

3

? ??

x

?

4m m2 ?

1

? ??

,

令 x=0,得 y ? 2, ? EF 与 y 轴交点的位置与 m 无关.

………………13 分 ………………14 分

20. (本小题 14 分)已知等差数列?an? 的通项公式为 an=3n-2,等比数列?bn? 中,

? ? b1 ? a1,b4 ? a3 ? 1 .记集合 A ? x x ? an , n ? N * , B ? ?x x ?bn , n ? N *? ,U ? A ? B ,把集合 U

中的元素按从小到大依次排列,构成数列?cn? .

(Ⅰ)求数列?bn? 的通项公式;

(Ⅱ)求数列?cn? 的前 50 项和 S50 ;

(Ⅲ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列?dn? ,写出数列?dn? 的通项公式,
并说明理由.
解:(Ⅰ)设等比数列?bn? 的公比为 q,

? b1 ? a1 ? 1,b4 ? a3 ? 1 ? 8 ,则 q3=8,?q=2,?bn=2n-1,

………………………3 分

(Ⅱ)根据数列{an}和数列 ?bn? 的增长速度,数列?cn? 的前 50 项至多在数列{an}中选 50 项,

数列{an}的前 50 项所构成的集合为{1,4,7,10,…,148},由 2n-1<148 得,n≤8,数列{bn}的

前 8 项构成的集合为{1,2,4,8,16,32,64,128},其中 1,4,16,64 是等差数列{an}中

的项,2,8,32,128 不是等差数列中的项,a46=136>128,故数列{cn}的前 50 项应包含数列{an}

的前 46 项和数列{bn}中的 2,8,32,128 这 4 项. 所以 S50= 46(a1 ? a46 ) ? 2 ? 8 ? 32 ?128 =3321; 2

…………………6 分 ………………………8 分

(Ⅲ)据集合 B 中元素 2,8,32,128?A,猜测数列?dn? 的通项公式为 dn =22n-1. …9 分

?dn=b2n ,?只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n?A( n ? N ? ) ……………………11 分
证明如下:
?b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3×4n-1, 若 ? m∈N*,使 b2n-1=3m-2,那么 b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若 b2n-1∈A,则 b2n+1∈A.
因为 b1∈A,重复使用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? )。
? ? 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即 b2n+2=b2n+3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1”数列 an

的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A,

当 n=1 时,显然 b2=2?A,即有 b4=2?A,重复使用上述结论,

即得 b2n?A,?dn =22n-1;

………………………………………14 分


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