高中数学之(人教版)高中数学必修5课件:第2章 数列2.3 第1课时_图文

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高中数学之(人教版)高中数学必修5课件:第2章 数列2.3 第1课时
2.3 等差数列的前n项和
第1课时 等差数列前n项和

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1.了解等差数列前n项和公式的推导过程,掌握等差数列 五个量a1,n,d,an,Sn之间的关系.
2.掌握等差数列前n项和公式、性质及其应用. 3.能熟练应用公式解决实际问题,并体会方程思想.

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如图,某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢 管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根.

[问题1] 共有几层?图形的横截面是什么形状? [提示] 六层 等腰梯形

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[问题2] 假设在这堆钢管旁边再倒放上同样一堆钢管,如 图所示,则这样共有多少钢管?

[提示] (4+9)×6=78. [问题3] 原来有多少根钢管? [提示] 12×78=39.

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[问题4] 能否利用前面问题推导等差数列前n项和公式Sn =a1+a2+…+an?
[提示] Sn=a1+a2+…+an Sn=an+an-1+…+a1 相加:2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)=n(a1+an) ∴Sn=n?a12+an?.

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等差数列的前n项和公式

已知量 首项、末项与项数

求和

n?a1+an?

公式 Sn=_____2________

首项、公差与项数 Sn=__n_a_1+__n_?_n_2-__1_?_d___

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对等差数列前n项和公式的理解 (1)等差数列的前n项和公式有两种形式,涉及a1,an,Sn, n,d五个量,通常已知其中三个量,可求另外两个量,解答方 法就是解方程组.

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(2)当已知首项a1和末项an及项数n时,用公式Sn=

n?a1+an? 2

来求,用此公式时常结合等差数列的性质.

(3)当已知首项a1和公差d及项数n时,用公式Sn=na1+ n?n2-1?d来求和.

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1 . 设 Sn 是 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 , 若 S7 = 35 , 则 a4 = ()

A.8

B.7

C.6

D.5

解析: 由Sn=n?a12+an?得

S7=7?a12+a7?=7×22a4=35.

∴a4=5.

答案: D

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2.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前5项和S5 =( )

A.7

B.15

C.20

D.25

解析: 利用等差数列的性质求解.

∵{an}是等差数列,∴a2+a4=2a3=1+5,∴a3=3, ∴S5=5?a12+a5?=5×22a3=5a3=5×3=15. 答案: B

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3.在等差数列{an}中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn =100,则n=____________.
解析: ∵a3+a5=a1+a7=14,∴a7=13. 又a7=a1+(7-1)d,∴d=13- 6 1=2. Sn=na1+n?n-2 1?d. ∴n×1+n?n2-1?×2=100. 解得n=10或n=-10(舍).
答案: 10

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4.在等差数列{an}中,a6=10,S5=5,求a8和S8. 解析: 方法一:设数列{an}的首项a1,公差d,由已 知,得

??a1+5d=10, ???5a1+12×5×4d=5,

得?????da=1=3-. 5,

∴a8=a1+7d=-5+7×3=16. S8=82(a1+a8)=82(-5+16)=44.

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方法二:由已知,得S6=S5+a6=5+10=15, ∴S6=6?a1+2 10?=15, ∴a1=-5,d=a66--1a1=3, ∴a8=a1+7d=-5+7×3=16, S8=8?a12+a8?=44.

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与前n项和有关的基本量的运算
在等差数列{an}中, (1)a1=105,an=994,d=7,求Sn; (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求d. [思路点拨] 将等差数列问题利用化归思想转化为基本量 的关系,再利用方程的思想来解决,是通性通法.

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[边听边记] (1)由an=a1+(n-1)d,且a1=105,d=7,得 994=105+(n-1)×7,解之得n=128.
∴Sn=n?a12+an?=128×?1205+994?=70 336. (2)由Sn=n?a12+an?=n?1-2512?=-1 022.解之得n=4.又由 an=a1+(n-1)d,即-512=1+(4-1)d,解之得d=-171.

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一般地,等差数列的五个基本量a1,an,d, n , Sn , 知 道 其 中 任 意 三 个 量 可 建 立 方 程 组 , 求 出 另 外 两 个 量,即“知三求二”问题,若能巧妙地利用等差数列(或前n项
和)的性质会使计算更简便.

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1.已知等差数列{an}中, (1)d=2,an=11,Sn=35,求a1和n; (2)a2+a5=19,S5=40,求a10.

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??an=a1+?n-1?d, 解析: (1)由???Sn=na1+n?n- 2 1?d,
??a1+2?n-1?=11, 得???na1+n?n2-1?×2=35, 解方程组得?????na= 1=53, 或?????na= 1=7-,1.

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??2a1+5d=19, (2)由题设可得???5a1+5?52-1?d=40, 即?????a21a+1+2d5=d=8,19, 解得?????da=1=32,, 故 a10=2+3×(10-1)=29.

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与前n项和有关的最值问题
已知等差数列{an}中,a1=9,a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式; (2)当n为何值时,数列{an}的前n项和取得最大值. [思路点拨]

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[规范解答] (1)由a1=9,a4+a7=0,

得a1+3d+a1+6d=0,

2分

解得d=-2,

4分

∴an=a1+(n-1)·d=11-2n.

6分

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(2)方法一:a1=9,d=-2, Sn=9n+n?n2-1?·(-2) =-n2+10n =-(n-5)2+25 ∴当n=5时,Sn取得最大值.

8分
10分 12分

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方法二:由(1)知a1=9,d=-2<0, ∴{an}是递减数列. 令an≥0,则11-2n≥0,解得n≤121. ∵n∈N*,∴n≤5时,an>0,n≥6时,an<0. ∴S5最大.

8分 10分
12分

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求等差数列的前n项和Sn的最值有两种方法:

(1)通项法

①当a1>0,d<0时,{an}只有前面的有限项为非负数,从

某项开始其余所有项均为负数,所以由

??am≥0, ???am+1≤0

可得Sn的最

大值为Sm;

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②当a1<0,d>0时,{an}只有前面的有限项为负数,从某

项开始其余所有项均为非负数,所以由

??am≤0, ???am+1≥0

可得Sn的最

小值为Sm. (2)二次函数法

由于Sn=

d 2

n2+

???a1-d2???

n(d≠0)是关于n的二次函数式,因此

可利用配方法求出二次函数的最值来确定Sn的最值,但应注意

n∈N*. ,

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2.(1)在数列{an}中,已知an=2n-49,则Sn取得最小值 时,n=( )

A.26

B.25

C.24

D.23

(2)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=29,5a8=a5-8, 则Sn的最大值为________.

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解析: (1)由an=2n-49知a1=-47,d=2>0. Sn=na1+n?n2-1?d=-47·n+n?n2-1?×2 =n2-48n=(n-24)2-242 ∴当n=24时,Sn取得最小值.

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(2)依题意得5(a1+7d)=a1+4d-8, ∴5(29+7d)=29+4d-8. 解得d=-4. Sn=n×29+n?n2-1?×(-4)=-2n2+31n =-2???n-341???2+3812 ∴当n=8时,Sn最大值. Sn最大为-2×82+31×8=120. 答案: (1)C (2)120

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求数列{|an|}的前n项和
在等差数列{an}中,a1=-60,a17=-12,求数 列{|an|}的前n项和.
[思路点拨] 本题实际上是求数列{an}前n项的绝对值之 和.由绝对值的意义知我们应首先分清这个数列的哪些项是负
数,哪些项是非负数.由于已知数列{an}是首项为负数的递增 数列,因此应先求出这个数列从首项起共有多少项是负数,然
后再分段求出前n项的绝对值之和.

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解析: 数列{an}的公差d=a1177--a11=-121-7-?-1 60?=3,

∴an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由an<0得3n-63<0,解得n<21. ∴数列{an}的前20项是负数,第20项以后的项都为非负 数.

设Sn,S′n分别表示数列{an}和{|an|}的前n项和, 当n≤20时,S′n=-Sn=-????-60n+n?n2-1?×3 ???? =-32n2+1223n;

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当n>20时,S′n=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20 =-60n+n?n2-1?×3-2×????-60×20+20×2 19×3???? =32n2-1223n+1 260. ∴数列{|an|}的前n项和
S′n=?????- 32n322-n2+ 1221322n3+n,1 2n6≤0,20n,>20.

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已 知 等差数 列 {an}的 项 先负后 正 ,求 数列 {|an|}的前n项和Tn,步骤如下:
(1)求an:即{an}的通项公式; (2)判号:利用通项公式,判断前多少项为负数(假设前m项
为负数);

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(3)求和:当n≤m时,Tn=-Sn; 当n>m时,因为前m项为负数,故要先把前m项变成正 数,即把Sm变成-Sm再加上从第m+1项到第n项的和即Sn- Sm, 此时Tn=-Sm+(Sn-Sm)=Sn-2Sm. 综上Tn=?????- Sn-Sn2S?mn?n≤>mm??,. 若数列中有一项为零,那么这一项归入哪一段都可以.

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3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=-4,S8=a8, 求数列{|an|}的前n项和Tn.
解析: 设等差数列{an}的公差为d, 由S8=a8得8a1+8×?28-1?d=a1+7d, 则a1=-3d.
又a2=a1+d=-4,
∴d=2,a1=-6.
∴an=-6+(n-1)×2=2n-8. Sn=n?a12+an?=n[-6+22?n-4?]=n(n-7).

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由an≤0解得n≤4,即数列{an}前3项为负数,第4项为0, 从第5项开始为正数.
∴当n≤4时,Tn=-Sn=n(7-n), 当n>4时,Tn=Sn-S4+(-S4) =Sn-2S4=n(n-7)-2×4×(4-7) =n2-7n+24
∴Tn=?????nn?2-7-7nn+?,2n4≤,4n,>4.

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◎在等差数列{an}中,an=3n-31,记bn=|an|,求数列bn 的前30项和.
【错解】 ∵{an}为等差数列, ∴{bn}也为等差数列. 又bn=|an|=|3n-31|, ∴b1=28,b30=59. 数列{bn}的前30项和 S30=30?b12+b30?=30·?282+59?=1 305.

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【错因】 错把{bn}也当作等差数列,实际上解此题的关 键是搞清绝对值符号内的an的正负,易知当n≤10时,an<0,当 n≥11时,an>0.
【正解】 S30=|a1|+|a2|+…+|a30| =-(a1+a2+…+a10)+(a11+a12+…+a30) =-10?a12+a10?+20?a112+a30? =145+610 =755.

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