【解析】山东省实验中学2015届高三第二次诊断性考试文科数学试题

【解析】山东省实验中学 2015 届高三第二次诊断性考试文科 数学试题
【试卷综析】本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本能力为载体, ,在注重考查学科核心知识的同时, 突出考查考纲要求的基本能力,试题重点考查:集合、不等式、向量、导数、简单的线性规划,数列、函数 的性质及图象、三角函数的性质、等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷 【题文】一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 每小题只有一个选项 符合题意) ...... 【题文】1. 设集合 A ? ? x ?

? ?

1 ? ? x ? 2?,B ? ?x x 2 ? 1? ,则 A ? B ? 2 ? 1 ? ? x ? 1? 2 ?
C. x x ? 2

A. x ? 1 ? x ? 2

?

?

B. ? x ?

? ?

?

?

D.

? x ? ? x ? 2?

【知识点】集合及其运算 A1 【答案】A 【解析】由题意得 B={ x ?1 ? x ? 1 }则 A ? B ? x ? 1 ? x ? 2 。 【思路点拨】先求出集合 B,再求并集。 【题文】2. 已知 ? ? ? ? , A.7 B.

?

?

? ?

3 ? 4 ?? ? ? ?, cos ? ? ? ,则 tan ? ? ? ? 等于 2 ? 5 ?4 ?
1 7
D. ?7

1 7

C. ?

【知识点】同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C2 【答案】B 【解析】由 cos ? ? ?

4 3? 3 ? 1 ) ,tan ? = , 则 tan( ? ? ) ? , ? ? (? , 5 2 4 4 7

【思路点拨】根据同角三角函数基本关系求出正切值,再求结果。 【题文】3. 下列有关命题的叙述,①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题; ②“ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件;
2

③命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ;
2 2

④命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1或x ? 2 ”的逆否命题为“若 x ? 1或x ? 2 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” 。其
2 2

中错误的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】命题及其关系 A2 【答案】B 【解析】 若p 得 或 q 为真命题, 则 ,所以“ 至少有有一个为真, 所以 ”是“ 不一定为真, 所以①错误。

”的充分不必要条件,②正确。根据特称命题的否定式 , 则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x
1页

全称命题知③正确。 “若

1且x

2, 则

所以④错误,所以错误命题的个数为 2 个。 【思路点拨】根据命题之间的关系判定命题的真假。 【题文】4. 下列函数中既是奇函数又在区间 ?1,1 上单调递减的是 A. y ? sin x B. y ? ? x ?1 C. y ? ln

?

?

2? x 2? x

D. y ?

1 x ? 2 ? 2? x ? 2

【知识点】函数的奇偶性单调性 B3 B4 【答案】C

【解析】根据定义可得:

既不是奇函数又不是偶函数;

是偶函数,只有

与 而 在区间

是奇函数,由此可排除 B、D. 上单调递增,也可排除,故选 C

【思路点拨】先判断奇偶性,再利用单调性求出。 【题文】5. 函数 y ?

x ln x x

的图像可能是

【知识点】函数的奇偶性 B4 【答案】B 【解析】根据函数性质的函数为奇函数排除 A,C 再代入 x=2,y>0, 排除 D. 【思路点拨】根据函数的奇偶性排除 D. 【题文】6. 设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b 【知识点】对数与对数函数 B7 【答案】A 【解析】∵log 3 ∴ b > c ∵log 2 C. b ? a ? c D. b ? c ? a

2 < log 2 2 < log 2 3
3 < log 2 2=log 3 3 < log 3 π ∴ a > b ∴ a > b > c
x

【思路点拨】利用对数函数 y=loga 的单调性进行求解.当 a>1 时函数为增函数当 0<a<1 时函数为减函 数,如果底 a 不相同时可利用 1 做为中介值. 【题文】7. 如果方程 x ? ? m ?1? x ? m ? 2 ? 0 的两个实根一个小于 1,另一个大于 1,那么实数 m 的取值
2 2

范围是 A. ? 2, 2

?

?

B. ? ?2, 0?

C. ? ?2,1?
2页

D. ? 0,1?

【知识点】函数与方程 B9 【答案】D 【解析】构建函数 f(x)=x +(m-1)x+m -2,根据两个实根一个小于-1,另一个大于 1,可得 f(-1)<0, f(1)>0,从而可求实数 m 的取值范围.解:由题意,构建函数 f(x)=x2 +(m-1)x+m2 -2,∵两个实根 一个小于-1,另一个大于 1, ∴f(-1)<0,f(1)>0,∴0< m<1, 【思路点拨】本题以方程为载体,考查方程根的讨论,关键是构建函数,用函数思想求解. 【题文】8. 在 ?ABC 中,若 sin ? A ? B? ? 1 ? 2cos ? B ? C ? sin ? A ? C ? ,则 ?ABC 的形状一定是 A. 等边三角形 B. 不含 60°的等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 【知识点】解三角形 C8 【答案】D 【解析】∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,∴sin( A-B)=1-2cosAsinB, ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1 , ∴sin(A+B)=1,∴A+B=90° ,∴△ABC 是直角三角形. 【思路点拨】利用三角形的内角和,结合差角的余弦公式,和角的正弦公式,即可得出结论. 【题文】9. 已知函数 f ? x ?? x ? R ? 满足 f ?1? ? 1 ,且f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? ? 是 A. x ? 1 ? x ? 1
2 2

1 x 2 ,则 f ? x ? ? ? 的解集 3 3 3

?

?

B. x x ? ??

?

?

C. x x ? ??或x ? 1

?

?

D. x x ? 1

?

?

【知识点】导数的应用 B12 【答案】D 【解析】设 F(x)=f(x)- F′ (x)=f′ (x)-

x 2 1 2 - ,则 F(1)=f(1)- - =0,对任意 x∈R, 3 3 3 3

1 <0,即函数 F(x)在 R 上单调递减,则 F(x)<0 的解集为(1,+∞), 3 x 2 即 f(x)< + 的解集为(1,+∞) 3 3
【思路点拨】先求出单调性再求解集。 【题文】 10. 若函数 y ? f ? x?? x? R ? 满足 f ? x ?1? ? f ? x ?1?,且 x? ?1,1 时, f ? x? ? 1? x ,函数
2

?

?

?1gx ? x ? 0 ? ? ,则函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,5? 内的零点的个数为 g ? x? ? ? 1 ? x ? 0 ? ? ? ? x
A.6 【答案】C 【解析】因为函数 周期函数,又因为 时, 满足 ,所以函数 ,所以作出函数 是周期为 2 的 的图像: B.7 C.8 D.9 【知识点】函数与方程 B9

3页

由图知:函数

-g(x)在区间

内的零点的个数为 8 个.

【思路点拨】根据函数图像的交点个数求出零点个数。

第 II 卷(非选择题,共 100 分
【题文】二、填空题(本题包括 5 小题,共 25 分) 【题文】11. 设 g ? x ? ? ?

?e x

? ? 1 ?? 则g ? g ? ? ? ? ___________ ? ? 2 ?? ?ln x, x ? 0,

x ? 0,

【知识点】单元综合 B14 【答案】

1 2 1 1 )=-ln2<0, 代入上式,得 g(-ln2)= . 2 2
2 2 2

【解析】由 x>0 得 g(

【思路点拨】根据 x 的范围代入上式求出结果。 【题文】12. ?ABC 中, a, b, c 分别是 A,B,C 的对边,且满足 a ? c ? b ? ac ,则 B=_______ 【知识点】解三角形 C8 【答案】

? 3
a 2 ? c 2 ? b2 1 ? , 2ac 2

2 2 2 【解析】由已知条件 a +c -b =ac,及余弦定理得 cos B ?

又因为 0<B <π ,所以 B=

? . 3
? ?

【思路点拨】利用已知条件 a2 +c2 -b2 =ac,以及余弦定理,可联立解得 cosB 的值,进一步求得角 B. 【题文】13. 将函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ?

?
2

?? ?

??

? 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半, 2?

纵坐标不变,再向右平移

? ?? ? 个单位长度得到 y ? sin x 的图像,则 f ? ? ? _______. 6 ?6?

【知识点】函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质 C4 【答案】 【解析】由题知
4页

【思路点拨】先求出函数的解析式再求结果。 【题文】14. 若对于任意实数 x ,不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 恒成立,则 k 的取值范围是________ 【知识点】绝对值不等式的解法 E2 【答案】k ? -3 【解析】(1)当 x<=-1 时,原式=-(x+1)-[-(x-2)]=-x-1+x-2=-3 (2)当-1<x<2 时,原式=(x+1)-[-(x-2)]=x+1+x-2=2x-1 x 取-1,2x-1=2*(-1)-1=-3x 取 2,2x-1=2*2-1=3 所以-3<2x-1<3 (3)当 x>=2 时,原式=(x+1)-(x-2)=x+1-x+2=3 由上可知,当 x 取任意值时,原式 ? -3 所以 k ? -3。 【思路点拨】利用零点分段讨论,求出 k 的范围。 【题文】15. 若函数 f ? x ? 满足 ?m ? R, m ? 0 ,对定义域内的任意 x, f ? x ? m? ? f ? x ? ? f ? m? 恒成立, 则称 f ? x ? 为 m 函数,现给出下列函数: ①y?

1 ; ② y ? 2 x ; ③ y ? sin x ; x

④ y ? ln x .

其中是 m 函数的是______________ 【知识点】函数及其表示 B1 【答案】②③

【解析】若



,则由

得:

,化为

,由于 得: , ,则由

,故式子不成立,因而①中的函数不是 m 函数;若

,则由

,显然式子成立,故②中的函数是 m 函数;若 得:

,取

,则式子恒成立,故③是 m 函数;若



,则由

得: 不满足 对定义域内的任意

, 化为

, 当 x 变化时, m 也变化, 故函数 恒成立,综上,②③是 m 函数。

【思路点拨】本题是新定义一个函数,然后判断给出的函数是否符合定义。做此类题目,重点是理解定义。 【题文】三、解答题(本题包括 5 小题,共 75 分) 【题文】16. 设 p:实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0,其中a ? 0,q :实数 x 满足 ?
2 2
2 ? ? x ? x ? 6 ? 0, 2 ? ? x ? 2 x ? 8 ? 0.

5页

(1)若 a ? 1 ,且p ? q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p是q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围. 【知识点】命题及其关系、充分条件、必要条件 A2 【答案】(Ⅰ)2<x<3(Ⅱ) 1<a≤2 2 2 【解析】(Ⅰ)由 x -4ax+3a <0,得:( x-3a)(x-a)<0, 当 a=1 时,解得 1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由?
2 ? ? x ? x ? 6 ? 0, ,得:2<x≤3,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x≤3. 2 x ? 2 x ? 8 ? 0. ? ?

若 p 且 q 为真,则 p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是 2<x<3. (Ⅱ) p 是 q 的必要不充分条件,即 q 推出 p,且 p 推不出 q, 设 A={x|p( x)},B={x|q(x)},则 B 是 A 的真子集, 又 B=(2,3],当 a>0 时,A=(a,3a);a<0 时,A=(3a,a). 所以当 a>0 时,有 ?

?a?2 ,解得 1<a≤2,当 a<0 时,显然 A∩B=?,不合题意. ?3 ? 3a

所以实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 【思路点拨】 (1)把 a=1 代入不等式后求解不等式,同时求解不等式组,得到命题 p 和命题 q 中 x 的取值 范围,由 p 且 q 为真,对求得的两个范围取交集即可; (2) p 是 q 的必要不充分条件, 则集合 B 是集合 A 的子集, 分类讨论后运用区间端点值之间的关系可求 a 的取值范围. 【题文】17. 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? c在x ? ? 与x ? 1 时都取得极值。
3 2

2 3

(1)求 a、 b 的值与函数 f ? x ? 的单调区间; (2)若对 x ? ?1, 2 ,不等式 f ? x ? ? c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

?

?

【知识点】导数的应用 B12

1 ? 2 ?a ? ? 【答案】(1) ? 2 函数 f(x)的递增区间是(-∞,- )和(1,+∞), 3 ? ? b ? ?2
递减区间是(-

2 ,1) 3
3 2 2

(2)c<-1 或 c>2 【解析】(1)f(x)=x +ax +bx+c,f'( x)=3x +2ax+b

1 ? ? ? 2 12 4 ?a ? ? ? f ( ) ? ? a?b ? 0 由? 解得 ? 2 3 9 3 ? ? b ? ? 2 ? ? ? f (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0
f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)( x-1),函数 f(x)的单调区间如下表:

6页

x

2 2 ( - ∞, - ) 3 3

(-

2 ,1) 3

1

(1,+∞)

f′(x)

+

0 极大

-

0 极小

+

f(x)











所以函数 f(x)的递增区间是(-∞,(2)f(x)=x 3 -

2 2 )和(1,+∞),递减区间是(- ,1). 3 3

1 2 x -2x+c , x ∈ [-1 , 2] , 2 2 22 当 x=- 时,f(x)= +c 为极大值,而 f(2)=2+c,所以 f(2)=2+c 为最大值. 3 27
要使 f(x)<c 对 x∈[-1,2]恒成立,须且只需 c >f(2)=2+c. 解得 c<-1 或 c>2. 【思路点拨】(1)求出 f′(x),因为函数在 x=所以得到 f′(2 2

2 与 x=1 时都取得极值, 3

2 )=0 且 f′(1)=0 联立解得 a 与 b 的值,然后把 a、b 的值代入求得 f(x)及 f′(x),然 3

后讨论导函数的正负得到函数的增减区间; (2)根据(1)函数的单调性,由于 x∈[-1,2]恒成立求出函数的最大值值为 f(2),代入求出最大值, 然后令 f(2)<c2 列出不等式,求出 c 的范围即可. 【题文】18. 已知函数 f ? x ? ? 2sin x sin ?

?? ? ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos2 x ?3 ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (2)若 0 ? x ?

?
2

,求函数 f ? x ? 的最值及取得最值时相应 x 的值。

【知识点】三角函数的图象与性质 C3 【答案】 (1) ? ,单调递增区间[ ?

?
3

? k? ,

?
6

? k? ], k ? Z (2)当 x=

? ? 时, f ( x)max =2,当 x= , 时, 6 2

f ( x)min =-1
【解析】 (1) f ? x ? ? 2sin x sin ? = 3 sin 2 x ? cos 2 x =2sin(2x+

?? ? ? x ? ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?3 ?

? 2? ? ? ? ),T= = ? , ? ? 2k? ? 2x+ ? ? 2 k? , k ? Z 2 2 6 6 2 ? ? ? ? ? ? k? ? x ? ? ? k , 单调递增区间[ ? ? k? , ? k? ], k ? Z . 3 6 3 6 ? ? ? 7? (2)若 0 ? x ? , 则 ? 2 x ? ? , 2 6 6 6
7页

? ? 时, f ( x)max =2,当 x= , 时, f ( x)min =-1, 6 2 ? ? 所以当 x= 时, f ( x)max =2,当 x= , 时, f ( x)min =-1。 6 2
当 x= 【思路点拨】先化简再根据单调性周期性求出结果。 【题文】19. 已知函数 f ? x ? ? x ? 2ax ? a ? 2
2

(1)若对于任意 x ? R , f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若对于任意 x ? ?1,1 , f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若对于任意 a ? ?1,1 , x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围。
2

?

?

?

?

【知识点】函数的单调性与最值 B3 【答案】 (1) ?2 ? a ? 1 (2) ?3 ? a ?

2 (3) x ? ?1 3

【解析】 (1)若对于任意 x ? R , f ? x ? ? 0 恒成立,需满足 ? ? 4a2 ? 4(?a ? 2) ? 0 得 ?2 ? a ? 1 。 (2)对称轴 x=-a 当-a<-1, 即 a>1 时, f ( x)min ? f (?1) ? 3 ? 3a ? 0 ,a ? 1(舍) 当-a>1, 即 a<-1 时 f ( x)min ? f (1) ? 3 ? a ? 0 , ?3 ? a ? ?1 当 ?1 ? a ? 1 时, f ( x)min ? f (?a) ? ?3a2 ? a ? 2 ? 0 , ?1 ? a ? 综上所述 ?3 ? a ?

2 , 3

2 . 3

2 (3)对于任意 a ? ?1,1 , x ? 2ax ? a ? 2 ? 0 恒成立, 等价于 g(a)=(2x-1)a+ x +2>0

?

?

2

? x2 ? 2x ?1 ? 2 ? 0 解得 x ? ?1 , ? 2 ?x ? 2x ?1? 2 ? 0
所以 x 的范围 x ? ?1 。 【思路点拨】利用函数的单调性求出范围。 【题文】20. 已知函数 f ? x ? ? 3 sin

?x ??
2

cos

?x ??
2

? sin 2

?x ?? ?
2

?? ? ? ? 0, 0 ? ? ? ? ,其图像的两个 2? ?

相邻对称中心的距离为

? ?? ? ,且过点 ? ,1? : 2 ?3 ?

(1)求函数 f ? x ? 的表达式; (2)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A,B, C 的对边,且 a ? 15,S?ABC ? 2 5 ,角 C 为锐角,且满足

8页

?C ? ? 7 f ? ? ? ? ,求 c 的值。 ? 2 12 ? 6
【知识点】解三角形 C8

? 1 )+ (2) 21 2 6 ?x ?? ?x ?? 1 1 2 ?x ?? 【解析】(I)∵s in cos = sin(ωx+φ), sin = [1-cos(ωx+φ)] 2 2 2 2 2
【答案】(I)f( x) =sin(2x+ ∴f(x)=

3 sin

?x ?? ?x ?? ?x ?? 1 3 cos +sin 2 = sin(ωx+φ)+ [1-cos(ωx+φ)] 2 2 2 2 2

=sin(ωx+φ-

? 2? ,∴函数的周期 T= =π,得 ω=2 ? 2 ? ? ? ? 1 1 ∵点( , 1) 是函数图象上的点,∴f( )=sin(2× +φ+ )+ =1,解之得 cosφ= 2 2 3 3 3 6 ? ? ∵φ∈(0, ),∴φ= 2 3 ? 1 因此,函数 f(x)的达式为 f(x)=sin(2x+ )+ ; 2 6 c ? ? ? 1 7 2 (II)f( - )=sin(C- + )+ = ,解之得 sinC= 2 12 2 6 3 6 6
∵函数图象的两个相邻对称中心的距离为 ∵0<C<

? 1 )+ 2 6

? 5 2 ,∴cosC= 1 ? sin C = 2 3
1 1 2 5 ∴ ×a×b×sinC=2 5 ,即 × 5 ×b× =2 5 ,解之得 b=6 2 2 3

又∵a= 5 ,S△ABC =2

2 2 2 根据余弦定理,得 c =a +b -2abcosC=5+36-2× 5 ×6×

5 =21 3

∴c= 21 ,即得 c 的值为 21 . 【思路点拨】(I)由二倍角的三角函数公式和辅助角公式, 化简得 f(x)=sin(ωx+φ-

? 1 )+ , 2 6

结合图象的两个相邻对称中心的距离为 即可得到函数 f(x)的达式; (II)将

? ? 和点( , 1) 在函数图象上,建立关于 ω、φ 的关系式,解之 2 3

c ? 2 5 代入函数表达式,解出 sinC= ,结合 C 为锐角,算出 cosC= .根据面积正弦定 2 12 3 3

理公式,由 S△ABC =2 5 算出 b=6,最后由余弦定理代入题中的数据即可求出边 c 的值. 【题文】21. 已知函数 f ? x ? ?

1 2 x ? ? a ? 3? x ? ? 2a ? 2 ? ln x . 2
9页

(1)函数 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,求 a 的值; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调性; (3)若不等式 4n 2 ln ?

?

?

? n ?1 ? 2 ? ? 2mn ? 1对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 n ? ?
1 2

【知识点】导数的应用 B12 【答案】(1) a=2(2)略(3)x ? 2ln2【解析】(1) f ?( x) ? x-a-3+

2a ? 2 , 函数 f ? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与 2 x ? y ? 1 ? 0 平行 x

? f ?(1) =a=2.
(2) f ?( x) ? x-a-3+ 当 a>1 时,a+1>2 在(0, 2 , f ?( x) ? 0 ,f(x)单调递增,在[2,a+2]上 f ?( x) ? 0 ,f(x)单调递减,在 [a+1,+ ? ) ,

2a ? 2 1 = ( x ? 2)( x ? (a ? 1)) , 则 x1 ? 2, x2 ? a ? 1 x x

?

f ?( x) ? 0 ,f(x)单调递增。
当 a=1 时,在(0,+ ? )上 f ?( x) ? 0 ,f(x)单调递增。 当-1<a<1 时,在 ? 0, a ? 1 上, f ?( x) ? 0 ,f(x)单调递增,在[a+1,2]上, f ?( x) ? 0 ,f(x)单调递减,在[2,+

?

? ) , f ?( x) ? 0 ,f(x)单调递增,
当 a ? - 1 时,f(x) 在(0, 2 单调递减,在在[2,+ ? ) , f ?( x) ? 0 ,f(x)单调递增。 (3) 4n 2 ln ?

?

1 1 ? n ?1 ? 2 ? ? 2mn ? 1等价于 2 ln(1 ? n ) ? 2n 2 ? m 。 ? n ?

1 2 2 ( x ? 2)( x ? 1) x , x ? ? 0,1? , g ?( x ) ? ? x =, 2 1? x 1? x 1 在 x ? ? 0,1? 上,g(x)为增函数。所以 g(x) ? g(1)=2ln2- , 2 1 所以 m 的取值范围是 x ? 2ln2- . 2
令 g(x)= 2ln(1 ? x) 【思路点拨】根据导数的意义求出 a 值,再根据单调性求出 m 的范围。

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