【2016版】新步步高 人教B版 大一轮复习讲义 数学(文)精品课件:第二章 2.4二次函数与幂函数_图文

数学 B(文)

第二章

函数概念与基本初等函数Ⅰ

§2.4 二次函数与幂函数

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高 ? 练出高分

基础知识·自主学习
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
2+bx+c(a≠0) ax ①一般式:f(x)= 2+n(a≠0) a ( x - m ) ②顶点式:f(x)=

知识梳理

. .

③零点式:f(x)= a(x-x1)(x-x2)(a≠0) .

基础知识·自主学习
(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0)

知识梳理

f(x)=ax2+bx+c(a<0)

图象 定义域 值域 (-∞,+∞)
?4ac-b2 ? ? ? ,+ ∞ ? ? ? 4a ?

(-∞,+∞) 2? ? 4 ac - b ? ? - ∞ , ? 4a ? ? ?

基础知识·自主学习
? b? 在x∈?-∞,- ? 上单调 2a? ? ? ? b ? ? 递减;在x∈ ?-2a,+∞?上

知识梳理
? b? ?-∞,- ? 2a? 在x∈ ?

上单调

单调性

递增;在x∈
上单调递减

? ? b ?- ,+∞? ? 2a ?

单调递增 对称性

b 函数的图象关于x=- 2a 对称

基础知识·自主学习
2.幂函数
(1)定义:形如

知识梳理

y=xα

(α∈R) 的函数称为幂函数,其中 x 是自

变量,α是常数.
(2)幂函数的图象比较

基础知识·自主学习
(3)幂函数的性质比较
特征 函数 性质

知识梳理

y=x

y=x2

y=x3

y=x

1 2

y=x-1 {x|x∈R

定义域
值域

R R

R
[0,+∞)

R

[0,+∞) [0,+∞)

且x≠0}
{y|y∈R

R

且y≠0}

基础知识·自主学习
奇偶性 奇函数 非奇非 奇函数 偶函数

知识梳理

偶函数

奇函数
x∈(0,+∞)

x∈[0,+∞)
时,增; 单调性 增

时,减; 增 增
x∈(-∞,0)

x∈(-∞,0]
时,减

时,减

基础知识·自主学习
? 思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

知识梳理

2 4 ac - b (1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是 4a

.

( ×)

(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( × )
(3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0).( × )

基础知识·自主学习
(4)当n>0时,幂函数y=xn是定义域上的增函数.( × )

知识梳理

(5) 若函数 f(x) = (k2 - 1)x2 + 2x - 3 在 ( - ∞ , 2) 上单调递增,则 k =

±

2 .( × ) 2

(6)已知f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),则f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3) =2.( × )

基础知识·自主学习 题号
1

考点自测

答案
D [1,2]

解析

2
3

1或 2
2 (- ,0) 2

4

作出二次函数 f(x) 的草图,对于任意 x∈[m , m + 1] ,都有 f(x)<0,
?f?m?<0, 则有? ?f?m+1?<0,
?m2+m2-1<0, 2 即? 解得- <m<0. 2 2 ??m+1? +m?m+1?-1<0,

题型分类·深度剖析
题型一 二次函数的图象和性质
例1 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值;


当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6],

∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,

∴f(x)的最小值是f(2)=-1,
又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35.

题型分类·深度剖析
例1 (2)求实数 a 的取值范围,使y = f(x) 在区间 [- 4,6] 上是

单调函数;
解 由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a, 所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数, 应有-a≤-4或-a≥6, 即a≤-6或a≥4.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例1

(3) 当 a = 1 时,求 f(|x|) 的

单调区间.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华



当a=1时,f(x)=x2+2x+3,

例1

(3) 当 a = 1 时,求 f(|x|) 的 ∴f(|x|) = x2 + 2|x| + 3 ,此时定义
域为x∈[-6,6],且
2 ? x ? +2x+3,x∈?0,6], f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0],

单调区间.

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],
单调递减区间是[-6,0].

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

(1)二次函数在闭区间上的最值

例1

(3) 当 a = 1 时,求 f(|x|) 的 主要有三种类型:轴定区间定、
轴动区间定、轴定区间动,不

单调区间.

论哪种类型,解决的关键都是
考查对称轴与区间的关系,当

含有参数时,要依据对称轴与
区间的关系进行分类讨论;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例1

(3) 当 a = 1 时,求 f(|x|) 的 (2)二次函数的单调性问题则主
要依据二次函数图象的对称轴

单调区间.

进行分析讨论求解.

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 (1)如果函数f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图象关

5 于直线x=1对称,则函数f(x)的最小值为________ .
解析 由题意知
? a+2 ?- =1, 2 ? ?a+b=2, ?
? ?a=-4, 得? ? ?b=6.

则f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5.

题型分类·深度剖析
(2)已知函数f(x)=4x2+kx-8在[-1,2]上具有单调性,则实数k
(-∞,-16]∪[8,+∞) 的取值范围是____________________________ .
解析 函数f(x)=4x2+kx-8的对称轴为
k k k x=- ,则- ≤-1,或- ≥2, 8 8 8

解得k≥8或k≤-16.

题型分类·深度剖析

题型二
例2

二次函数的应用

解析

思维升华

已知函数 f(x) = ax2 + bx + 1(a ,

b∈R),x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0, 求f(x)的解析式,并写出单调区间;

题型分类·深度剖析

题型二
例2

二次函数的应用

解析

思维升华

已知函数 f(x) = ax2 + bx + 1(a ,



由题意得f(-1)=a-b+

1=0,a≠0,

b∈R),x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,

b 且- =-1,∴a=1,b=2. 2a
∴f(x)=x2+2x+1,单调减区 单调增区间为[-1,+∞).

求f(x)的解析式,并写出单调区间; 间为(-∞,-1],

题型分类·深度剖析

题型二
例2

二次函数的应用

解析

思维升华

已知函数 f(x) = ax2 + bx + 1(a ,

有关二次函数的问题,数形 结合,密切联系图象是探求 解题思路的有效方法.用函

b∈R),x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0, 求f(x)的解析式,并写出单调区间;

数思想研究方程、不等式 ( 尤
其是恒成立 ) 问题是高考命题 的热点.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例2

(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k

在区间 [ - 3 ,- 1] 上恒成立,试
求k的范围.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例2

(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k

解 f(x)>x+k在区间[-3, -1]上恒成立, 转化为 x2 + x + 1>k 在区间 [ - 3,-1]上恒成立. -1],则g(x)在[-3,-1]上 递减.

在区间 [ - 3 ,- 1] 上恒成立,试
求k的范围.

设 g(x) = x2 + x + 1 , x∈[ - 3 ,

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例2

(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k

∴g(x)min=g(-1)=1.

在区间 [ - 3 ,- 1] 上恒成立,试
求k的范围.

∴k<1,
即k的取值范围为(-∞,1).

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例2

(2)在(1)的条件下,f(x)>x+k

有关二次函数的问题,数形 结合,密切联系图象是探求 解题思路的有效方法.用函

在区间 [ - 3 ,- 1] 上恒成立,试
求k的范围.

数思想研究方程、不等式 ( 尤
其是恒成立 ) 问题是高考命题 的热点.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5]. (1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;

解 当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],
所以当x=1时,f(x)取得最小值1; 当x=-5时,f(x)取得最大值37.

题型分类·深度剖析
(2) 求实数 a 的取值范围,使 y = f(x) 在区间 [ - 5,5] 上是单调函 数. 解 函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为直线x=-a, 因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,

所以-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5.
故a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).

题型分类·深度剖析 题型三
例3
-2)· x

幂函数的图象和性质
(n∈Z)的图象关于y轴对

解析

答案

思维升华

(1) 已知幂函数 f(x) = (n2 + 2n
n 2 ?3 n

称,且在 (0 ,+ ∞) 上是减函数, 则n的值为( A.-3 ) B.1

C.2

D.1或2

题型分类·深度剖析 题型三
例3
-2)· x

幂函数的图象和性质

解析

答案

思维升华

(1) 已知幂函数 f(x) = (n2 + 2n 由于f(x)为幂函数,
n 2 ?3 n

(n∈Z)的图象关于y轴对 所以n2+2n-2=1,
解得n=1或n=-3, 经检验只有 n = 1 适合题意,

称,且在 (0 ,+ ∞) 上是减函数, 则n的值为( A.-3 ) B.1

C.2

D.1或2

故选B.

题型分类·深度剖析 题型三
例3
-2)· x

幂函数的图象和性质

解析

答案

思维升华

(1) 已知幂函数 f(x) = (n2 + 2n 由于f(x)为幂函数,
n 2 ?3 n

(n∈Z)的图象关于y轴对 所以n2+2n-2=1,
解得n=1或n=-3, 经检验只有 n = 1 适合题意,

称,且在 (0 ,+ ∞) 上是减函数, 则n的值为( B ) A.-3 B.1

C.2

D.1或2

故选B.

题型分类·深度剖析 题型三
例3
-2)· x

幂函数的图象和性质
(n∈Z)的图象关于y轴对

解析

答案

思维升华

(1) 已知幂函数 f(x) = (n2 + 2n (1) 幂 函 数 的 形 式 是 y =
n 2 ?3 n

xα(α∈R) ,其中只有一个参
数 α ,因此只需一个条件即 可确定其解析式.

称,且在 (0 ,+ ∞) 上是减函数, 则n的值为( B ) A.-3 B.1

C.2

D.1或2

题型分类·深度剖析 题型三
例3

幂函数的图象和性质

解析

答案

思维升华

α (1) 已知幂函数 f(x) = (n2 + 2n (2)若幂函数y=x (α∈R)是偶 n 2 ?3 n 函数,则 α 必为偶数.当 α 是 -2)· x (n∈Z)的图象关于y轴对 分数时,一般将其先化为根 称,且在 (0 ,+ ∞) 上是减函数, 式,再判断. 则n的值为( B ) (3)若幂函数y=xα在(0,+∞) A.-3 B.1 上单调递增,则α>0;若在(0,

C.2

D.1或2

+∞)上单调递减,则α<0.

题型分类·深度剖析
2 例3 (2)若(2m+1) >(m +m-1) , 则实数 m 的取值范围是( ) ? - 5-1? ? ? A.?-∞, ? 2 ? ? ? 5-1 ? ? ? B.? ,+∞? 2 ? ?
1 2
1 2

解析

答案

思维升华

C.(-1,2)
? D.? ? ?

5-1 ? ? ,2? 2 ?

题型分类·深度剖析
2 1 例3 (2)若(2m+1) >(m +m-1) , 因为函数y=x 2 的定义域为 则实数 m 的取值范围是( ) ? - 5-1? [0,+∞), ? ? A.?-∞, ? 2 ? ? ? 5-1 ? 且在定义域内为增函数, ? ? B.? ,+∞? 2 ? ? 所以不等式等价于 C.(-1,2) ?2m+1≥0, ? 2 ? 5-1 ? ? ?m +m-1≥0, D.? , 2 ? ? ? ? 2 ? 2 2 m + 1> m +m-1. ?
1 2
1 2

解析

答案

思维升华

题型分类·深度剖析
2 1 例3 (2)若(2m+1) >(m +m-1) , 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 则实数 m 的取值范围是( ) 2 解 m +m-1≥0, ? ? - 5 - 1 ? A.? - ∞ , ? ? - 5-1 5-1 2 ? ? 得 m≤ 或 m≥ . ? 5-1 ? 2 2 ? B.? ,+∞? ? 2 ? ? 解2m+1>m2+m-1, C.(-1,2) 得-1<m<2, ? 5-1 ? ? ? 5-1 D.? ,2? 综上所述, ≤m<2. ? 2 ? 2
1 2
1 2

解析

答案

思维升华

题型分类·深度剖析
2 1 例3 (2)若(2m+1) >(m +m-1) , 解 2m+1≥0,得 m≥- ; 2 则实数 m 的取值范围是( D ) 2 解 m +m-1≥0, ? ? - 5 - 1 ? A.? - ∞ , ? ? - 5-1 5-1 2 ? ? 得 m≤ 或 m≥ . ? 5-1 ? 2 2 ? B.? ,+∞? ? 2 ? ? 解2m+1>m2+m-1, C.(-1,2) 得-1<m<2, ? 5-1 ? ? ? 5-1 D.? ,2? 综上所述, ≤m<2. ? 2 ? 2
1 2
1 2

解析

答案

思维升华

题型分类·深度剖析
2 例3 (2)若(2m+1) >(m +m-1) , 则实数 m 的取值范围是( D ) (1) 幂 函 数 的 形 式 是 y = ? - 5-1? ? ? A.?-∞, ? 2 xα(α∈R) ,其中只有一个参 ? ? ? 5-1 ? ? ? B.? ,+∞? 数 α ,因此只需一个条件即 2 ? ?
1 2
1 2

解析

答案

思维升华

C.(-1,2)
? D.? ? ?

可确定其解析式.

5-1 ? ? ,2? 2 ?

题型分类·深度剖析
2 例3 (2)若(2m+1) >(m +m-1) , α(α∈R) 是偶 (2) 若幂函数 y = x 则实数 m 的取值范围是( D ) ? - 5-1? 函数,则 α 必为偶数.当 α 是 ? ? A.?-∞, ? 2 ? ? 分数时,一般将其先化为根 ? 5-1 ? ? ? B.? ,+∞? 式,再判断. 2 ? ? (3)若幂函数y=xα在(0,+∞) C.(-1,2)
1 2
1 2

解析

答案

思维升华

? D.? ? ?

5-1 ? ? ,2? 2 ?

上单调递增,则α>0;若在(0, +∞)上单调递减,则α<0.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 (1)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)· x-5m-3在(0,+∞) -1 上是增函数,则m=________.
解析 ∵函数f(x)=(m2-m-1)· x-5m-3是幂函数,
∴m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.

当m=2时,-5m-3=-13,函数y=x-13在(0,+∞)上是减函数; 当m=-1时,-5m-3=2,函数y=x2在(0,+∞)上是增函数. ∴m=-1.

题型分类·深度剖析
2 [-1, ) (2)若(a+1) <(3-2a) ,则实数a的取值范围是_____________ . 3
1 2 1 2

解析

易知函数y=x 的定义域为[0,+∞),在定义域内为增函数,
2 解之得-1≤a< . 3

1 2

?a+1≥0, ? 所以?3-2a≥0, ? ?a+1<3-2a,

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

参数a的值确定f(x)图象的形状;a≠0时,函数f(x)的图 象为抛物线,还要考虑开口方向和对称轴位臵.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

解 当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2.
1 x= . a
2分

(2)当 a>0 时,f(x)=ax2-2x 图象的开口方向向上,且对称轴为
3分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

1 ①当 ≤1,即 a≥1 时,f(x)=ax2-2x 图象的对称轴在[0,1] 内, a 1 1 ∴f(x)在[0, ]上递减,在[ ,1]上递增. a a 1 1 2 1 6分 ∴f(x)min=f( )= - =- . a a a a

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

1 ②当 >1, 即 0<a<1 时, f(x)=ax2-2x 图象的对称轴在[0,1] 的右侧, a

∴f(x)在[0,1]上递减.

∴f(x)min=f(1)=a-2.

9分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(3)当a<0时,f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向下, 1 且对称轴 x= <0,在 y 轴的左侧, a ∴f(x)=ax2-2x在[0,1]上递减.
∴f(x)min=f(1)=a-2.
11分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

a-2, a<1, ? ? 综上所述,f(x)min=? 1 - , a≥1. ? ? a

12分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)本题在求二次函数最值时,用到了分类讨论思想,求解中既对 系数 a的符号进行了讨论,又对对称轴进行讨论.在分类讨论时

要遵循分类的原则:一是分类的标准要一致,二是分类时要做到
不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则的分类

讨论.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列2 分类讨论思想在二次函数最值中的应用
典例: (12分)已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值.
思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(2)在有关二次函数最值的求解中,若轴定区间动,仍应对区间 进行分类讨论.

思想方法·感悟提高
1.二次函数的三种形式

方 法 与 技 巧

(1)已知三个点的坐标时,宜用一般式. (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大 (小)值有关的量时,常使用顶点式. (3)已知二次函数与x轴有两个交点,且横坐标已知时, 选用零点式求f(x)更方便.

思想方法·感悟提高
2 .二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的
一般规律:

方 法 与 技 巧

(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二 次函数的图象数形结合来解,一般从:①开口方向; ②对称轴位臵;③判别式;④端点函数值符号四个方 面分析. (2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助 于二次函数的图象、性质求解.

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

3.幂函数y=xα(α∈R)图象的特征

α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;
α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反 之也成立.

思想方法·感悟提高
1 .对于函数 y =ax2 + bx + c ,要认为它是二次函数, 就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要 讨论a=0和a≠0两种情况.

失 误 与 防 范

2.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不
会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,

要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在
两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点

一定是原点.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,则
实数a满足的条件是( A )

A.a≥8
C.a≥4

B.a≤8
D.a≥-4

a a 解析 函数图象的对称轴为 x= ,由题意得 ≥4,解得 a≥8. 2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系

中的图象可能是(

)

解析 若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2
+bx+c的开口向上,故可排除A;

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

若a<0,一次函数y =ax+b为减函数,二次函数y=ax2 +bx+c开
口向下,故可排除D;

b 对于选项 B,看直线可知 a>0,b>0,从而- <0,而二次函数的 2a 对称轴在 y 轴的右侧,故应排除 B,因此选 C.

答案 C

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.幂函数y=x-1,y=xm与y=xn在第一象限内 的图象如图所示,则m与n的取值情况为( D ) A.-1<m<0<n<1 C.-1<m<0<n B.-1<n<0<m D.-1<n<0<m<1

解析

可作直线x=2,观察直线 x=2和各图象交点的纵坐标可

知2-1<2n<20<2m<21, ∴-1<n<0<m<1.

练出高分
1 2
1 2

A组
3 4

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4.已知 f(x)=x ,若 0<a<b<1,则下列各式中正确的是( C ) 1 1 1 1 A.f(a)<f(b)<f( )<f( ) B.f( )<f( )<f(b)<f(a) a b a b 1 1 1 1 C.f(a)<f(b)<f( )<f( ) D.f( )<f(a)<f( )<f(b) b a a b

解析 因为函数f(x)=x 在(0,+∞)上是增函数,
1 1 又 0<a<b< < ,故选 C. b a

1 2

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1 2 3

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4

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5.若函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,则实数a

等于( B )
A.-1 B.1 C.2 D.-2

解析 ∵函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,
∴函数的最大值在区间的端点取得.

∵f(0)=-a,f(2)=4-3a,
? ?-a≥4-3a, ∴? ? ?-a=1, ? ?-a≤4-3a, 或? ? ?4-3a=1,

解得 a=1.

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1 2 3

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6. “a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函 充分不必要 数”的__________________ 条件.

解析 函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增函数,
-4a 则满足对称轴- =2a≤2,即 a≤1, 2
所以“a=1”是“函数f(x)=x2-4ax+3在区间[2,+∞)上为增 函数”的充分不必要条件.

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7.对于任意实数x,函数f(x)=(5-a)x2-6x+a+5恒为正值,则a (-4,4) . 的取值范围是________

解析

?5-a>0, 由题意得? ?36-4?5-a??a+5?<0,

解得-4<a<4.

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8.当

? ? 1 ? ? -1, ,1,3 ? α∈? 时,幂函数 ? ? 2 ? ?

y=xα 的图象不可能经过

二、四 象限. 第___________
解析 当α=-1、1、3时,y=xα的图象经过第一、三象限;

1 当 α= 时,y=xα 的图象经过第一象限. 2

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9.设函数y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值g(a).

解 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1.
∴对称轴为直线x=1,而x=1不一定在区间[-2,a]内,应进行

讨论.
当-2<a<1时,函数在[-2,a]上单调递减. 则当x=a时,ymin=a2-2a;

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当a≥1时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则 当x=1时,ymin=-1.
2 ? ?a -2a, 综上,g(a)=? ? ?-1,

-2<a<1, a≥1.

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10.已知二次函数 f(x) 的二次项系数为 a,且不等式 f(x)> -2x 的
解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的单调

区间.
解 ∵f(x)+2x>0的解集为(1,3),

设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0,
∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x

=ax2-(2+4a)x+3a.



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由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.
∵方程②有两个相等的根, ∴Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0,
1 解得 a=1 或 a=- .由于 a<0,舍去 a=1. 5 1 将 a=- 代入①式得 5



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1 2 3

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1 2 6 3 1 6 2 f(x)=- x - x- =- (x+3) + , 5 5 5 5 5

∴函数f(x)的单调增区间是(-∞,-3],
单调减区间是[-3,+∞).

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11

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12

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13

14

15

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11

B组
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13

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11.设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且
f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是( ) D.[0,2]

A.(-∞,0]
C.(-∞,0]∪[2,+∞)

B.[2,+∞)

解析

二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则

a≠0,f′(x)=2a(x-1)<0,x∈[0,1],

所以a>0,即函数的图象开口向上,

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又因为对称轴是直线x=1.

所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.

答案 D

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12 .设函数 f(x) = ax2 + bx + c(a , b , c∈R) ,若 a = c ,则函
数f(x)的图象不可能是( )

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14

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解析

由A,B,C,D四个选项知,图象与x轴均有交点,记

两个交点的横坐标分别为x1,x2,若只有一个交点,则x1=x2. c 因为 a=c,所以 x1x2=a=1, 比较四个选项,可知选项 D 的 x1< - 1 , x2< - 1 ,所以 D 不 满足.
答案 D

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2+2n+3 - n 13.已知函数f(x)=x (n=2k,k∈N)在(0,+∞)上单调

0或2 递增,则n=________.

解析 由题意知:-n2+2n+3>0,
解得-1<n<3.因为n为非负偶数, 所以n=0或2.

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14 . 对 于 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “*” : a*b =
?a2-ab, ? 2 ?b -ab,

a≤b, a >b .

设 f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于 x 的方

程 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3,则 m 的取值范围是________.

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解析

由题意得 x≤0, x>0.

2 ? ? 2 x - 1 ? -?2x-1??x-1?, ? f(x)=(2x-1)*(x-1)=? 2 ? ? x - 1 ? -?2x-1??x-1?, ?
2 ? ?2x -x, f(x)=? 2 ? ?-x +x,



x≤0, x>0.

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15

如图所示,关于x的方程f(x)=m恰有三个互不
相等的实数根x1,x2,x3,

即函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,

1 则 0<m< . 4
答案 1 (0, ) 4

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15.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,
? ?f?x?,x>0, F(x)=? ? ?-f?x?,x<0,

求 F(2)+F(-2)的值;

b 解 由已知 c=1,a-b+c=0,且- =-1, 2a
解得a=1,b=2.

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15

∴f(x)=(x+1)2.
2 ? ? x + 1 ? ,x>0, ? ∴F(x)=? 2 ? - ? x + 1 ? ,x<0. ?

∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.

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15

(2) 若 a = 1 , c = 0 ,且 |f(x)|≤1 在区间 (0,1] 上恒成立,试求 b 的取 值范围. 解 f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,
1 1 即 b≤ -x 且 b≥- -x 在(0,1]上恒成立. x x 1 1 又 x∈(0,1]时, -x 的最小值为 0,- -x 的最大值为-2. x x

∴-2≤b≤0.故b的取值范围是[-2,0].

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