离散型随机变量及其分布列测试题


离散型随机变量及其分布列测试题
一、选择题: 1、如果 X 是一个离散型随机变量,则假命题是( ) A. X 取每一个可能值的概率都是非负数;B. X 取所有可能值的概率之和为 1; C. X 取某几个值 的概率等于分别取其中每个值的概率之和; D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和
王新敞
奎屯 新疆

2、 甲乙两名篮球运动员轮流投篮直至某人投中为止, 设每次投篮甲投中的概率为 0.4, 乙投中的概率为 0.6, 而且不受其他投篮结果的影响.设甲投篮的次数为 ? ,若甲先投,则 P(? ? k ) ? A. 0.6 ? 0.4 B. 0.24 ? 0.76 C. 0.4 ? 0.6 D. 0.76 ? 0.24 3 、设随机变量 X 等可能取 1、2、3 ... n 值,如果 p( X ? 4) ? 0.4 ,则 n 值为( ) A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定 4、投掷两枚骰子,所得点数之和记为 X ,那么 X ? 4 表示的随机实验结果是( ) A. 一枚是 3 点 ,一枚是 1 点 B. 两枚都是 2 点 C. 两枚都是 4 点 D. 一枚是 3 点,一枚是 1 点或两枚都是 2 点 3 5.盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒中随机地抽取 4 个,那么概率是 的事件为( 10 A.恰有 1 只是坏的 B.4 只全是好的 C.恰有 2 只是好的 D.至多有 2 只是坏的
k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

)

2? ? 6. 如果 ? 3x 2 ? ? x3 ? ?
A.3

n

的展开式中含有非零常数项,则正整数 n 的最小值为 B.5 C.6 D.10

7.连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 a=(m,n)与向量 b=(1,-1)的夹角为θ ,则 ? ? ? 0, ? 的概 2

? ?

?? ?

率是

5 6 k 1 5 (k ? 1,2,3,4,5) ,则 P ( ? ? ? ) 等于( 8.设随机变量 ? 的分布列为 P (? ? k ) ? 15 2 2 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 9 6 5
A. B. C. D.
4 C90 4 C100 0 4 1 3 C10 C90 ? C10 C90 4 C100 1 C10 4 C100

5 12

1 2

7 12



9.一工厂生产的 100 个产品中有 90 个一等品,10 个二等品,现从这批产品中抽取 4 个,则其中恰好有一 个二等品的概率为: A. 1 ? B. C. D.
1 3 C10 C 90 4 C100

.

10.位于坐标原点的一个质点 P,其移动规则是:质点每次移动一个单位,移动的方向向上或向右,并且向 上、向右移动的概率都是 A. ( )

1 2

5

B. C 5 ( )

2

1 2

5

1 .质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)的概率是: 2 3 1 3 2 3 1 5 C. C5 ( ) D. C 5 C 5 ( ) 2 2

11.甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛规则为“3 局 2 胜” ,即以先赢 2 局者为胜.根据经验,每局比赛中 甲获胜的概率为 0.6,则本次比赛甲获胜的概率是 A. 0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648 5.把一枚质地不均匀的硬币连掷 5 次,若恰有一次正面向上的概率和恰有两次正面向上的概率相同(均不 .....
-1-

243 16 27 12.将三颗骰子各掷一次,设事件 A=“三个点数都不相同”,B=“至少出现一个 6 点”,则
概率 P( A B) 等于: A

为 0 也不为 1) ,则恰有三次正面向上的概率是: A.

40

B.

10

C.

5

D.

10 243

60 91
C.

B

1 2

C

5 18
10 21

D

91 216

13.从 1,2,??,9 这九个数中,随机抽取 3 个不同的数,则这 3 个数的和为偶数的概率是: A.

5 9

B.

4 9

11 21

D.

14.从甲口袋摸出一个红球的概率是

1 1 2 ,从乙口袋中摸出一个红球的概率是 ,则 是 3 2 3

A.2 个球不都是红球的概率 B. 2 个球都是红球的概率 C.至少有一个个红球的概率 D. 2 个球中恰好有 1 个红球的概率 15.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误, 假定接收一个信号时发生错误的概 率是

1 ,为减少错误,采取每一个信号连发 3 次,接收时以“少数服从多数”的原则判断,则判错一 10 1 100
B.

个信号的概率为: A.

7 250

C.

1 250

D.

1 1000

16. .已知随机变量 ? 的分布列为:

?
P

-2

-1

0

1
1 12

2
2 12

3
1 12

1 3 4 12 12 12 11 若 P(? 2 ? x) ? ,则实数 x 的取值范围是( 12

) D. x ? 4或x ? 9

A. 4 ? x ? 9

B. 4 ? x ? 9

C. x ? 4或x ? 9

17. 12.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直

到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 ? 次球,则 P(? ? 12) ? (
5 10 3 A. C12 ( )10 ? ( ) 2 8 8 5 3 9 3 B. C11 ( ) 9 ( ) 2 ? 8 8 8 3 9 5 C. C11 ( ) 9 ? ( ) 2 8 8



5 9 3 D. C11 ( ) 9 ? ( ) 2 8 8

18. 考察正方体 6 个面的中心,甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点中任意选两个点 连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( ) (A)

1 75

(B)

2 75

(C)

3 75

(D)

4 75

二、填空题:

1? ? 19.若 ? x ? ? 展开式的二项式系数之和为 64 ,则展开式的常数项为_____ x? ?
20. 如果在一次试验中,某事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试验中,这件事 A 发生偶数次的 概率为________. 解 : 由 题 , 因 为

n

? ~ B?n, p ? 且 ? 取 不 同 值 时 事 件 互 斥 , 所 以 ,

-2-

0 2 4 P ? P(? ? 0) ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? ? ? Cn p 0 q n ? Cn p 2 q n ? 2 ? Cn p 4 q n ? 4 ? ? ?

1 1 (q ? p) n ? (q ? p) n ? 1 ? (1 ? 2 p) n 2 2

?

? ?

?

.( 因 为

p ? q ? 1,所以 q ? p ? 1? 2 p )
21.某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9 .她连续射击 4 次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影 响.有下列结论:①他第 3 次击中目标的概率是 0.9;②他恰好击中目标 3 次的概率是 0.9 ? 0.1;③他至少
3

击中目标 1 次的概率是 1 ? 0.1 .其中正确结论的序号是
4

①③ __(写出所有正确结论的序号).

22. 对 有 n(n≥4) 个 元 素 的 总 体 ?1, 2,?, n? 进 行 抽 样 , 先 将 总 体 分 成 两 个 子 总 体 ?1,2,?, m? 和

?m ?1, m ? 2,?, n?

(m 是给定的正整数,且 2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取 2 个元素组成样本.

用 P 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率,则 P = 1n ij

;

4 m(n ? m)

三、解答题: 23、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的两倍,黄球个数是绿 球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出黄球得 0 分,取出绿球得-1 分, 试写出从该盒中取出一球所得分数 X 的分布列.

24.一个口袋中装有 n 个红球( n ? 5 且 n ? N )和 5 个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球颜色不同则 为中奖. (Ⅰ)试用 n 表示一次摸奖中奖的概率 p ; (Ⅱ)若 n ? 5 ,求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率; (Ⅲ)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为 P .当 n 取多少时, P 最大?

2 24.(Ⅰ)一次摸奖从 n ? 5 个球中任选两个,有 Cn?5 种,

1 1 它们等可能,其中两球不同色有 CnC5 种,一次摸奖中奖的概率 p ?

10n . (n ? 5)(n ? 4)

5 ,三次摸奖是独立重复试验,三次摸奖(每次摸奖后放回) 9 80 1 2 恰有一次中奖的概率是: P (1) ? C3 ? p ? (1 ? p ) ? . 3 243 (Ⅲ)设每次摸奖中奖的概率为 p ,则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为
(Ⅱ)若 n ? 5 ,一次摸奖中奖的概率 p ?
-3-

1 P ? P (1) ? C3 ? p ? (1? p)2 ? 3 p3 ? 6 p2 ? 3 p , 0 ? p ? 1 , 3

1 1 1 P ' ? 9 p2 ?12 p ? 3 ? 3( p ?1)(3 p ?1) ,知在 (0, ) 上 P 为增函数,在 ( ,1) 上 P 为减函数,当 p ? 3 3 3
时 P 取得最大值.又 p ?

10n 1 ? ,解得 n ? 20 . (n ? 5)(n ? 4) 3

25. 一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设他在各个交通岗遇到

1 红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . 3

(1)设 ? 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 ? 的分布列; (2)设 ? 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求 ? 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.

?

(1)X 的分布列为

P(X=k)=

·

,k=0,1,2,3,4,5,6.

(2)Y 的概率分布为:

Y

0

1

2

3

P

·

·

·

Y

4

5

6

P · ·

(3)0.912

解析:

-4-

(1)将通过每个交通岗看做一次试验,则遇到红灯的概率为 ), 2分

,且每次试验结果是相互独立的,故 X~B(6,

所以 X 的分布列为

P(X=k)=

·

,k=0,1,2,3,4,5,6.

5分

(2)由于 Y 表示这名学生在首次停车时经过的路口数,显然 Y 是随机变量,其取值为 0,1,2,3,4,5. 其中:{Y=k}(k=0,1,2,3,4,5)表示前 k 个路口没有遇上红灯,但在第 k+1 个路口遇上红灯,故各概率应按 独立事件同时发生计算.

P(Y=k)=

·

(k=0,1,2,3,4,5),

而{Y=6}表示一路没有遇上红灯, 故其概率为 P(Y=6)

=

. 8分

因此 Y 的概率分布为:

Y

0

1

2

3

P

·

·

·

Y

4

5

6

P · ·

12 分 (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为

-5-

{X≥1}={X=1 或 X=2 或?或 X=6}, 所以其概率为

14 分

P(X≥1)=

=1-

=

≈0.912.

16 分

20.一个坛子里有编号为 1,2,?,12 的 12 个大小相同的球,其中 1 到 6 号球是红球,其余的是黑球. 若 从中任取两个球,则取到的都是红球,且至少有 1 个球的号码是偶数的概率为多少 21、一个类似于细胞分裂的物体,一次分裂为二,两次分裂为四,如此继续分裂有限多次,而随机终止.设 分裂 n 次终止的概率是

1 ( n =1,2,3,?).记 X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目,求 2n

P( X ? 10).
22.甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名 志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (3)设随机变量 X 为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 X 的分布列.

高中数学系列 2— 3 单元测试题(2.1)参考答案
一、选择题: 1、D 2、B 3、C 4、 D 5、C 6、B 7、C 8、B 二、填空题: 18、 20

三、解答题: 18、解:设黄球的个数为 n ,由题意知 绿球个数为 2n ,红球个数为 4n ,盒中的总数为 7n .
[来源:学+科+网]



P( X ? 1) ?

4n 4 n 1 2n 2 ? , P ( X ? 0) ? ? , P( X ? ?1) ? ? . 7n 7 7n 7 7n 7
-6-

所以从该盒中随机取出一球所得分数 X 的分布列为

X
P

1

0

-1

4 7

1 7

2 7

3 19、解从总数为 10 的门票中任取 3 张,总的基本事件数是 C 10 =120,而“至少有 2 张价格相同”则包括了

“恰有 2 张价格相同”和“恰有 3 张价格相同” ,即
2 2 1 2 1 3 3 C 5 +C 1 ?C3 ? C7 ? C2 ? C8 ? C5 ? C3 ? 90(种). 5

所以,所求概率为

90 3 ? . 120 4
6 ? 5 3? 2 ? 2 ? 2. ? 2 12?11 11 2

20 解 P(A)=

2 2 C6 ? C3 2 C12

21、解:依题意,原物体在分裂终止后所生成的数目 X 的分布列为
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

X
P

2

4

8

16

.. .



1 .. . 16 1 1 1 7 P( X ? 10) ? P( X ? 2) ? P( X ? 4) ? P( X ? 8) ? ? ? ? . 2 4 8 8

1 2

1 4

1 8

2n 1 2n

.. . . . .

22. [解析] (1)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA,那么 P(EA)= 1 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 . 40 (2)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E,那么 P(E)= A4 1 4 2 4= . C5A4 10

A3 1 3 2 4= . C5A4 40

9 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P( E )=1-P(E)= . 10 C2A3 5 3 (3)随机变量 X 可能取的值为 1,2, 事件“X=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务, P(X=2)= 2 4= 则 C5A4 1 3 .所以 P(X=1)=1-P(X=2)= ,X 的分布列为: 4 4 X P 1 3 4 2 1 4

-7-


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