东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2014年高三数学第二次联合模拟考试题 文_图文

东北三省三校(哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学) 2014 年高三数学第二次联合模拟考试题 文(扫描版)新人教版

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二模文科数学参考答案 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 B 6 A 7 D 8 B 9 A 10 D 11 C 12 C

13 ? 23 ? ??? ? n3 ?
13.

n2 (n ? 1)2 4

125 2 ? 14. 3

15. 3

16.①②④

1 a1 ? 5 S1 ? 1 ,? a1 ? ? 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 17 .( Ⅰ ) 解 : 当 n ? 1 时 ,
???2 分 又

? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1
???4 分

?an?1 ? an ? 5an?1 ,


an ?1 1 1 1 ?? a1 ? ? q?? a an 4 ∴数列 ? n ? 是首项为 4 ,公比为 4 的等比数列,

1 an ? (? ) n 4 ∴

???6 分

1 bn ? log4 (? ) n ? ?n 4 (Ⅱ) , 1 1 1 1 ? ? ? bb n(n ? 1) n n ? 1 所以 n n ?1 1 1 1 1 1 ? n ? Tn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? 2 2 3 n n ? 1 ? n ? 1 ???12 分 ?

???8 分

???10 分

18. (Ⅰ)解:第三组的频率是 0.150×2=0.3;第四组的频率是 0.100×2=0.2;第五组的频率 是 0.050×2=0.1 ???3 分 (Ⅱ)设“抽到的两个产品均来自第三组”为事件 A , 由题意可知,分别抽取 3 个,2 个,1 个。 不妨设第三组抽到的是 事件总数为: ???6 分

A1 , A2 , A3 ;第四组抽到的是 B1, B2 ;第五组抽到的是 C1 ,所含基本

?A1, A2?,?A1, A3?,?A2 , A3?,?A1, B1?,?A1, B2?,?A1, C1?,?A2 , B1?,?A2 , B2?, ?A2 , C1?, ?A3 , B1?, ?A3 , B2 ?, ?A3 , C1? ?B1, B2?,?B1, C1?,?B2 , C1?
???10 分

5

P ( A) ?
所以

3 1 ? 15 5

???12

分 19. (Ⅰ)证明: 连结 MO

A1M ? MA? ? ? ? MO // A1C ? AO ? OC ? ? ? MO ? 平面BMD ? ? A1C // 平面BMD ? A1C ? 平面BMD ? ? ?
(Ⅱ) 设过

???4 分

C1 作 C1H ? 平面 BDD1B1 于 H ,BD ? AA1,BD ? AC得BD ? 面A1AC 于是

BD ? A1O
? ABCD ? ? 1 ? ? ?? ?BAD ? 60 ? ? AO ? AC ? 3 ? ? 2 ? ? ? AB ? 2 ? ? ? ? AA1 ? 2 3 ? ? A1O ? AC ? ? ? ? A1O ? 平面ABCD ?? cos ?A1 AC ? 60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A1O ? BD ? ?


???8

ABC D ABC D A 又因为平面 ABCD // 平面 1 1 1 1,所以点 B 到平面 1 1 1 1的距离等于点 1 到平面
?3 ABCD 的距离 AO 1
???10 分

1 1 1 1 3 VB ? B1C1D1 ? VC1 ? BB1D1 ? ? A1O ? ? 2 ? 3 ? ? C1H ? ? 2 ? 2 3 ? C1H ? 3 2 3 2 2 ???12 分
20. (Ⅰ)设 P( x, y) ,则

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( y ? 1) ? 1 ? x 2 ? 8 y

???4 分

(Ⅱ)设直线 AB : y ? kx ? b ,

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

2 2 x ? x2 ? 8k , x1x2 ? ?8b ???6 分 将直线 AB 代入到 x ? 8 y 中得 x ? 8kx ? 8b ? 0 ,所以 1

6

又因为

??? ? ??? ? x2 x2 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 1 2 ? ?8b ? b 2 ? ?16 ?b?4 64
0分 所 以 恒 过 定

???1 点

(
21.

0

,

4

)

???12 分

f ' ( x) ?
(Ⅰ)

b ' , g ( x) ? 2ax ? 1 x

? g (1) ? f (1) ? 0 ?a ? 1 ?? ? ' g (1) ? f ' (1) ?b ? 1 则?
(Ⅱ) 设

???3 分

u( x) ? g( x) ? f ( x) ? x2 ? x ? ln x ? x ? 0?

u ' ( x) ?
'

? 2 x ? 1?? x ? 1?
x
???4 分

令 u ( x) ? 0 ? x ? 1

x
u ' ( x)
u ( x)
所以, (Ⅲ) 设

? 0,1?
?
?

1

?1, ???
?
?
即 g ( x) ? f ( x) ???7 分

0
极小

u ? x ? ? u ?1? ? 0

h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? b ln x ? x 2 ? x ? (1, eb ) ?



h ' ( x) ?

b b ? 2 x2 h ' ( x) ? 0 ? x ? ? e 2 x ,令
? b? ? ?1, 2 ? ? ? ?
1

???8 分

x
h ' ( x)

? b b? ? ? 2,e ? ? ? ?

?

0

?

7

h( x )

?

极大

?

? b ? b? b ? h极大 ? x ? ? h ? ln ? 1? ? 0 ? 2? ?? 2? ? 2 ? ? ? 所以,原问题
又因为

???10 分

h ?1? ? ?1, h ? eb ? ? ? b ? eb ?? b ? eb ?
x

x ? ? 2e, ??? 设 t ( x) ? e ? x ( )
t ' ( x) ? e x ?1 ? 0
所以 t ( x) 在

? 2e, ??? 上单调递增, t ( x) ? t (2e) ? 0 ? e x ? x ? h ? eb ? ? 0
???12 分

所以有两个交点 22. (Ⅰ)

? ? ? ? ?AQC ? ?ACB ? PA为 ? O切线 ? ?PAB ? ?ACB ? ? ?? ACB ?? CQA ? AQ为 ? O切线 ? ?QAC ? ?CBA ? ? AC AB ? ? AC 2 ? AB ? CQ CQ AC

AB // CD ? ?PAB ? ?AQC

???5 分 (Ⅱ)

AB // CD ? ? BP AP AB 1 ? ? ? ? ? AP 1 ? ? ? ? PC PQ QC 3 ? ? ? QC ? 3 3, PC ? 6 AQ 2 ? ? ? BP ? 2, AB ? 3 ?
2 AP 为 ? O 切线 ? AP ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3

又因为 AQ 为 ? O 切线 分 23. (Ⅰ)

? AQ 2 ? QC ? QD ? QD ?

16 3 3

???10

C1 : x2 ? 2 y 2 ? 2 , l : 2 y ? x ? 4
Q

???5 分

(Ⅱ)设

?

2 cos ? ,sin ?

? ,则点 Q 到直线 l 的距离

8

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? 3 3

?

???8 分

??
当且仅当

?
4

? 2 k? ?

?
2 ,即

? ? 2 k? ?

?
4 ( k ? Z )时取等
2 2 2 2 2 2 2

???10 分

24.解: (Ⅰ)由柯西不等式得, (a ? b ? c) ? (1 ? 1 ? 1 )(a ? b ? c ) ? 3 ∴? 3 ? a?b?c ? 3 所以 a ? b ? c 的取值范围是 [? 3,
2 2

3]
2 2 2 2 2

???5 分 ???7 分

(?1)? 1 ](a ? b ? c ) ? 3 (Ⅱ)同理, (a ? b ? c) ? [1 ?
若不等式

| x ?1| ? x ?1 ? (a ? b ? c)2

对一切实数 a, b, c 恒成立,



x ?1 ? x ? 1 ? 3

3 3 ( ??, ? ] ? [ , ??) 2 2 ,解集为

???10 分

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