重庆一中高2014级高一(上)期末试题——数学(WORD) 2


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2012 年重庆一中高 2014 级高一上期期末考试

数 学 试 题 卷

2012.1

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一.选择题.( 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.)
N 1.若 M ? ? y | y ? x ? 1, x ? R?, ? ?? x, y ? | y ? 2 x ? 3, x ? R? ,则 M ? N 的子集

个数为( A.0



2.下列角中与 A.
18? 5

? 终边在同一直线上的是( ) 5 24? 34? B. C. ? 5 5

B.1

C.2

D.4

D .?

41? 5

3.已知映射 f : A ? B ,集合 A 中元素 n 在对应法则 f 下的象是 n?2n ,则 160 的原象是( A.5 ) B.6 C.7 D.8

?? 1 ? 4.把函数 y ? cos ? 2 x ? ? 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标 3? 2 ?
不变) ,得到图象的解析式为( )

?? ? A. y ? cos ? x ? ? 6? ?
2? ? ? C. y ? cos ? 4 x ? ? 3 ? ?

?? ? B. y ? cos ? x ? ? 3? ?
?? ? D. y ? cos ? 4 x ? ? 3? ?
) D. f ? x ? ? x ?2 )

5.下列函数为奇函数,且在 ? ??, 0 ? 上单调递减的函数是( A. f ? x ? ? x3 B. f ? x ? ? x 2
1

C. f ? x ? ? x

?

1 3

6.设 a ? log 2 3,b ? log 4 6,c ? log8 48 ,则下列关系正确的是( A. a ? b ? c B .a ?c ?b C. c ? b ? a

D. c ? a ? b

7. 据 统 计 , 一 名 工 人 组 装 第 x 件 某 产 品 所 用 的 时 间 ( 单 位 : 分 钟 )
? ? ? f ? x? ? ? ? ? ? c ,x ? A x ( A ,c 为常数).已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟,组装 c ,x ? A A

第 A 件产品用时 15 分钟,那么 A =( A. 49 B. 25

) C. 16 D. 9 ).

8. (原创)方程 ln ?1 ? x ? ? ? x ?1 的根 x ? (k ? 1, k ) , k ? Z ,则 k =( A . ?1 B. ?2 C. ?3

D. ?4

9.(原创)函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,函数 y ? f ? x ? 1? 是定义 在 R 上的偶函数,则 f ? 2012 ? ? ( A.0 B. 1 ) C. 2 D.无法确定

10.(原创)把函数 f ? x ? ? x ? 3 ? 3x 的图象向右平移一个单位,得到函数
y ? g ? x ? 的图象,则函数 y ? g ? x ? 的值域为(


4 D. ?1,?

A . ?1, 3 ? ? ?

B. ?1, 2 ?

3 C. ?1,?

二.填空题.(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11.函数 f ? x ? ? 1 ? log a ? x ? 1? ? a ? 0, 且a ? 1? 恒过定点
?? ? ?? ? 12.化简 sin ?? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? sin ? 2 ? ? ? cos ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

. .

13.扇形 AOB 的圆心角 ?AOB ? 900 ,它的弧长为 ? ,则 ? AOB 的外接圆的面 积为 . 14.函数 f ? x ? ? cos 2 x ? cos x ? 1? x ? ? 0, ? ?? 的单调递减区间为 .

15.(原创)已知 f ? x ? 定义在正整数集上,且对任意 n ? N ?,f ? f ? n ? ? ? 3n ? 2,
f ? 2 ? ? 1 ,则 f ? 80 ? ?

.

三.解答题.( 本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.) 1 1 16.(13 分)(1)已知 tan ? = , ? = ,求 tan 2? 和 tan ?? ? ? ? 的值; tan 2 3 (2)已知 sin ? ? ? 的值.
2 5 5 ? 3? ,cos ?? ? ? ? ? ,? ? ? ? , 5 5 2 ? ? ? ?? ?,? ? ? 0, ? ,求 cos ? ? ? 2?

17.(13 分)已知集合 A ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 2, x ? ? ?2,1? ,B ? x x ? m ? 3 , (1)若 A ? B ? ? ,求实数 m 的取值范围; (2)若 A ? B ? B ,求实数 m 的取值范围.

?

?

?

?

?? ? 18.(13 分)(原创)已知函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 2sin 2 x . 6? ?
(1)求 f ? x ? 的最小正周期;
? ? 5? ? (2)求 f ? x ? 在区间 ? , ? 上的最大值和最小值. ?3 6 ?

2 19.(12 分)(原创)已知 f ? log a x ? ? log a x ? a log a x 2 ? 1,a ? 0, a ? 1? . ?

(1)求 y ? f ? x ? 的解析式及其定义域; (2)若函数 y ? f ? x ? ? a 在 ? 0,1? 内有且只有一个零点,求 a 的取值范围.

20. (12 分)(原创)已知 f ? x ? ? ? a ? 1? (a x ? a ? x ) ? a ? 0, a ? 1? . (1)判断并证明 f (x ) 的奇偶性; (2)判断并证明 f (x ) 的单调性;
?? ? ? (3)若 f ? a cos 2 x ? a 2 ? ? f ? 6a cos x ? 1? ? 0 对任意 x ? ? , ? 恒成立, a 的取 求 ?3 2?

值范围.

21.(12 分)已知函数 f ( x) ? e|x ? 2 a ?1| , g ( x) ? e| x ?a|?1,x ? R, ? a ? 6 . 1 (1)若 a ? 3 ,求使 f ( x) ? g ( x) 的 x 的值; (2)求函数 h( x) ?
f ( x) ? g ( x) 2 ? | f ( x) ? g ( x) | 在 x ? [1, 6] 上的最小值 m(a) . 2

命题人:王中苏 审题人:杨春权

2012 年重庆一中高 2014 级高一上期期末考试

数学试题答案
一.选择题.(每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 答案 B C A 二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11. 4 D 5 C 6 D

2012.1

7 C

8 A

9 A

10 B

? 2,1?

12. 0

13. 2?

? 2? ? 14. ? 0, ? ? 3 ?

15. 53

三.解答题.(共 75 分)

1 2? 2 tan ? 2 = 4, 16.(1) tan 2? = = 2 1 ? tan ? 1 ? ( 1 ) 2 3 2 1 1 ? tan? ? tan ? 2 3 = 1; tan ?? ? ? ? = = 1+tan? ?tan ? 1+ 1 ? 1 7 2 3
(2)法一: sin ? = ?

2 5 ? 3 ? 5,? ? ? ? , ? ? ? cos ? = ? 5 5 ? 2 ?

c o s? ? ? ? +

5 2 5 = , ? <? +? <2? ? sin ?? +? ? = ? 5 5

c o s = c ??? ? ?+ ? ? ? o ? ? ?s =

=?? o? ? +? c o ?? + ? i n ? + c s s ?s

sin

? 5 ? 5? ? 2 5 ? 2 ? 3 ?? ? ?+? ? ?? ? ? 5 ? ? ?? 5 5 ? = 5 5 ? 5 ? ? ? ?
2 5 ? 3 ? 5,? ? ? ? , ? ? ? cos ? = ? 5 5 ? 2 ?

法二: sin? = ?

c o s? + ? ? ?

= cos ?

c? s ? o

? i n ?? i n s s

5 5

=

? cos

2 5

5 + ? 5 sin 5

=

1+cos ? ?sin = ? 2
代入 sin ? + cos ? =1 得
2 2

3 3 ? ?? cos ? = ? 1或cos? = ,又 ? ? ? 0, ? ,? cos ? = . 5 5 ? 2?

17. A= y|y = ? ? x+1? +3,x ? ? ?2,1? = ? y| ?1 ? y ? 3?
2

?

?

B = ? x| x m 或 x ? +3 ?

m ?3 ?

(1)若 A ? B=? ,则 m ? 3< ? 1,m+3>3 ? m ? ? 0,2 ? (2)若 A ? B=B ,则 A ? B ? 3 ? m ? 3或m+3 ? ?1 ? m ? ? ??, ? 4? ? ? 6,+? ? 。

18.(1) f ? x ? =

3 1 3 3 sin 2x ? cos 2x + ?1 ? cos 2x ? = sin 2x ? cos 2x+1 2 2 2 2

?1 ? 3 ?? ? = 3 ? sin 2x ? cos 2x ? +1= 3 sin ? 2x ? ? +1 ?2 ? 2 3? ? ? ?

T=

2? =? 2

(2)x ? ?

? 4 5 ?? 5 ? ? 号。 , ? ? ? ? 2x ? ? ? ? f ? x ?max = 3+1 , x= ? 时,取“=” 3 3 3 12 ?3 6 ?

1 5 号。 f ? x ?min = ? , x= ? 时,取“=” 2 6
19.(1) f ? log a x ? =log a x ? 2alog a x +1
2

设 log a x =t, ? t ? R ? , 则 f ? t ? =t ? 2at+1
2

? f ? x ? =x 2 ? 2ax +1? x ? R ?
(2) x ? 2ax+1 ? a=0 在 ? 0,1? 内有且只有一个根
2

? ? = ? 2a ? 2 ? 4 ?1 ? a ? =0 ? f ?1? =0 ? f ? 0 ? =0 ? ? ? ,或 f ? 0 ??f ?1? <0 或 ? 或? ? ? 2a ?0<1 ? a <1 ?0<2a <1 ? ? ?0< <1 ? 2

? a=

5 ?1 2 2 ? ? ? 2 ? ? 5 ? 1? 或 <a <1 或 a = ? a ? ? ,1 ? ? ? ?。 2 3 3 ?3 ? ? 2 ? ? ?

(也可用分离参数法) 20.(1)? x ? R

f ? ? x ? = ? a ? 1? ? a ? x ? a x ? = ? f ? x ?

? f ? x ? 为奇函数;
(2)设 x1、x2 ? R,且x1 <x2 则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? = ? a ? 1? a 1 ? a
x

?

? x1

? ? ? a ? 1? ? a

x2

? a ? x2 ?

= ? a ? 1? ?? a x1 ? a x2 ? ? ? a ? x1 ? a ? x2 ? ? ? ?

? a x2 ? a x1 ? = ? a ? 1? ?? a x1 ? a x2 ? ? x1 x2 ? a ?a ? ?

1 ? ? = ? a ? 1? ? a x1 ? a x2 ? ?1+ x1 +x2 ? ? a ?
当 a ? 1 时,a ? 1, a 1 ? a
x x2

? 0,1+ ? 0,1+

1 a a
x1 +x2

? 0 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ? x ? 为 R 上的增函数; ? 0 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ? x ? 为 R 上的增函数。

当 a ? 1 时,a ? 1, a 1 ? a
x

x2

1
x1 +x2

综上可得,当 a ? 0, a ? 1 时, f ? x ? 为 R 上的增函数。 ⑶ f a cos 2 x ? a

?

2

? ? f ? 6a cos x ? 1? ? 0 对任意 x ? ? ? , ? ? 恒成立, ?3 2?
? ?

?? ? ? ? f ? a cos 2 x ? a 2 ? ? f ?1 ? 6a cos x ? 对任意 x ? ? , ? 恒成立 ?3 2? ?? ? ? ? f a ? 2 cos 2 x ? 1? ? a 2 ? f ?1 ? 6a cos x ? 对任意 x ? ? , ? 恒成立 ?3 2?

?

?

? 1? ? f ? 2at 2 ? a 2 ? a ? ? f ?1 ? 6at ? 对任意 t ? ?0, ? 恒成立 ? 2? ? 1? ? 2at 2 ? 6at ? a2 ? a ?1 ? 0 对任意 t ? ?0, ? 恒成立 ? 2?
?a ? 0, a ? 1 ? ? 1? ? ? ? 1 ?2 ? a ? ? 0, ? ? ? 2, ?? ? 。 1 2 ? 2? ? 2a ? ? ? 6a ? ? a ? a ? 1 ? 0 2 ? ?2?

21.(1)若 a ? 3 时, f ( x) ? g ( x) ? x ? 5 ? x ? 3 ? 1 ? x ?

7 ; 2

(2) h( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? g ( x), ? g ( x), f ( x) ? g ( x).

①当 1 ? a ? 2 时, 由绝对值的几何意义, x ? 2a ? 1 ? x ? a ? ? 2a ? 1? ? a ? a ? 1 ? 1 , 故 h( x ) ? f ( x ) ? e
| x ? 2 a ?1|

,当 x ? 2a ? 1?[1,3] 时, h( x) min ? 1 ;

②当 2<a ? 6 时, (2a ? 1) ? a ? a ? 1 ? 0 ,故 2a ?1 ? a 。

x ? a 时, f ( x) ? e? x?(2 a ?1) ? e? x? a ?1 ? g ( x) , h( x) ? g ( x) ? e| x ?a|?1 ;
x ? 2a ?1 时, f ( x) ? e x ?(2 a ?1) ? e x ?a ?1 ? g ( x) , h( x) ? f ( x) ? e| x ?2 a ?1| ;
3a ? 2 , 其 中 2 3a ? 2 3a ? 2 3a ? 2 h 故当 当 a? ? 2a ? 1 , ? x ? 2a ? 1 时, ( x) ? f ( x) ? e| x ?2a ?1| ; a ? x ? 2 2 2
? a ? x ? 2a ?1 时 , 由 f ( x)
? x (? 2 a ?1 )

e

?

x e

? a ?1

? (g ,x 得 x ? )

时, h( x) ? g ( x) ? e

| x ? a|?1

.

3a ? 2 ? ? f ( x), x ? 2 , ? 因此,当 2<a ? 6 时, h( x) ? ? ? g ( x), x ? 3a ? 2 . ? ? 2
令 f ( x) ? e
| x ? 2 a ?1|

? e ,得 x1 ? 2a ? 2, x2 ? 2a ,且

3a ? 2 ? 2a ? 2 , 2

(ⅰ)当 a ? 6 ? 2a ? 2 ,即 4 ? a ? 6 时, h( x)min ? g (a) ? e ;

7 ? a ? 4 时, h( x)min ? f (6) ? e2 a ?7 ; 2 7 (ⅲ) 当 2a ?1 ? 6 ,即 2 ? a ? 时, h( x)min ? f (2a ? 1) ? 1 。 2
(ⅱ) 当 2a ? 2 ? 6 ? 2a ?1 ,即

综上所述, m ? a ? ? h( x) min

7 ? ?1, (1 ? a ? 2 ), ? 7 ? ? ?e 2 a ?7 , ( ? a ? 4), 2 ? ?e, (4 ? a ? 6). ? ?


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