2017_2018学年高中数学第一章解三角形第03课时三角形的面积及三角形中的几何计算课件新人教B版必修5

1说基础· 名师导读 知识点1 几何中有关量的计算公式 在△ABC中,边BC,CA,AB上的高分别记为ha,hb,hc, 则 (1)ha=bsinC=csinB; (2)hb=csinA=asinC; (3)hc=asinB=bsinA; 1 1 1 (4)S=2absinC=2acsinB=2bcsinA. 讲拓展 三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外, 常见的公式还有: (1)P=a+b+c(P为三角形的周长); (2)A+B+C=π; 1 (3)S=2aha(ha表示a边上的高); abc (4)S= 4R (可用正弦定理推得); (5)S=2R2sinA· sinB· sinC(R是三角形外接圆的半径); 1 (6)S=2r(a+b+c)(r为三角形内切圆的半径); 1 (7)海伦公式:S= p?p-a??p-b??p-c?,其中p=2(a+b+c). 知识点2 三角形中的常用结论 在△ABC中,边、角之间的关系有以下常用结论: (1)a+b>c,b+c>a,c+a>b. (2)a-b<c,b-c<a,a-c<b. (3)A+B+C=π. (4)a>b?A>B?sinA>sinB. (5)a=b?A=B. (6)A为锐角?cosA>0?a2<b2+c2; A为钝角?cosA<0?a2>b2+c2; A为直角?cosA=0?a2=b2+c2. (7)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC. A+B A+B C C (8)sin 2 =cos 2 ,cos 2 =sin 2 . 2说方法· 分类探究 类型一 三角形面积的计算 【例1】 31 在△ABC中,BC=5,AC=4,cos∠CAD= 32 ,且AD= BD,求△ABC的面积. 思维启迪:由∠CAD的余弦,我们想到在△CAD中利用余 弦定理,求出CD的长,然后再利用正弦定理求出角C的正弦 1 值,根据三角形的面积公式S△ABC= 2 ×BC×ACsinC求出三角形 的面积. 解析:设CD=x,则AD=BD=5-x. 在△CAD中,由余弦定理,可知 ?5-x?2+42-x2 31 cos∠CAD= = ,解得x=1. 2×4×?5-x? 32 ∴CD=1,AD=BD=4. AD CD 在△CAD中,由正弦定理可知sinC= , sin∠CAD ?31? 3 AD 2 2 ? ? ∴sinC=CD· 1-cos ∠CAD=4 1- 32 =8 7. ? ? 1 1 3 15 ∴S△ABC= 2 AC· BC· sinC= 2 ×4×5× 8 7 = 4 7 ,即△ABC 15 的面积为 4 7. [类题通法] 1 本题求三角形的面积容易考虑用 2 ×底×高来进行,但高不 易求得,所以应灵活应用三角形的面积公式.若已知两边及它 1 1 1 们的夹角,则用S= 2 absinC或S= 2 acsinB或S= 2 bcsinA来求三角 形的面积. 变式训练1 在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是 cosB b a,b,c,且cosC=- .求: 2a+c (1)∠B的大小; (2)若b= 13,a+c=4,求△ABC的面积. cosB b 解析:(1)∵cosC=- , 2a+c ?a2+c2-b2?2ab b ∴ 2 =- , 2 2 ?a +b -c ?2ac 2a+c 整理得a2+c2-b2=-ac, a2+c2-b2 1 ac ∴cosB= 2ac =-2ac=-2, 从而∠B=120° . (2)由余弦定理得a2+c2+ac=13① 又a+c=4,∴a2+c2+2ac=16② 由①②得ac=3. 1 1 3 3 ∴S△ABC=2acsinB=2×3×sin120° = 4 . 类型二 三角形中线段长度的计算 2 7 【例2】在△ABC中,AB=2,cosC= ,D是AC上一 7 5 7 点,AD=2DC,且cos∠DBC= 14 .求: (1)∠BDA的大小; → → (2)AD· CB. 思维启迪:(1)∠BDA是△BDC的一个外角,所以,由 ∠C、∠DBC的正、余弦值可求∠BDA的三角函数值. → → → → → (2) AD · CB =| AD || CB |cos(π-C),因此问题转化为求| AD |、 → |CB|,由正、余弦定理可解. 5 7 2 7 解析:(1)由已知得cos∠DBC= 14 ,cosC= 7 , 21 21 从而sin∠DBC= 14 ,sinC= 7 , ∴cos∠BDA=cos(∠DBC+∠C) 5 7 2 7 21 21 = 14 × 7 - 14 × 7 1 =2. π ∴∠BDA=3. (2)由(1)知sinC=2sin∠DBC. 由正弦定理得,BD=2DC. 又AD=2DC,∴AD=BD. π ∵∠BDA=3,∴△ABD是等边三角形. ∴BD=2DC=2. BC BD 在△BDC中, =sinC, sin∠BDC 3 BD· sin∠BDC 2× 2 ∴BC= = = 7. sinC 21 7 → → → → ∴AD· CB=|AD||CB|cos(π-C) ? 2 7? ? =2× 7×? - ? 7 ? ? ? =-4. [类题通法] 求线段的长度,先看所求线段在哪个三角形中,然后,结 合已知条件利用正、余弦定理求解,也可设出线段长度,列方 程求解. 变式训练2如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=5,AC =9,∠BCA=30° ,∠ADB=45° ,求BD的长. 解析:在△ABC中,AB=5,AC=9,∠ACB=30° . AB AC 由正弦定理得sin30° = . sin∠ABC 1 9×2 ACsin30° 9 ∴sin∠ABC= AB = 5 =10. ∵AD∥BC, 9 ∴sin∠BAD=sin(π-∠ABC)=10. 在△ABD中,AB=5,∠BDA=45° ,

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